数学八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理优秀第一课时教案

浙教版数学 八年级上册 2.3等腰三角形的性质定理（第一课时） 教案

一、教材分析

等腰三角形是几何中一个相当特殊又重要的内容，探讨它的性质，对于深入研究等腰三角形，更深入体会等腰三角形的轴对称性具有重要的作用。

二、学情分析

首先是学生的知识特征，学生之前已经学习初步的等腰三角形的定义，等边三角形的定义，但是对于它们的性质还需要老师积极引导。

然后是学生的心理特征，八年级的学生好奇心重，求知欲强，教师通过合适的方法引入有助于他们更好地三角形的相关内容。

三、教学目标

知识与技能

了解等腰三角形的有关概念；   

2、掌握等腰三角形的性质定理； 

3、能运用等腰三角形的性质定理进行简单的计算和证明

过程与方法：在探究等腰三角形性质定理的过程中培养合作学习、动手操作的能力

情感态度与价值观：能够感受等腰三角形与生活的联系，感受数学的乐趣

四、教学重难点

重点：掌握和应用等腰三角形的性质

难点：

1.等腰三角形性质的符号表示；

2、能灵活运用等腰三角形的性质

五、教学方法、手段

教学方法：讲授法、探究法

教学手段：板书与多媒体课件相结合

六．教学过程

一．创设情境，引入新课

等腰三角形的定义：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形的对称轴是：

顶角平分线所在的直线是它的对称轴

等边三角形的定义：

三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

任意画一个等腰三角形，通过折叠、测量等方式，探索它的内角之间有什么关系。你发现了什么？

∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,

∠ADB=∠ADC.

等腰三角形性质定理1

等腰三角形的两个底角相等

可以说成 “在同一个三角形中,等边对等角”

你能证明上面的结论吗？

已知：如图，在△ABC中，AB=AC.

求证：∠B=∠C

证明： 如图，作△ABC的角平分线AD。

在△ABD和△ACD，

∵   AB=AC（已知）

      ∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）

      AD=AD（公共边）

∴△ABD≌△ACD（SAS）

∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）

练习1:

⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为__________（ 75°,30°）

2.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为  ______________（ 70°,40°或55°,55°）

⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为                （ 35°,35°）

结论:在等腰三角形中,

① 顶角+2×底角=180°

② 顶角=180°－2×底角

③ 底角=（180°－顶角）÷2

④0°＜顶角＜180°

⑤0°＜底角＜90°

二、例题精讲：

例1、求等边三角形ABC三个内角的度数.

解： 如图，在△ABC中，

∵AB=AC（已知）

∴∠B=∠C（等腰三角形的两个底角相等）

同理，∠A=∠B

∵∠A+∠B+∠C=180°

∴∠A=∠B=∠C=×180°=60°

由“等腰三角形的两个底角相等”，可以得到以下推论：

等边三角形的各个内角都等于60°

例2：求证：等腰三角形两底角的平分线相等.

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的两条角平分线。

求证：BD=CE.

证明：如图

∵AB=AC（已知）

∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形的两个底角相等）

∵BD,CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线

∴∠CBD=∠ABC，∠BCE=∠ACB（角平分线的定义）

∴∠CBD=∠BCE

又∵BC=CB（公共边）

∴△BCE≌△CBD（ASA）

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）

三、随堂演练

1、如图，等边△ABC中，D为AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，求证：DB=DE。

证明：∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点 
∴∠ACB=60° 

∠CBD= ∠ABC=30°

∵CE=CD    ∴∠E=∠CDE 
又∵∠E+∠CDE=∠ACB=60° 
∴∠E=30°
∴∠CBD=∠E  

∴DB=DE

2.已知：如图，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．

求证：DE﹣DB=EC．

证明：∵BP平分∠ABC，
∴∠DBP=∠CBP．
∴DE∥BC，
∴∠CBP=∠DPB．
∴∠DPB=∠DBP．即DP=DB．
同理可得PE=CE．
∴DE=BD+CE，即DE﹣DB=EC．

四．课题检测

1.如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：
①AC-BE=AE；②∠BAD-∠C=∠DAE；③∠DAE=∠C；④AC=2BD，其中正确的是（　　）

A．①②③        B．①③④        

C．①②④        D．②③④

【解析】∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠2=∠C，
∴BE=CE，
∵AC-CE=AE，
∴AC-BE=AE，故①正确；

延长AD交BC与F，
∵AD⊥BE，
∴∠ADB=∠FDB=90°，
∵在△ABD和△FBD中，
∠ADB=∠FDB=90°

BD=BD

∠1=∠2
∴△ABD≌△FBD（ASA），
∴∠BAD=∠AFB，
在△ACF中，∠DAE=∠AFB-∠C，
∴∠BAD-∠C=∠DAE，故②正确；

在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠1=90°-∠C，
∴90°-∠C-∠C=∠DAE，
∴∠DAE=90°-2∠C，故③错误；

取CF的中点G，连接DG，则DG是△ACF的中位线，
∴DG∥AC，AC=2DG，
∴∠C=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BD=DG，
∴AC=2BD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④．
故选C．

2.已知：如图，AB=AC，DB=DC，问：AD与BC有什么关系？

猜想：AD垂直平分BC

证明:

∵AB=AC,BD=CD,AD=DA

∴△ABD≌△ACD(SSS)

∴∠BAD=∠CAD

∴AD垂直平分BC

3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，则∠DCE的大小为（　　）

A．30°   B．45°   C．60°    D．无法确定

【解析】设∠ACE=x度，∠ECD=y度，∠DCB=z度，
∵BC=BE，
∴∠CED=∠ECB=（y+z）度，
又AC=AD，
∠ADC=∠ACD=（x+y）度，
在△CDB中，∠B=x+y-z；
在△ACE中，∠A=y+z-x；
在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，即x+y-z+y+z-x=90°，
∴2y=90°，解得y=45度．于是∠DCE=45°．

4.如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有（　　）

A．5个    B．6个     C．7个     D．8个

①∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形；
②∵BO，CO，AO分别是三个角的角平分线，
∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO，
∴AO=BO，AO=CO，BO=CO，
∴△AOB为等腰三角形；
③△AOC为等腰三角形；
④△BOC为等腰三角形；
⑤∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠B=∠ODE，∠C=∠OED，
∵∠B=∠C，
∴∠ODE=∠OED，
∴△DOE为等腰三角形；

⑥∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，
∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO，
∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，
∴△BOD为等腰三角形；
⑦△COE为等腰三角形．

故选C

5.在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE=CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，
①求证：△APF是等腰三角形；     
②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．

①证明：∵EF∥AD，
∴∠1=∠4，∠2=∠P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠P，
∴AF=AP，
即△APF是等腰三角形；

②AB=PC．理由如下：
 

证明：∵CH∥AB，
∴∠5=∠B，∠H=∠1，
∵EF∥AD，
∴∠1=∠3，
∴∠H=∠3，
在△BEF和△CDH中，∠H=∠3

BE=CD

，∴△BEF≌△CDH（AAS），

∴BF=CH，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2，∴∠2=∠H，

∴AC=CH，∴AC=BF，

∵AB=AF+BF，PC=AP+AC，

∴AB=PC．

6.在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（　　）个

A．1     B．4       C．7         D．10

【解析】（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故具有这种性质的点P共有10个．
故选D．

七、小结与作业

小结：

1．等腰三角形的性质定理1

定理：等腰三角形的两个底角相等，也就是说，在同一个三角形中，_______________．

2．等边三角形的性质

定理：等边三角形的各个内角都等于________.

说明：等边三角形的特殊性质主要指：三个内角都相等，三条边都相等，是轴对称图形且有三条对称轴．

作业

课本P58页第2、3、4、5 题