苏教版 (2019)选择性必修第二册6.2空间向量的坐标表示精品精练

6.2.1空间向量基本定理

知识点01  空间向量的基本定理

【即学即练1】若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ）

A． B．

C． D．

【即学即练2】已知是空间的一个基底，下面向量中与向量，一起能构成空间的另外一个基底的是（    ）

A． B． C． D．

知识点02  正交基底和单位正交基底

推论:

设 O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得++.

【即学即练3】设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【即学即练4】已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量___________.

◆考点01 空间向量基底概念及辨析

【典例1】（多选）设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（   ）

A． B． C． D．

【典例2】（多选）以下四个命题中正确的是（    ）

A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底

C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面

D．向量，，共面，即它们所在的直线共面

【典例3】已知是空间的一组基， 且，，，.

(1)能否构成空间的一组基底？若能，试用这一组基向量表示；若不能，请说明理由．

(2)判断，，，四点是否共面，并说明理由．

◆考点02用空间向量表示基底

【典例4】已知三棱锥，M，N分别是对棱、的中点，点G在线段上，且，设，，，则__________．（用基底表示）

【典例5】在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设基向量，用这个基向量表示以下向量：、．

【典例6】．在三棱锥体中，，点为的中点，设.

(1)记，试用向量表示向量；

(2)若，求的值.

◆考点03 空间向量正交分解

【典例7】已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【典例8】已知向量，，是空间的一组单位正交基底，向量，，是空间的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为（2，1，3），p在基底，，下的坐标为（x，y，z），则x﹣y＝_____，z＝_____．

题组A  基础过关练

一、单选题

1．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

2．已知三棱锥，点G是△ABC的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）.设，，，那么向量用基底可表示为（    ）

A． B．

C． D．

3．若为空间的一个基底，则下列各项中不能构成空间中基底的一组向量是（    ）

A． B．

C． D．

4．如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（    ）

A． B．

C． D．

5．已知是空间向量的一个基底，则可以与向量，，构成基底的向量是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

6．关于空间向量，以下说法不正确的是（    ）

A．向量，，若，则

B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面

C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底

D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线

7．给出下列命题,其中正确的有（    ）

A．已知向量,则

B．若向量共线,则向量所在直线平行或重合

C．已知向量,则向量与任何向量都不构成空间的一个基底

D．为空间四点,若构成空间的一个基底,则共面

8．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ）

A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面

B．不相等的两个空间向量的模可能相等

C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量

D．若是两个不共线的向量，且（且），则构成空间的一个基底

三、填空题

9．已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则 __．

10．设是空间的一个单位正交基底，且向量 ， 是空间的另一个基底，则用该基底表示向量____________.

四、解答题

11．如图，在平行六面体中，点E，F分别是棱和的中点，以，，为基底表示．

12．已知空间的一组基，，．

(1)写出一个与向量平行的向量；

(2)写出一个与向量，共面的向量；

(3)向量，是否共线？是否共面？

(4)写出一个向量，使之与向量，构成空间的另一组基．

题组B  能力提升练

一、单选题

1．如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

2．如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）

A． ，，

B． ，，

C． ，，

D． ，，

4．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

5．在正方体中，P为的中点，E为的中点，F为的中点，O为EF的中点，直线PE交直线于点Q，直线PF交直线于点R，则（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

6．如图，在长方体中，，点P为空间一点，若 ，，则下列判断正确的是（    ）

A．线段长度的最小值为

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．无论取何值，点P与点Q不可能重合

D．当时，四棱锥的外接球的表面积为

7．若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（    ）

A．的取值范围是

B．能构成空间的一个基底

C．“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件

D．

8．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

9．在直三棱柱中，，，若中所有的点构成的几何体的体积为3，则与夹角的大小为________．

10．已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，则的最大值是_______.

四、解答题

11．平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．

(1)求线段的长；

(2)若，判断能否构成空间的一组基底，若能，用此基底表示向量；若不能，说明理由．

12．如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．

(1)以为一组基底表示向量；

(2)若，，，求．

13．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．

(1)用，，表示向量；

(2)若，且满足       （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小．

题组C  培优拔尖练

如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最小值为______.