浙江省宁波市三锋教研联盟2022-2023学年高二数学上学期期中联考试题（Word版附解析）

绝密★考试结束前

2022学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考

高二年级数学学科试题

考生须知：

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题纸.

选择题部分

一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 椭圆的焦点坐标是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】根据方程，可得的值，根据a，b，c的关系，可求得c值，即可得答案.

【详解】根据方程可得，且焦点在x轴，

又，所以，

所以焦点坐标为，.

故选：B

2. 直线的倾斜角等于（    ）

A.  B.  C.  D. 不存在

【答案】B

【解析】

【分析】设直线的倾斜角为，求出即得解.

【详解】设直线的倾斜角为，

由题得，所以直线的斜率，

因为，所以.

故选：B

3. 正方体分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值.

【详解】设正方体棱长为2，以的原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，

，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：B

4. 圆关于直线l：对称的圆的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；

【详解】解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，

则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，

所以对称圆的方程为；

故选：A

5. 已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设平面内的一点为，由可得，进而可得满足的方程，

将选项代入检验即可得正确选项.

【详解】设平面内的一点为(不与点重合)，则，

因为是平面的一个法向量，

所以，所以，

即，

对于A：，故选项A不正确；

对于B：，故选项B正确；

对于C：，故选项C不正确；

对于D：，故选项D不正确，

故选：B.

6. 已知点，向量，过点P作以向量为方向向量的直线为l，则点到直线l的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求得直线l的方程，再利用点到直线距离公式去求点到直线l的距离即可.

【详解】以向量为方向向量的直线l的斜率

则过点P的直线l的方程为，即

则点到直线l的距离

故选：B

7. 已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得，，，再根据列式求解即可

【详解】

由已知得：，，

所以，

由得：

所以

所以

由得：

所以  

故选：C

8. 若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将化为，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解.

【详解】解：由得，

所以直线与半圆有个公共点，

作出直线与半圆的图形，如图：

当直线经过点时，，

当直线与圆相切时，，解得或（舍），

由图可知，当直线与曲线有个公共点时，，

故选：B.

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】由题意得到，再根据,求出，分焦点在x轴和y轴上写出标准方程即可

【详解】解：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以，解得，

又，

所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；

当椭圆的焦㤐在y轴上时，椭圆的标准方程为，

故选：BD

10. 下列命题中错误的是（    ）

A. 是共线的充要条件

B. 若是空间任意四点，则有

C. 若共线，则

D. 对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据向量共线的性质即可判断CA，由向量的线性运算即可判断B，根据共面定理的推论即可判断D.

【详解】对于A，当方向相同的共线时，此时，所以不是共线的充要条件，故A错误，

对于B, ,故B正确，

对于C，共线，有可能四点在同一条直线上，所以不能得到，故C错误，

对于D，对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），且时，四点共面，故D错误，

故选：ACD

11. 下列结论正确的是（    ）

A. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为；

B. 圆与圆有且仅有一条公切线则；

C. 已知直线过点且和以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为；

D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是.

【答案】BD

【解析】

【分析】由经过坐标原点时，满足题意，可判定A错误；由与圆项内切，结合圆与圆的位置关系，可判定B正确；分别求得的值，得到或，可判定C错误；设圆的圆心坐标为，半径为，转化为两圆相交，结合圆与圆的位置关系，列出不等式，即可求解.

【详解】对于A中，当过点的经过坐标原点时，此时直线方程为，

此时满足在两坐标轴上的截距互为相反数，所以A错误；

对于B中，由圆与圆，

可得，且，则，

若圆与圆有且仅有一条公切线，则与圆内切，

则满足，即，解得，所以B正确；

对于C中，由点和，可得，

要使得过点且和以为端点的线段相交，

则满足或，即或，所以C错误；

对于D中，由圆，可得圆心，

设圆的圆心坐标为，半径为，可得，

要使得圆上恰好有两点到的距离为，则圆与圆相交，

则满足，即，解得，所以D正确.

故选：BD.

12. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，过的截面与棱，分别交于点F，G（G，E，F可能共线），则下列说法中正确的是（    ）

A. 存在点F，使得

B. 线段长度的取值范围是

C. 四棱锥的体积为2时，点F只能与点B重合

D. 设截面，，的面积分别为，，，则的最小值为4

【答案】BCD

【解析】

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点、，其中，，利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；求出与的关系式，利用反比例函数的基本性质可判断B选项；利用等积法可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.

【详解】因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、，设点、，其中，.

对于A选项，若存在点，使得，且，，

，解得，不合乎题意，A错；

对于B选项，设，其中、，

即，即，可得，

，则，所以，，B对；

对于C选项，，

其中，故，

又，故

即，故点F只能与点B重合，C对；

对于D选项，，，

则点到直线的距离为，

，则点到直线的距离为

，

所以，，故，

，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D对.

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，运用空间向量的性质是解题的关键.

非选择题部分

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则______．

【答案】11

【解析】

【分析】由椭圆定义，，，结合条件数值即可求

【详解】由椭圆定义，，，，

故，又，故．

故答案为：11

14. 已知圆：及直线：，设直线与圆相交所得的最长弦长为，最短弦为，则四边形的面积为______．

【答案】

【解析】

【分析】将直线方程整理为，得直线恒过定点，且在圆内，进而可得最长弦为过的圆的直径，即，最短弦为过，且与最长弦垂直的弦，根据垂直关系求出，可得直线的方程，利用弦长公式求出，从而根据四边形的面积即可求解.

【详解】解：将圆方程整理为，得圆心，半径，

将直线方程整理为，得直线恒过定点，且在圆内，

最长弦为过的圆的直径，即，最短弦为过，且与最长弦垂直的弦，

，，

直线方程为，即，

圆心到直线的距离为，

，

四边形的面积，

故答案为：.

15. 过点的圆的切线方程为___________.

【答案】或.

【解析】

【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解．

【详解】已知圆圆心坐标为，半径为，易知直线是圆的切线，

当切线斜率存在时，设切线方程为，即，

由，解得，切线方程为，即．

故答案为或．

16. 正方体棱长为2，E是棱的中点，F是四边形内一点（包含边界），且，当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为__________．

【答案】##

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，设，利用数量积的坐标运算表示出的关系，进而表示出直线与平面所成的角的正切值，求得其取最大值时m的值，即可求得三棱锥的体积.

【详解】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则，设，

则，

设与平面所成的角为，在平面内作,垂足为P,

由于正方体中，平面平面，

平面平面，平面,

则平面 ，连接,则 , ，

所以，

令，

由于，当且仅当时取等号，

即时，最大，此时与平面所成的角最大，

此时三棱锥的体积为，

故答案为：

【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解，涉及到空间向量的应用，以及线面角的求法，和均值不等式的应用，综合性较强，解答时要能熟练应用相关知识.

四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知.

（1）求；

（2）求与夹角余弦值；

（3）当时，求实数的值.

【答案】（1）-10    （2）   

（3）或

【解析】

【分析】（1）根据空间向量的坐标运算律,即可求解.

（2）根据空间向量的夹角公式,代入求解.

（3）由,转化为数量积为0即可.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

；

【小问3详解】

当时，，得，

，或.

18. 已知两条直线.

（1）若不重合，且垂直于同一条直线，求的值.

（2）从①直线过坐标原点，②直线在轴上的截距为2，③直线与坐标轴形成的三角形的面积为1.这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并作答.

若，直线与垂直，且__________，求直线的方程.

【答案】（1）   

（2）选条件①直线l的方程为；选条件②直线l的方程为；选条件③直线l的方程为.

【解析】

【分析】（1）由两直线平行的条件求的值；

（2）直线与垂直，可得直线l的斜率为，结合所选条件求直线l的方程.

【小问1详解】

不重合，且垂直于同一条直线，，

，解得.

【小问2详解】

，直线，其斜率为2，

又直线l与垂直，直线l的斜率为.

方案一：选条件①.

由直线l过坐标原点，则直线l的方程为，即.

方案二：选条件②.

由题意设直线l的方程为，令，则，则，即，

直线l的方程为.

方案三：选条件③.

由题意设直线l的方程为，令，则，令，则，

，解得，直线l的方程为.

19. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，点为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）连接，交于点，连接，则由三角形的中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；

（2）由已知可证得，，，所以以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；

（3）利用空间向量中的距离公式求解点到平面的距离.

【小问1详解】

连接，交于点，连接，

因为四边形为矩形，所以为的中点，

因为点为棱的中点，所以，

因为平面平面，

所以平面；

【小问2详解】

因为直线平面平面，

所以，，

因为四边形为矩形，所以，

所以以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

，

所以，

设平面的法向量，则，

令，则

设直线与平面所成角的正弦值，所以，

所以直线与平面所成角的正弦值；

【小问3详解】

由（2），平面的法向量为，

则点到平面的距离，

所以到平面的距离.

20. 已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2.

（1）求的方程；

（2）设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.

①求曲线的方程；

②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）①；②存在，

【解析】

【分析】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程；

（2）①利用代点法求出点的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可.

【小问1详解】

由题意可设圆的圆心的坐标为，圆的圆心在直线上，

，解得：，即圆心为，

圆心到直线的距离为，设圆的半径为r，弦长为，

由已知

所以，所以圆的标准方程为；

【小问2详解】

设，则，

由得：，所以

D在圆上运动，

整理可得点T的轨迹方程为：

当直线轴时，轴平分，

当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，

联立化简可得，

方程的判别式，

设，，，

若轴平分，则，所以，

又，，

所以，

所以，

所以

所以

解得，

当时，能使轴平分

21. 如图，等腰直角的斜边为直角的直角边，是的中点，在上，将三角形沿翻折，分别连接、、，使得平面平面.已知，.

（1）证明：

（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）过点在平面内作，垂足为，利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，由等腰三角形的几何性质可得出，利用线面垂直的判定和性质可证得结论成立；

（2）推导出，计算出、的长，然后以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值.

【小问1详解】

证明：过点在平面内作，垂足为，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，，

是等腰直角三角形斜边的中点，，

又，、平面，平面，

平面，.

【小问2详解】

解：由题意可知，在等腰直角三角形中，，，

在平面内，，，则，

为的中点，则为直角三角形的中位线，

，，，

，，，

，，

，

以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

设平面的法向量，则、、，

，，

由得，令，则，

显然，平面的一个法向量为，

因此，平面与平面夹角的余弦值.

22. 如图所示：已知椭圆短轴长为2，A是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于两点，交轴于点.记的面积为.

（1）若离心率，求椭圆的标准方程；

（2）在（1）的条件下①求证：为定值；②求的取值范围；

【答案】（1）   

（2）①证明见解析；②

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解的值，

（2）联立直线方程与椭圆方程得韦达定理给，结合向量的坐标运算即可求解，由弦长公式，结合对勾函数的单调性即可求解面积的范围.

【小问1详解】

由题意可知，，

所以，

故椭圆方程为：

【小问2详解】

由（1）得，依题意，直线不垂直于坐标轴，

①设直线，设，

由消去并整理得：，

则，

由得，即，

而，同理，

因此，，

所以为定值.

②，

由，则有，

令，显然函数在上单调递增，，则，

所以的取值范围是.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.