高中数学6.1空间向量及其运算优秀当堂检测题

第六章 空间向量与立体几何

6.1.1空间向量的线性运算

知识点01  空间向量的概念

(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．

(2)模(或长度)：向量的大小．

(3)表示方法：

①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||．

②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．

(4)几类特殊的向量

(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．

(2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．

(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．

(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．

(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．

【即学即练1】（2022·广东肇庆·校考模拟预测）下列命题中是假命题的是（     ）

A．任意向量与它的相反向量不相等

B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小

C．如果，则

D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

【即学即练2】（2022春·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ）

A．空间向量与的长度相等

B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

C．空间向量就是空间中的一条有向线段

D．不相等的两个空间向量的模必不相等

知识点02  空间向量的加法、减法与数乘运算

知识点.空间向量的加法和数乘的运算律

（1）加法交换律：

（2）加法结合律：

（3）数乘运算律：①λ(μ)＝(λμ)；②(λ＋μ)＝λ＋μv；③λ(＋)＝λ＋λ；

【即学即练3】（2022春·湖南怀化·高二校考阶段练习）在空间四边形中下列表达式化简结果与相等的是（    ）

A． B．

C． D．

【即学即练4】（2022春·江西上饶·高二校联考阶段练习）如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

知识点03  共线向量及共线向量定理

1.共线向量或平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.

向量a与b平行，记作a//b.规定，零向量与任意向量共线.

 2.共线向量定理

对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa.

【即学即练5】已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　）

A． B． C． D．

【即学即练6】（2022·高二单元测试）如图，已知，分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.求证：，，三点共线.

◆考点01 空间向量的基本概念

【典例1】（2022春·北京·高二校考阶段练习）给出下列命题：

①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；

②若空间向量满足，则；

③在正方体中，必有 ；

④若空间向量 满足，，则；

⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【典例2】（2022春·湖北咸宁·高二校考阶段练习）下列命题中，正确的是（    ）.

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【典例3】（2022·高二课时练习）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（　　）

A．与共面的单位向量有无数个

B．与垂直的单位向量有无数个

C．与平行的单位向量只有一个

D．与同向的单位向量只有一个

【典例4】（2021春·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（    ）．

A． B． C． D．

◆考点02 空间向量的加法、减法与数乘运算

◆类型1 空间向量的加法、减法与数乘运算

【典例5】（2022春·河南郑州·高二郑州市第一〇六高级中学校考阶段练习）在空间四边形 中，连接 ， ，若 是正三角形，且 为其重心，则（    ）

A． B． C． D．

【典例6】（2022春·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期末）如图所示,在正方体中,点F是侧面的中心,设,则（    ）

A． B． C． D．

◆类型2 含参运算

【典例7】（2022春·陕西商洛·高二统考期末）在平行六面体中，点在上，且，若，则（    ）

A． B．1 C． D．

【典例8】（2022春·湖南长沙·高二长沙一中校联考期中）如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（    ）

A． B． C． D．

◆考点03 空间向量共线问题

◆类型1  共线的判定

【典例9】（2022·全国·高二专题练习）对于空间任意一点O，以下条件可以判定点P､A､B共线的是___________（填序号）.

①；

②；

③；

④.

【典例10】（多选）（2022春·安徽·高二合肥市第八中学校联考期中）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　）

A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上

C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上

◆类型2 已知向量共线求参数

【典例11】（2022·全国·高二假期作业）已知非零向量，，且、、不共面．若，则（    ）．

A．

B．

C．

D．

【典例12】（2022春·广东广州·高二校考阶段练习）已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是________．

题组A  基础过关练

一、单选题

1．（2022春·安徽滁州·高二阶段练习）已知，，，为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，必共面的向量为（    ）

A． B． C． D．或

2．（江西省宜春市八校2022-2023学年高二上学期第一次（12月）联合考试数学试题）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

3．（2022春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学期末）在正四面体中，F是的中点，E是的中点，若，则（    ）

A． B． C． D．

4．（2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．2

5．（2022春·河南·高二宜阳县第一高级中学校联考阶段练习）如图，在三棱柱中，G是与的交点，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

6．（2022春·贵州·高二统考期中）如图，在四棱锥中，，分别是和的中点，下列表达式化简正确的是（    ）

A． B．

C． D．

7．（2022春·广东佛山·高二校考阶段练习）(多选)如图所示， M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，，则下列等式成立的是（    ）

A．

B．

C．

D．

8．（2022春·广东中山·高二校考阶段练习）在长方体中，则（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

9．（2022春·陕西渭南·高二期末）如图，空间四边形中，，，，且，，则____________．

10．（2022春·山东烟台·高二统考期中）已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为______．

11．（2022春·广东肇庆·高二校联考阶段练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且A，C，D三点共线，则实数k的值为______.

12．（2022春·广东佛山·高二大沥高中校考阶段练习）在三棱锥中，是的中点，则________.

四、解答题

13．（2022春·湖南永州·高二校考期中）已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：

(1)；

(2).

14．（2022·高二课时练习）如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.

(1)；

(2)；

(3).

15．（2022春·河南郑州·高二郑州外国语学校校考阶段练习）如图所示，已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，求满足的实数的值．

题组B  能力提升练

一、单选题

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E在侧棱PC上，且，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ）

A． B． C． D．2

3．如图，在三棱锥中，平面，，，点在三棱锥的表面上运动，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．已知三棱锥，点分别为的中点，且，用表示，则等于(    )

A． B．

C． D．

5．在正方体中，AC与BD的交点为M.设则下列向量与相等的向量是 （       ）

A． B．

C． D．

6．在三棱锥中，点E，F分别是的中点，点G在棱上，且满足，若，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列等式正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

8．已知向量，，，则下列等式错误的有（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

9．如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，是棱上靠近的四等分点，过、、三点的平面交棱于，设，则______.

10．已知正四面体的棱长均为2，则___________.

11．在正三棱柱中，，点P满足，其中，则三角形周长最小值是___________.

四、解答题

12．如果都是空间向量，判断是否成立，并说明等号何时成立．

13．如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式：

(1)；

(2)；

(3)．

14．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.

求证：（1）；

（2）.

题组C  培优拔尖练

1．（多选）在正三棱柱中，，，点D为BC中点，则以下结论正确的是（    ）

A．

B．三棱锥的体积为

C．且平面

D．内到直线AC、的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分

2．如图在正方体中，已知,,,为底面的的中心，为的重心，则______