苏教版 (2019)选择性必修第二册6.2空间向量的坐标表示精品复习练习题

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6.2.2空间向量的坐标表示
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课程标准
重难点
1. 在平面直角坐标系的基础上了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用直角坐标系刻画点的位置.
2. 能借助特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）得到顶点的坐标.
3. 掌握空间向量线性运算的坐标表示.
重点：空间向量的坐标运算.
难点：空间向量平行垂直的坐标表示.
知识精讲

知识点01 空间直角坐标系
1.定义：如图，在空间选定一点0和一个单位正交基底{i，j，k}以0为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴，这是我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz。
其中点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。

2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

知识点02 空间直角坐标系中点的坐标
定义：对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即通过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R，点P， Q， R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作A点的坐标，记为A（x，y，z）。其中x，y，z分别叫作点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。

注意：在空间直角坐标系O-xyx中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a=a1i＋a2j＋a3x，有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作a=（a1，a2，a3）.
【即学即练1】笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A关于y轴对称的点的坐标是（    ）

A．−1,−1,1 B．1,−1,1
C．1,−1,−1 D．−1,−1,−1
【答案】A
【解析】由图写出点A的坐标，然后再利用关于y轴对称的点的性质写出对称点的坐标.
【详解】由图可知，点A(1,−1,−1)，所以点A关于y轴对称的点的坐标为(−1,−1,1).
故选：A.
【即学即练2】在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4，AD=2， 平行六面体高为23，顶点D在底面A1B1C1D1的射影O是C1D1中点，设△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.

(1)A1、B1、A、D1；
(2)G；
(3)B；
【答案】(1)A12,−2,0，B12,2,0，A12,0,23，D10,−2,0
(2)G43,0,233
(3)B2,4,23

【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出A1，B1，A1，D1的坐标；
（2）利用重心坐标公式计算得到G点坐标；
（3）利用向量相等得到点B坐标；
（1）如图，以O为坐标原点，分别以OC1、OD所在直线为y,z轴，以过点O作B1C1的平行线为x轴建立空间直角坐标系．
设点A1(x,y,z)，点A1在平面xoy上则z=0，

由图可知它到y轴投影D1对应数值−2，则y=−2，
到x轴投影对应数值为2，则x=2，即A1(2,−2,0)
同理得B1(2,2,0)、A(2,0,23)、D1(0,−2,0)；
（2）∵G是△AB1D1的重心，∴G(2+2+03,2+0−23,0+23+03)⇔G(43,0,233)
(由三角形重心公式(x1+x2+x33,y1+y2+y33,z1+z2+z33)可得)
（3）设B(x,y,z)，则B1B=(x−2,y−2,z)，D1D=(0,2,23)，
又∵ B1B=D1D，
比较得x=2,y=4,z=23，
∴点B坐标为(2,4,23)
【即学即练3】在直三棱柱ABO−A1B1O1中，∠AOB=π2，AO=4，BO=2，AA1=4，D为A1B1的中点，则在空间直角坐标系中（O为坐标原点），DO的坐标是_________，A1B的坐标是_________．
【答案】     −2,−1,−4     (−4,2,−4)
【分析】以O为原点，OA,OB,OO1为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标即可求解.
【详解】如图建系，则O(0,0,0),A1(4,0,4),B1(0,2,4),B(0,2,0)，
∴A1B=(−4,2,−4)．∵D为A1B1的中点，
∴D(2,1,4)，∴DO=(−2,−1,−4)．
    
故答案为：−2,−1,−4；(−4,2,−4)
【点睛】本题考查了空间向量的求法，解题的关键是建立空间直角坐标系，属于基础题.
知识点03 空间向量的坐标运算
1.空间向量的坐标运算
（1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则
①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）
②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）
③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).
④若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
⑤a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
⑥|a|＝＝；
⑦当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝．
(2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB=OB-OA=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的
坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
2.空间向量平行、垂直的坐标表示
（1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//b⟺b=λa⟺x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
3.空间向量坐标的应用
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝．
【即学即练4】已知向量a=−2,−3,1，b=2,0,3，c=0,0,2，则a+6b−c的坐标为______.
【答案】10,−3,17
【分析】直接利用向量的运算法则计算即可.
【详解】向量a=−2,−3,1，b=2,0,3，c=0,0,2，则a+6b−c=−2,−3,1+62,0,3−0,0,2=10,−3,17.
故答案为：10,−3,17.
【即学即练5】已知向量a→=4,2,−4，b→=2,−1,1，c→=−1,5,1，求：
(1)2a→−3b→；
(2)a→⋅b→；
(3)a→⋅（b→+c→）.
【答案】(1)2,7,−11(2)2(3)4
【分析】（1）根据空间向量的坐标的线性运算即可求解，
（2）（3）根据空间向量数量积的坐标运算即可求解，
【详解】（1）由a→=4,2,−4，b→=2,−1,1得2a→−3b→=24,2,−4−32,−1,1=2,7,−11
（2）a→⋅b→=4,2,−4⋅2,−1,1=8−2−4=2
（3）a⋅b+c=a⋅b+a⋅c=2−4+10−4=4
能力拓展

◆考点01 空间向量的坐标表示
【典例1】已知空间向量a=1,2,−3，则向量a在坐标平面Oyz上的投影向量是（    ）
A．0,2,3 B．0,2,−3 C．1,2,0 D．1,2,−3
【答案】B
【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案.
【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，
空间中点a=(1,2,−3)在坐标平面Oyz上的投影坐标，
横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变．
所以空间向量a=(1,2,−3)在坐标平面Oyz上的投影向量是：(0,2,−3)
故选：B.
【典例2】在空间直角坐标系中，点(−2,1,4)关于x轴对称的点坐标是（    ）
A．(−2,1,−4) B．(2,1,−4) C．(−2,−1,−4) D．(2,−1,4)
【答案】C
【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点(−2,1,4)关于x轴对称的点坐标为(−2,−1,−4).
故选：C.
【典例3】若A3,2,4､B1,2,−8，点C在线段AB上，且ACAB=23，则点C的坐标是___________.
【答案】53,2,−4
【分析】设点C的坐标为x,y,z，由题意可得AC=23AB，即可得到方程组，解得即可求得C的坐标．
【详解】解：∵点A3,2,4､B1,2,−8，C为线段AB上一点，且ACAB=23，
所以AC=23AB，AB=−2,0,−12
设点C的坐标为x,y,z，则AC=x−3,y−2,z−4，
则x−3,y−2,z−4=23−2,0,−12，即x−3=−43y−2=0z−4=−8，
解得x=53y=2z=−4，即C53,2,−4；
故答案为：53,2,−4．
◆考点02 空间向量坐标运算
◆类型1 加减数乘与数量积
【典例4】若a=2,3,2,b=1,2,2,c=−1,2,2，则a−b⋅c的值为（    ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】直接利用数量积的坐标运算即可求得.
【详解】因为a=2,3,2,b=1,2,2,c=−1,2,2，
所以a−b⋅c=1,1,0⋅−1,2,2=−1+2+0=1.
故选：C

【典例5】在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是面AC的中心，则AP⋅AO的值为（    ）
A．1 B．2 C．2 D．不确定
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，设P0,1,z，利用坐标法计算可得.
【详解】如图，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，
因为正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，点O是面AC的中心，P是棱CC1上一动点，
所以A1,0,0，O12,12,0，设P0,1,z，则AP=−1,1,z，AO=−12,12,0
所以AP⋅AO=−1×−12+1×12+0⋅z=1

故选：A
◆类型2空间向量模长问题
【典例6】已知A(1,4,2),B(−2,1,3)，则AB等于（    ）
A．1 B．19 C．23 D．32
【答案】B
【分析】利用空间向量的坐标表示先求出AB，再代入模的计算公式即可求解.
【详解】因为A(1,4,2),B(−2,1,3)，所以AB=(−3,−3,1)，
则AB=(−3)2+(−3)2+12=19，
故选：B.
【典例7】若a=2,3,5，b=0,1,−4，则a−2b=___________．
【答案】174
【分析】由向量坐标的线性运算及模运算计算即可.
【详解】a−2b=2,3,5−2×0,1,−4=2,1,13，故a−2b=22+12+132=174.
故答案为：174
【典例8】空间向量a，b满足a+2b=a−b，且b=2,1,−3，则a⋅b=______.
【答案】−7
【分析】先由空间向量的模的坐标表示求b，把a+2b=a−b两边同时完全平方，化简可求a⋅b.
【详解】由b=2,1,−3，可得b=4+1+9=14，
因为a+2b=a−b，所以a+2b2=a−b2，所以a+2b2=a−b2，
所以a2+4a⋅b+4b2=a2−2a⋅b+b2，所以6a⋅b+3×14=0，所以a⋅b=−7，
故答案为：−7.
◆类型3空间向量夹角问题
【典例9】若a=(1,1,0),b=(1,0,1)，则a与b的夹角为（    ）
A．π3 B．π6 C．2π3 D．5π6
【答案】A
【分析】求出两向量的模及数量积，根据cosa,b=a⋅bab即可求解.
【详解】∵a⋅b=1×1+1×0+0×1=1,a=12+12+02=2,b=12+02+12=2，
则cosa,b=a⋅bab=12×2=12，且a,b∈0,π，
∴a,b=π3.
故选：A.
【典例10】（多选）如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法逐个判断即可求解
【详解】对于A：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，
则，
故，
所以，
所以，故A正确；

对于B：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，
则，
故，
所以，
所以，故B错误；

对于C：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，
则，
故，
所以，
所以，故C错误；

对于D：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，
则，
故，
所以，
所以，故D正确；

故选：AD
【典例11】已知A1,0,0，B0,−1,1，OA+λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为（    ）
A．−66 B．−6 C．±6 D．±66
【答案】A
【分析】求出空间向量的坐标，利用向量数量积和向量的夹角求出结果．
【详解】因为OA+λOB=(1，0，0)+λ(0，−1，1)=(1，−λ，λ)，OB=0,−1,1
所以OA+λOB=1+2λ2，OB=2，(OA+λOB)⋅OB=2λ，
所以cos120°=(OA+λOB)⋅OBOA+λOBOB=2λ22λ2+1=−12，
所以λ<0，且4λ=−4λ2+2，解得：λ=−66．
故选：A．
◆考点03 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
◆类型1 空间向量平行问题
【典例12】已知a=2x,1,3,b=1,−2y,9，如果a//b，则x+y=（    ）
A．−43 B．0 C．43 D．—1
【答案】A
【分析】根据向量共线定理，结合空间向量线性关系的坐标关系列方程求参数，即可得结果.
【详解】由题设，存在λ∈R使a=λb，则2x=λ1=−2λy3=9λ，可得x=16y=−32λ=13，
所以x+y=16−32=−43.
故选：A
【典例13】已知向量a=(1,1,0)，则与a共线的单位向量e=（    ）
A．(22,−22,0) B．(0,1,0)
C．(22,22,0) D．(1,1,1)
【答案】C
【分析】利用向量共线定理、模的计算公式即可判断出结论.
【详解】因为向量a与e共线，故a=λe，对于C：向量(22,22,0)=22a，另验证向量(22,22,0)的模为(22)2×2+0=1，故(22,22,0)为单位向量．
故选：C．
【典例14】(多选)已知空间向量a=1,1,−1，b=−2,2,1，则下列结论正确的是（    ）
A．b−2a//a B．b=3a
C．a与b夹角的余弦值为−39 D．a⊥a+3b
【答案】BCD
【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为b−2a=−4,0,3，a=1,1,−1，所以−41≠01≠3−1，所以向量b−2a与a不共线，故选项A不正确；
因为a=3，b=3，所以b=3a，故选项B正确；
因为cosa,b=−2+2−13×3=−39，故选项C正确；
因为a+3b=−5,7,2，所以a⋅a+3b=−5+7−2=0，即a⊥a+3b，故选项D正确.
故选：BCD.
◆类型2 空间向量垂直问题
【典例15】已知向量，.若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量垂直的坐标表示即可得解.
【详解】因为，，，
所以，解得，
所以.
故选：A.
【典例16】已知向量，且与互相垂直，则k的值是（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.
【详解】，，
因为与互相垂直，所以，所以，所以.
故选：D.
【典例17】已知向量a=−2,−1,2，b=−1,1,2，c=x,2,2.
(1)求a−2b
(2)当c=22时，若向量ka+b与c垂直，求实数x和k的値；
(3)当x=−12 时，求证：向量c与向量a，b共面.
【答案】(1)13
(2)x=0，k=−3
(3)证明见解析

【分析】（1）根据空间向量的模的公式计算即可；
（2）根据|c|=22可求得x=0，再根据垂直的数量积为0求解k即可；
（3）设c=λa+μb，根据条件可得c=−12a+32b，根据共面向量定理即得.
【详解】（1）∵a=−2,−1,2，b=−1,1,2，∴a−2b=−2,−1,2−2−1,1,2=0,−3,−2，
∴a−2b=9+4=13.
（2）因为|c|=22，所以x2+22+22=22，解得x=0，因为ka+b= (−2k−1,1−k,2k+2)，且向量ka+b与c垂直，所以(ka+b)⋅c=0，c=(0,2,2)即2−2k+4k+4=2k+6=0，
∴k=−3.所以实数x和k的值分别为0和−3；
（3）证明：当x=−12时，c=(−12,2,2)，设c=λa+μb λ,μ∈R，
则(−12,2,2)=λ(−2,−1,2)+μ(−1,1,2)，−12=−2λ−μ2=μ−λ2=2λ+2μ，解得λ=−12μ=32，
即c=−12a+32b，所以向量c与向量a，b共面.
分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．笛卡尔是世界上著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父．据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形．在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD−A1B1C1D1为长方体，且AB=BC=1，AA1=2，点P是x轴上一动点，则AP+PD的最小值为（    ）

A．19 B．25 C．21 D．26
【答案】C
【分析】点A关于x轴对称的点A′到D的距离即AP+PD的最小值.
【详解】因为AB=BC=1，AA1=2，由图可知，A(1,−1,−2)，D(0,−1,−2)，
A关于x轴对称的点为A′(1,1,2)，
所以(AP+PD)min=A′D=21.
故选：C.
2．已知空间向量a=−1,2,x，b=3,−6,−3，且a∥b，则x=（    ）
A．9 B．−1 C．1 D．−9
【答案】C
【分析】根据空间向量共线的充要条件即可求解.
【详解】因为空间向量a=−1,2,x，b=3,−6,−3，且a∥b，
所以−13=2−6=x−3，解得：x=1，
故选：C.
3．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，G,E,F分别是棱A1B1、CC1和AB的中点，点D是线段AC上的动点(不包括端点).若GD⊥EF，则线段AD的长度是（    ）


A．14 B．12 C．34 D．1
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，设出D点坐标，求出向量DG,EF，利用GD⊥EF求得D点坐标，再求线段AD的长度即可．
【详解】在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，以A为原点，AC,AB,AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)， E1,0,12，G0,12,1，F0,12,0，D(x,0,0)，GD=x,−12,−1，EF=−1,12,−12，
由于GD⊥EF，所以GD⋅EF=−x−14+12=0，解得x=14，所以线段AD的长度为14.
故选：A
4．已知向量a=1,1,0，b=−1,0,2，且ka+b与a−b互相平行，则实数k的值为（    ）
A．－2 B．2 C．1 D．－1
【答案】D
【分析】根据空间向量平行的坐标表示，列出方程组，求解即可．
【详解】∵向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，
∴ka+b=(k,k,0)+(−1,0,2)=(k−1,k,2)，a−b=(1,1,0)−(−1,0,2)=(2,1,−2)，
∵ka+b与a−b互相平行，
∴ka+b=λ(a−b)，即k−1=2λk=λ2=−2λ，解得k=λ=−1．
故选：D．
5．已知向量a=0,3,3，b=−1,1,0，则a与b的夹角为（    ）
A．5π6 B．π6 C．π3 D．2π3
【答案】C
【分析】根据空间向量的夹角公式即可求解.
【详解】因为向量a=0,3,3，b=−1,1,0，
所以cos=a⋅bab=39+91+1=12，又∈[0,π]
所以a与b的夹角为π3，
故选：C.

二、多选题
6．已知a=(2,−1,2)，b=(2,2,1)，则（    ）
A．a，b夹角为锐角
B．a+b与a−b相互垂直
C．|a+b|=|a−b|
D．以a，b为邻边的平行四边形的面积为65
【答案】ABD
【分析】根据空间向量的坐标运算逐项分析判断.
【详解】a=(2,−1,2)，b=(2,2,1)，则a=b=3,a⋅b=2×2−1×2+2×1=4，
对A：∵22≠−12≠21，则a与b不共线，
又∵cosa,b=a⋅bab=49>0，故a，b夹角为锐角，故 A正确；
对B：∵a+b=(4,1,3),a−b=(0,−3,1)，则(a+b)⋅(a−b)=4×0+1×(−3)+3×1=0，
∴a+b与a−b相互垂直，故B正确；
对C：a+b=42+12+32=26，a−b=02+(−3)2+12=10，即a+b≠a−b，故C错误；
对D：∵a,b∈0,π，则sina,b=1−cos2a,b=659，
故以a，b为邻边的平行四边形的面积为2×12×3×3×659=65，故D正确.
故选：ABD.
7．已知空间向量a=(1,1,1),b=(−1,0,2)，则下列正确的是（    ）
A．a+b=(0,1,3) B．|a|=3 C．a⊥b D．〈a,b〉=π4
【答案】AB
【分析】根据向量坐标和的运算法则，可得A正确；通过由向量坐标求模的计算公式，可得B正确；由向量数量积计算公式，可得a⋅b≠0不垂直，得C错误；通过向量坐标的夹角计算公式，可得cos〈a,b〉≠22，得D错误.
【详解】因为a=(1,1,1),b=(−1,0,2)，
所以a+b=(1,1,1)+(−1,0,2)=(0,1,3)，故A正确；
a=12+12+12=3，所以B正确；
a⋅b=(1,1,1)⋅(−1,0,2)=−1+0+2=1≠0，所以a，b不垂直，故C错误；
cos〈a,b〉=a⋅bab=13×5=1515，故D错误.
故选：AB.
8．已知空间向量a=2,−1,3，则下列说法正确的是（    ）
A．若b=0，则a，b共线
B．若b=−4,2,−6，则a，b共线
C．若b=−2,0,−3，c=0,−1,0，则a，b，c共面
D．若b=−1,2,3，c=3,2,−1，则a，b，c共面
【答案】ABC
【分析】根据共线向量的定义即可判断AB；根据共面向量的定义即可判断CD.
【详解】对A，因为b=0，所以a，b共线，故A正确；
对B，因为b=−2a，所以a，b共线，故B正确；
对C，因为a=−b+c，所以a，b，c共面，故C正确；
对D，设a=xb+yc，则2=−x+3y−1=2x+2y3=3x−y，该方程组无解，故a，b，c不共面，故D错误，
故选：ABC.

三、填空题
9．已知空间有三点A1,0,−1，B0,2,1，C3,6,1，若在直线BC上存在一点M，使得AM⊥BC，则点M的坐标为______.
【答案】−35,65,1##−0.6,1.2,1
【分析】设出点M的坐标Mx,y,z，列出关于x,y,z的方程组，解之即可求得点M的坐标
【详解】设Mx,y,z，则AM=x−1,y,z+1， BM=x,y−2,z−1
又BC=3,4,0，AM⊥BC，BC//BM
则3x−1+4y=03y−2=4xz−1=0解得x=−35z=1y=65
即点M的坐标为−35,65,1.
故答案为：−35,65,1
10．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，则EF,GH=__．

【答案】π3##60°
【分析】直接利用向量的坐标运算求出向量的夹角．
【详解】利用正方体，建立空间直角坐标系，A1−xyz，
设正方体的棱长为2，
则G2,1,2,H2,2,1,E1,0,2,F0,1,2，
所以EF=−1,1,0，GH=0,1,−1，
所以cosEF,GH=EF⋅GHEFGH=12×2=12，
故EF,GH=π3，
故答案为：π3．

11．已知空间向量a=2,3,4，b=1,0,−1，那么a在b上的投影向量为___________.
【答案】−1,0,1
【分析】根据向量的数量积的概念与几何意义，结合投影向量的计算方法，即可求解.
【详解】由题意，空间向量a=2,3,4，b=1,0,−1，
可得a⋅b=2,3,4⋅1,0,−1=−2,b=2，
所以a在b上的投影向量为a⋅bb×bb=−22×12×1,0,−1=−1,0,1，
故答案为：−1,0,1.

四、解答题
12．已知a=(1,4,−2),b=(−2,2,4)．
(1)若(ka+b)⊥(a−3b)，求实数k的值；
(2)若c=12b，求cos〈a,c〉的值．
【答案】(1)7427
(2)−1442

【分析】（1）根据已知向量垂直有(ka+b)⋅(a−3b)=0，应用空间向量数量积的坐标表示列方程，求k的值.
（2）由题设得c=−1,1,2，应用空间向量夹角的坐标表示求cos即可
【详解】（1）ka+b=k(1,4,−2)+(−2,2,4)=k−2,4k+2,−2k+4，
a−3b=(1,4,−2)−3(−2,2,4)=7,−2,−14，
由(ka+b)⊥(a−3b)，即(ka+b)⋅(a−3b)=0，
∴7(k−2)−2(4k+2)−14(−2k+4)=0，解得:k=7427；
（2）由已知得：c=12b=−1,1,2，a=1,4,−2，
∴cos=a⋅cac=1×−1+4×1+−2×21+16+4×1+1+4=−121×6=−1442.
13．已知a→=1,4,−2，b→=−2,2,4．
(1)若c→=12b→，求cos〈a→,c→〉的值；
(2)若ka→+b→⊥a→−3b→，求实数k的值．
【答案】(1)−1442；
(2)k=7427.

【分析】（1）根据向量夹角公式计算即可；
（2）根据垂直关系的向量坐标表示求解.
【详解】（1）由已知可得c→=12b→=−1,1,2，a→=1,4,−2，
∴cos=a→⋅c→a→c→=1×−1+4×1+−2×21+16+4×1+1+4=−121⋅6=−1442．
（2）∵ka→+b→⊥a→−3b→，
∴ka→+b→⋅a→−3b→=0，
∵ka→+b→=(k−2,4k+2,−2k+4)，a→−3b→=(7,−2,−14)，
即7(k−2)−2(4k+2)−14(−2k+4)=0，解得k=7427．
题组B 能力提升练
一、单选题
1．已知a→=(1−t,1−t,t)，b→=(2,t,t)，则b−a取最小值时的t值是（    ）
A．15 B．55 C．555 D．355
【答案】D
【分析】根据空间向量的坐标运算先求出b−a，再根据向量模的计算公式和二次函数的性质即可求解.
【详解】因为a→=(1−t,1−t,t)，b→=(2,t,t)，
所以b−a=(1+t,2t−1,0)，
则b−a2=(1+t)2+(2t−1)2+02=5t2−2t+2=5(t−15)2+95，
由二次函数的图象和性质可知：当t=15时，b−a取最小值355，
故选：D.
2．设空间两个单位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p与向量OC=1,1,1的夹角都等于π4，则cos∠AOB=（    ）
A．2−34 B．2+32
C．2−34或2+34 D．2−32或2+32
【答案】C
【分析】首先根据OA为单位向量得到m2+n2=1，再利用OA与OC的夹角等于π4，得m+n=62.联立方程求解出m与n的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可.
【详解】∵空间两个单位向量OA=m,n,0，OB=0,n,p与向量OC=1,1,1的夹角都等于π4，
∴∠AOC=∠BOC=π4，OC=3，
∵OA⋅OC=OA⋅OC⋅cos∠AOC=62，
又OA⋅OC=m+n，∴m+n=62，
又OA为单位向量，∴m2+n2=1，
联立m+n=62m2+n2=1，得m2=2+34n2=2−34或m2=2−34n2=2+34，
∵ OA=m,n,0，OB=0,n,p，
∴cos∠AOB=n2=2±34.
故选：C.
3．已知点P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点（包括边界），则PB⋅PD的最大值为（    ）
A．12 B．14 C．1 D．32
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，将向量PB，PD用坐标表示，计算数量积，求最大值.
【详解】
如图，以D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设点Px,y,0，0≤x≤1，0≤y≤1，
则PB=1−x,1−y,1，PD=−x,−y,1，
PB⋅PD=x2−x+y2−y+1=x−122+y−122+12，
当x=0或1，y=0或1时，PB⋅PD最大，为1.
故选：C.
4．已知向量a⋅b=b⋅c=a⋅c，b=(3,0,−1)，c=(−1,5,−3)，下列等式中正确的是（   ）
①.(a⋅b)⋅c=b⋅c        ②.(a+b)⋅c=a⋅(b+c)
③.(a+b+c)2=a2+b2+c2     ④.|a+b+c|=|a−b−c|
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据数量积定义判断①，结合已知条件得a⋅b=b⋅c=a⋅c =0，然后由数量积的运算律判断②③，把模的运算转化为数量积运算判断④．
【详解】因为a⋅b=b⋅c=a⋅c，b=(3,0,−1)，c=(−1,5,−3)，b⋅c=0，从而a⋅b=b⋅c=a⋅c =0，
①式左边中向量，右边是实数，显然不相等，错误；
②(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c=a⋅c+a⋅b=a⋅(b+c)，正确，
③(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c=a2+b2+c2，正确；
④由③知|a+b+c|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2，同样a−b−c2=(a−b−c)2=a2+b2+c2−2a⋅b−2a⋅c+2b⋅c=a2+b2+c2，
所以|a+b+c|2=|a−b−c|2，即|a+b+c|=|a−b−c|，正确．正确的有②③④，
故选：C．
5．空间中到正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱A1D1,AB,CC1距离相等的点有（　　）
A．无数 B．0 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后建立空间直角坐标系，证明结论．
【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上以D为坐标原点，以DA,DC,DD1为x,y,z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，
连接B1D ，并在B1D上任取一点P，因为DB1=(1,1,1)，

所以设P(a，a，a) ，其中0≤a≤1 ，
作PE⊥平面A1ADD1 ，垂足为E， A1D1⊂平面A1ADD1，故PE⊥A1D1，
再作EF⊥A1D1 ，垂足为F， EF∩PE=E,EF,PE⊂平面PEF,
所以A1D1⊥平面PEF，PF⊂平面PEF,故A1D1⊥PF,
则PF是点P到直线A1D1的距离，
所以PF=a2+(1−a)2，
同理求得点P到直线AB、CC1 的距离也是a2+(1−a)2，
所以B1D 上任一点与正方体ABCD−A1B1C1D1 的三条棱AB、CC1、A1D1 所在直线的距离都相等，
所以与正方体ABCD−A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．
故选：A．

二、多选题
6．已知空间向量a=−2,−1,1，b=3,4,5，下列结论正确的是（    ）
A．a+b=35
B．a，b夹角的余弦值为−36
C．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为m=4,2,k，且l⊥α，则实数k=−2
D．a在b上的投影向量为−110b
【答案】BCD
【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可.
【详解】对于A，a+b=1,3,6，a+b=12+32+62=46，故A错误；
对于B，因为a=−2,−1,1，b=3,4,5，所以a=(−2)2+(−1)2+12=6，b=32+42+52=52，
a⋅b=−2×3−1×4+1×5=−5，设a与b的夹角为θ，则cosθ=a⋅bab=−56×52=−36，故B正确；
对于C，因为l⊥α，所以a∥m，则−24=−12=1k，解得k=−2，故C正确；
对于D，a在b上的投影向量为acosa,b⋅bb=6×−36×b52=−110b，D正确．
故选:BCD．
7．已知空间向量a=1,1,0，b=−1,0,2，c=1,3,4，则下列说法正确的是（    ）
A．b>c B．b⋅c=7
C．若a⊥λb−c，则λ=−4 D．与a方向相同的单位向量为12,32,0
【答案】BC
【分析】由向量模长、数量积运算、垂直关系的向量表示和方向相同的单位向量的求法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，∵b=−12+02+22=5，c=12+32+42=26，∴b 对于B，b⋅c=−1×1+0×3+2×4=7，B正确；
对于C，∵λb−c=−λ−1,−3,2λ−4，∴a⋅λb−c=−λ−1−3=0，解得：λ=−4，C正确；
对于D，aa=22a=22,22,0，D错误.
故选：BC.
8．设向量u=a,b,0，v=c,d,1，其中a2+b2=c2+d2=1，则下列判断正确的是（    ）
A．向量v与z轴正方向的夹角为定值（与c、d之值无关）
B．u⋅v的最大值为2
C．u与v夹角的最大值为3π4
D．ad−bc的最大值为1
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的数量积运算，结合不等式的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：不妨取m=0,0,m,m>0，设向量v与z轴正方向的夹角为θ，
则cosθ=m⋅vm|v|=mm×c2+d2+1=22，又θ∈[0,π]，故θ=π4，A正确；
对B：u⋅v =ac+bd，又因为a2+b2=c2+d2=1，
则a2+b2c2+d2≥ac+bd2，即−1≤ac+bd≤1，
当且仅当ad=bc时取得等号，故ac+bd的最大值为1，故B错误；
对C：设u与v夹角的为α，则cosα=u⋅vu|v|=ac+bd2=22(ac+bd)，
由B可知，ac+bd≥−1，故cosα≥−22，又α∈[0,π]，则α≤3π4，
故α的最大值为3π4，即u与v夹角的最大值为3π4，C正确；
对D：a2+b2d2+−c2≥ad−bc2，即ad−bc≤1，
当且仅当−ac=bd时取得等号，故D正确；
故选：ACD.

三、填空题
9．已知a=x1,y1,z1，b=x2,y2,z2，且a=2，b=3，a⋅b=−6，则x1+y1+z1x2+y2+z2=________．
【答案】−23
【分析】由a=2，b=3，a⋅b=−6，可得向量a与b平行，且a=−23b，从而可得结果.
【详解】∵|a|=2，|b|=3，a⋅b=−6，
所 以2×3×cos=−6,∵∈[0,π],∴=π.
∴ 向量a与b平行，且a=−23b，
所以(x1,y1,z1)=−23(x2,y2,z2)，
所以x1x2=−23.
∴x1+y1+z1x2+y2+z2=x1x2=−23．
故答案为：−23.
10．若两个单位向量OA=(m,n,0),OB=(n,0,p)与向量OC=(1,1,1)的夹角都等于π4，则cos∠AOB=__________.
【答案】14##0.25
【分析】根据已知可得OC⋅OA=m+n=62，OA2=m2+n2=1，利用完全平方公式求得mn，再根据cos∠AOB=OA⋅OB|OA|⋅|OB|=mn即可求得答案.
【详解】因为两个单位向量OA=(m,n,0),OB=(n,0,p)与向量OC=(1,1,1)的夹角都等于π4，
∴∠AOC=∠BOC=π4，|OC|=3，|OA|=|OB|=1，
∴OC⋅OA=|OC|⋅|OA|⋅cosπ4 =3×1×22=62，OA2=m2+n2=1，
又∵OC⋅OA=m+n，则m+n=62，
∴2mn=m+n2−m2+n2=622−12=12，即mn=14，
∵OA⋅OB=mn，
∴cos∠AOB=OA⋅OB|OA|⋅|OB|=mn=14.
故答案为：14.
11．已知向量a=1,1,0，b=m,0,2，cosa,b=−1010，若向量a+kb与2a+b所成角为钝角，则实数k的范围是______.
【答案】k<−1
【分析】根据cosa,b=a⋅ba⋅b求出m的值，再求出a+kb与2a+b的坐标，依题意可得a+kb⋅2a+b<0，根据数量积的坐标表示得到不等式求出参数的取值范围，再检验两向量共线的情况.
【详解】解：因为a=1,1,0，b=m,0,2，cosa,b=−1010，
所以cosa,b=a⋅ba⋅b=m2×m2+4=−1010，解得m=−1，
所以b=−1,0,2，
所以a+kb=1−k,1,2k，2a+b=1,2,2，
因为向量a+kb与2a+b所成角为钝角，
所以a+kb⋅2a+b=1−k+2+4k<0，解得k<−1，
若向量a+kb与2a+b共线，则1−k1=12=2k2，解得k=12，
此时a+12b与2a+b共线同向，
综上可得k<−1.
故答案为：k<−1

四、解答题
12．已知向量a=x,4,1，b=−2,y,−1，c=3,−2,z，a∥b，b⊥c.
(1)求a，b，c；
(2)求a+c与b+c所成角的余弦值.
【答案】(1)a=2,4,1，b=−2,−4,−1，c=3,−2,2
(2)−219

【分析】（1）根据向量平行得到a=λb，根据向量垂直得到b⋅c=0，计算得到答案.
（2）计算a+c=5,2,3，b+c=1,−6,1，再根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）a∥b，故a=λb，即x,4,1=−2λ,yλ,−λ，
故λ=−1，x=2，y=−4，即a=2,4,1，b=−2,−4,−1，
b⊥c，故b⋅c=−2,−4,−1⋅3,−2,z=−6+8−z=0，z=2，故c=3,−2,2
（2）a+c=5,2,3，b+c=1,−6,1，a+c与b+c所成角的余弦值为：
cosθ=a+c⋅b+ca+c⋅b+c=5−12+352+22+32⋅12+62+12=−219
13．已知空间中的三点P(−2,0,2),M(−1,1,2),N(−3,0,4)，a=PM，b=PN.
(1)求△PMN的面积；
(2)当ka+b与ka−2b的夹角为钝角时，求k的范围．
【答案】(1)32；
(2)k∈(−52,2).

【分析】（1）应用向量坐标表示有a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，由向量夹角的坐标运算可得cos=−1010，再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积；
（2）向量坐标表示得ka+b=(k−1,k,2)，ka−2b=k+2,k,−4，它们的夹角θ为钝角，即cosθ<0，即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况.
【详解】（1）由题设a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，则cos=a⋅b|a||b|=−12×5=−1010，
所以cos∠MPN=−1010，故在△PMN中sin∠MPN=31010，
故△PMN的面积为12×2×5×31010=32.
（2）由（1）知：ka+b=(k−1,k,2)，ka−2b=k+2,k,−4，且它们夹角θ为钝角，
所以cosθ=k−1k+2+k2−8k−12+k2+4⋅k+22+k2+16<0，即k−1k+2+k2−8<0，
所以2k2+k−10=2k+5k−2<0，可得−52 当它们反向共线，即ka+b=λ(ka−2b)且λ<0时，有k−1=λ(k+2)k=λk2=−4λ，无解，
综上，k∈(−52,2).
14．已知空间三点A−2,0,2，B−1,1,2，C−3,0,4，设a=AB，b=AC．
(1)若c=3，c∥BC，求c.
(2)求a与b的夹角的余弦值;
(3)若ka+b与ka−2b互相垂直，求k．
【答案】(1)c=−2,−1,2或c=2,1,−2
(2)−1010
(3)k=2或k=−52．

【分析】对于（1），设出向量c的坐标，由模的公式和向量共线的坐标表示可得答案.
对于（2），利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得答案.
对于（3），运用向量垂直的条件：数量积为0，结合向量的平方即为模的平方可得答案.
【详解】（1）因BC=−2,−1,2，且c∥BC，则可设c=−2λ,−λ,2λ.
又c=3，则−2λ2+−λ2+2λ2=3λ=3，得λ=±1.
故c=−2,−1,2或c=2,1,−2.
（2）由题可得a=AB=1,1,0，b=AC=−1,0,2.
则cosa,b=a⋅ba⋅b=−12×5=−1010.
（3）由（2）得a=2，b=5，a⋅b=−1.
又ka+b与ka−2b互相垂直，
则ka+b⋅ka−2b=0 ⇔k2a2−ka⋅b−2b2=0
⇔k2a2−ka⋅b−2b2=0 ⇔2k2+k−10=0.
解得：k=2或k=−52

题组C 培优拔尖练
1.已知OA=(1,2,3)，OB=(2,1,2)，OP=(1,1,2)，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，因为点在直线上运动，所以，
所以，即，，所以，所以

所以当时，取得最小值，此时点的坐标为.
故选：B
2．已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为________________．
【答案】