专题08 幂函数与二次函数-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题08 幂函数与二次函数
【题型归纳目录】
题型一：幂函数的定义及其图像
题型二：幂函数性质的综合应用
题型三：二次方程的实根分布及条件
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
【考点预测】
1、幂函数的定义
一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数．
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数．
（3）幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质：
函数





图象





定义域





值域





奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点

4、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程．
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标．
5、二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为．
（1）单调性与最值
O




图2-9
O




图2-8
①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；．

（2）与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，．
6、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处．
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则．
【方法技巧与总结】
1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3、一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示．
根的分布
图像
限定条件












在区间内
没有实根











在区间内
有且只有一个实根




在区间内
有两个不等实根


4、有关二次函数的问题，关键是利用图像．
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴．即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论．
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负．
【典例例题】
题型一：幂函数的定义及其图像
【方法技巧与总结】
确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负．当时，底数是非零的．
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知为幂函数， 且， 则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为幂函数，
设，则，
所以，可得，则.
故选：B
例2．（2023·全国·高三专题练习）当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（   ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】因为函数既是幂函数又是的减函数，
所以解得：.
故选：A.
例3．（2023·全国·高三专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个
故选：B
变式1．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（    ）
A． B．0或2 C．0 D．2
【答案】D
【解析】因为是幂函数，所以，解得或，
当时，在上为减函数，不符合题意，
当时，在上为增函数，符合题意，
所以.
故选：D.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.

【答案】1
【解析】有图象可知：该幂函数在单调递减，所以，解得，,故可取，又因为该函数为偶函数，所以为偶数，故
故答案为：
题型二：幂函数性质的综合应用
【方法技巧与总结】
紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数．
例4．（2023·全国·高三专题练习）设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（    ）
A．或 B．或 C．或 D．、或
【答案】A
【解析】因为定义域为，所以，，
又函数为奇函数，所以，则满足条件的或.
故选:A
例5．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域与值域均为R的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A. 函数的定义域为，值域为R；
B. 函数的定义域为R，值域为；
C. 函数的定义域为R，值域为R；
D. 函数的定义域为，值域为，
故选：C
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】幂函数的图像过点，
，解得，
，
的值域是.
故选：D.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像关于y轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【解析】（1）因为是幂函数，
所以，解得或．
又的图像关于y轴对称，所以，
故．
（2）由（1）可知，．
因为，所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故在上的值域为．
变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列结论中正确的是（    ）
A．幂函数的图像都经过点，
B．幂函数的图像不经过第四象限
C．当指数取1，3，时，幂函数是增函数
D．当时，幂函数在其整个定义域上是减函数
【答案】BC
【解析】A选项，当指数时，幂函数的图像不经过原点，故A错误；
B选项，所有的幂函数在区间上都有定义且，所以幂函数的图像不可能经过第四象限，故B正确；
C选项，当α为1，3，时，是增函数，显然C正确；
D选项，当时，在区间和上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误.
故选：BC
变式5．（2023·上海·高三专题练习）已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是______．
【答案】
【解析】∵，
幂函数为奇函数，且在上递减，
∴是奇数，且，∴．
故答案为：
变式6．（2023·全国·高三专题练习）函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值：
①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断．
上述结论正确的是__（填序号）．
【答案】①
【解析】由于函数是幂函数，故，解得或．
由于对任意的，，且，满足，所以函数在上为增函数，
当时，符合题意，
当时，不符合题意，
故，且函数为奇函数．
由于，，且，
所以，由于函数为单调递增函数和奇函数，故，
所以，
所以，
故答案为：①
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则_______．
【答案】
【解析】因为幂函数为奇函数，
所以或1或3，
又因为幂函数在上单调递减，
所以，
故答案为：.
题型三：二次方程的实根分布及条件
【方法技巧与总结】
结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围．
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
【答案】.
【解析】方程  
方程两根为，
若要满足题意，则，解得，
故答案为：.
例8．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意，关于的方程的一根大于-1，另一根小于-1，
设，根据二次函数的性质，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】设f (x)＝x2＋ax＋1，由题意知，解得－ 故答案为：.
变式8．（2023春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，
得，解得.
故答案为：
变式9．（2023春·上海宝山·高三上海市行知中学校考阶段练习）已知关于的方程有两个实数根，且一根小于，一根大于，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】令，
因为关于的方程有两个实数根，且一根小于，一根大于，
所以，
即，
解得
所以实数的取值范围为
故答案为：
变式10．（2023·上海·高三专题练习）当_________.时，方程只有正根.
【答案】
【解析】要使方程有根，则，解得，或，
因为图象开口向上，对称轴为，
则要使方程只有正根需 ，解得，
综上所述，.
故答案为: .
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
【方法技巧与总结】
“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果．
例10．（2023春·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数
(1)若函数在上单调，求的取值范围：
(2)是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意可得开口向上，对称轴，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∵函数在上单调，
∴或，
解得或，
∴的取值范围为：
（2）由题意可得开口向上，对称轴，函数在对称轴处取最小值，
，
若函数在区间上的最小值为，
则，解得：或，
当时，在区间上单调递增，
此时函数的最小值为，
解得：，
当时，在区间上单调递减，
此时函数的最小值为，
解得：，
综上，存在实数或，使得函数在区间上的最小值为
例11．（2023春·上海杨浦·高三统考期中）已知函数
(1)若关于x的不等式的解集为，求实数a和b的值；
(2)若函数在上的最大值为2，求实数a的值．
【解析】（1）由已知可得的两根是，b
所以，解得.
（2）的对称轴为，
当，即时，在时取得最大值，
故．解得，符合题意；
当，即时，在时取得最大值，
故．解得，不符合题意，舍去；
综上所述：.
例12．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知幂函数是偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)函数，，若的最大值为15，求实数a的值．
【解析】（1）由题知，即，解得或．
当时，，不是偶函数，舍去，
当时，，是偶函数，满足题意，
所以．
（2）由（1）知，且图象的对称轴为，
所以在上是增函数，
则，
解得或，
又，所以．
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)若在为单调函数，求的值；
(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．
【解析】（1）时，，
在 上的最大值为 ，最小值为 ；
（2）在为单调函数，
区间在 的对称轴 的一边，即 或 ，
或 ；
（3）因为 是开口向上的，所以 和 中必有一个是最大值，
若 ，若 ，
或；
综上，（1）最大值为16，最小值为0；（2） 或；（3） 或 .
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)当时，写出函数的单调区间和值域（不用写过程）；
(2)求的最小值的表达式．
【解析】（1）当时，的对称轴为
∵
∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
则，
∴函数的值域为：．
（2）函数的对称轴为，开口向上，
∵，则有：
①当即时，函数在上单调递增，
∴，
②当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，
③当即时，函数在上单调递减，
∴，
综上所述：
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足且，．
(1)求的解析式．
(2)设函数，．
(ⅰ)若在上具有单调性，求的取值范围；
(ⅱ)讨论在上的最小值．
【解析】（1）设二次函数．由，可得．
∵，∴二次函数的图象的对称轴方程为，即，即．
∵，∴．联立可得解得.
故的解析式为．
（2）(ⅰ)由条件可知，其图象的对称轴方程为．
∵在上具有单调性，
∴或，即实数的取值范围是．
(ⅱ)，，其图象的对称轴方程为．
当时，∵在上单调递减，∴；
当时，∵在上单调递增，∴；
当时，．
综上所述，
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·甘肃平凉·静宁县第一中学校考一模）关于x方程在内恰有一解，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，不合题意；
∴，令，有，，要使在内恰有一个零点，
∴即可，则，
故选：B
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考开学考试）关于的方程的两根都大于2，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵关于的方程的两根都大于2，
令，
可得，
即，
求得，
故选：B.
3．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为方程有两根，一个大于,另一个小于，所以
函数 有两零点，一个大于，另一个小于，由二次函数的图像可知，
，即:
解得:
故选:A.
4．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在x（0，+∞）上是减函数，则m＝（    ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1
【答案】A
【解析】∵幂函数，
∴m2﹣m﹣1＝1，
解得m＝2，或m＝﹣1；
又x（0，+∞）时f（x）为减函数，
∴当m＝2时，m2+m﹣3＝3，幂函数为y＝x3，不满足题意；
当m＝﹣1时，m2+m﹣3＝﹣3，幂函数为，满足题意；
综上，．
故选：A．
5．（2023·全国·高三专题练习）幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（    ）
A． B． C． D．和
【答案】D
【解析】因为，，
所以当时，，由幂函数性质得，在上是减函数；
所以当时，，由幂函数性质得，在上是常函数；
所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；
所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；
故选：D.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象经过点，则的值等于（    ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】D
【解析】设幂函数，幂函数的图象经过点，所以，
解得，所以，则．
故选：D.
7．（2023·全国·高三专题练习）“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为是定义在上的增函数，又，
所以，解得，
因为由可推出，而由无法推出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（    ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
【答案】C
【解析】幂函数为偶函数，
，且为偶数，
则实数，
故选：C
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论中错误的是（    ）
A．的值域为 B．的图象与直线有两个交点
C．是单调函数 D．是偶函数
【答案】ACD
【解析】函数的图象如图所示，由图可知的值域为，结论A错误，结论C，D显然错误，的图象与直线有两个交点，结论B正确．

故选：ACD
10．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的有（    ）
A．函数是偶函数 B．函数是增函数
C．当时， D．当时，
【答案】BCD
【解析】因为幂函数的图象经过点，
所以，则，
所以，其定义域为，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数，故A错；
又，所以是增函数，故B正确；
因此当时，，故C正确；
当时，因为，，
则
，所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）（1）函数的定义域是________，值域是________；
（2）函数的定义域是________，值域是________；
（3）函数的定义域是________，值域是________；
（4）函数的定义域是________，值域是________．
【答案】                                       
【解析】（1）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,

（2）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,

（3）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,

（4）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,

故答案为：（1）;,
（2）;,
（3）;,
（4）;.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是幂函数，则的值为_____．
【答案】8
【解析】依题意得，，，则，
故答案为：8
13．（2023·全国·高三专题练习）若幂函数的图像关于y轴对称，则实数______．
【答案】
【解析】由幂函数可得，解得或，
又因为函数图像关于y轴对称，则a为偶数，所以．
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）写出一个在区间上单调递减的幂函数__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意知：为幂函数，且在区间上单调递减.
故答案为：（答案不唯一）.
15．（2023·全国·高三专题练习）写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；
②当时，；
③；
【答案】（答案不唯一）；
【解析】由所给性质：在上恒正的偶函数，且，
结合偶数次幂函数的性质，如：满足条件.
故答案为：（答案不唯一）
16．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．
【答案】1，（答案不唯一）
【解析】因为幂函数在上单调递增，所以，
因为幂函数在上单调递减，所以，
又因为是奇函数，所以幂函数和幂函数都是奇函数，所以可以是，可以是.
故答案为：1，（答案不唯一）.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】函数过定点，
如图：

结合图象可得：，
即，
故答案为：，．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象如图所示，则______．（写出一个正确结果即可）

【答案】（答案不唯一）
【解析】由幂函数图象知，函数的定义域是，且在单调递减，于是得幂函数的幂指数为负数，
而函数的图象关于y轴对称，即幂函数是偶函数，则幂函数的幂指数为偶数，
综上得：.
故答案为：
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】设幂函数，
由题意，得为奇函数，且在定义域内单调递增，
所以（）或（是奇数，且互质），
所以满足上述条件的幂函数可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
四、解答题
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知在上单调递增，求的取值范围；
(3)求在上的最小值.
【解析】（1）当时，函数，
不等式，即，解得或，
即不等式的解集为.
（2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
要使得在上单调递增，则满足，
所以的取值范围为.
（3）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
当时，函数在上单调递增，所以最小值为；
当时，函数在递减，在上递增，
所以最小值为；
当时，函数在上单调递减，所以最小值为，
综上可得，在上的最小值为.
21．（2023·全国·高三专题练习）若函数y=f(x)=x2-6x+10在区间[0，a]上的最小值是2，求实数a的值.
【解析】由题意知，f(x)=x2-6x+10=(x-3)2+1，
（1）若a≥3，f(x)min=f（3）=1，不符合题意；
（2）若0 所以f(x)min=f(a)=2，所以a=2或a=4，
因为0 综上所述，a=2.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递增，函数.
(1)求的值；
(2)当时，记的值域分别为集合，若，求实数的取值范围.
【解析】（1）为幂函数且在上单调递增，，解得：；
（2）由（1）知：，当时，，即；
当时，，即；
，，解得：，即实数的取值范围为.
23．（2023春·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考期中）已知幂函数在上是减函数，．
(1)求的解析式；
(2)若， 求的取值范围．
【解析】（1）由函数为幂函数得，解得或，
又函数在上是减函数，则，即，
所以，
；
（2）由（1）得，
所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以，解得，
所以的取值范围是.
24．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）已知幂函数在上是减函数.
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范围.
【解析】（1）由题意得：
根据幂函数的性质可知，即，解得或.
因为在上是减函数，所以，即，则.
故.
（2）由（1）可得，设，
则的定义域为，且在定义域上为减函数.
因为，所以
解得.
故的取值范围为（2，5）.