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    专题11 玩转指对幂比较大小-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义

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    专题11 玩转指对幂比较大小-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义

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    专题11 玩转指对幂比较大小
    【题型归纳目录】
    题型一:直接利用单调性
    题型二:引入媒介值
    题型三:含变量问题
    题型四:构造函数
    题型五:数形结合
    题型六:特殊值法
    【方法技巧与总结】
    (1)利用函数与方程的思想,构造函数,结合导数研究其单调性或极值,从而确定a,b,c的大小.
    (2)指、对、幂大小比较的常用方法:
    ①底数相同,指数不同时,如和,利用指数函数的单调性;
    ②指数相同,底数不同,如和利用幂函数单调性比较大小;
    ③底数相同,真数不同,如和利用指数函数单调性比较大小;
    ④底数、指数、真数都不同,寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量,借助中间量进行大小关系的判定.
    (3)转化为两函数图象交点的横坐标
    (4)特殊值法
    【典例例题】
    题型一:直接利用单调性
    例1.(2023春·北京大兴·高三校考阶段练习)已知,,,则a,b,c的大小关系是(    ).
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】由对数运算公式可得,
    因为对数函数在上单调递增,,所以,所以,即
    因为对数函数在上单调递增,,所以,所以,即,
    所以,
    故选:B.
    例2.(2023·北京·高三专题练习)设,,,则a,b,c的大小关系为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】,而,所以;
    又,
    令,
    而函数在上递增


    故选:A
    例3.(2023·全国·高三专题练习)已知,,,则1a,b,c的大小关系是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】∵,,

    ∴.
    故选:A.
    题型二:引入媒介值
    例4.(2023·全国·高三专题练习)已知,则a,b,c大小关系为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】因为.
    所以.
    因为.
    所以.
    所以.
    故选:A.
    例5.(2023·全国·高三专题练习)已知,则,,的大小关系为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】,
    所以.
    故选:C
    例6.(2023春·山西大同·高三统考阶段练习)已知,则a,b,c的大小关系是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】,


    因为,
    所以.
    故选:D.
    变式1.(2023·全国·高三专题练习)已知,则的大小关系为(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】易知,又,因为,所以,即;又,所以.
    故选:B.
    变式2.(2023春·福建泉州·高三校考阶段练习)已知,,,则a,b,c的大小关系为(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】根据指数函数的单调性可得,,
    根据对数函数的单调性可得,
    所以,
    故选:D.
    变式3.(2023·河南郑州·高三校联考阶段练习)已知,,,则的大小关系为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】,.
    故选:B.
    题型三:含变量问题
    例7.(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模)已知,记,则的大小关系是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】因为,
    所以,
    所以,
    故选:A
    例8.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)已知,,,其中,则下列结论正确的是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】CD
    【解析】因为,所以,,,且,所以,故A错误;
    因为,,即,故B错误,C正确;
    因为,,即,故D正确.
    故选:CD.
    例9.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)若,则下列说法中正确的是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】CD
    【解析】由于
    对于选项A:由于 ,所以函数 为减函数,所以 ,故选项A错误
    对于选项B:由于 ,所以函数 为减函数,所以 ,故选项B错误
    对于选项C:由于,所以函数 为增函数,所以 ,故选项C正确
    对于选项D:,根据运算关系,当真数相同时,底数越大,对数越大,所以,故选项D正确
    故选:CD
    变式4.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)已知不相等的两个正实数a和b,满足,下列不等式正确的是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】BD
    【解析】由于两个不相等的正实数a和b,满足,所以a和b可取一个比1大,一个比1小,即,故,A错误;
    由题意得:,所以,B正确;
    ,其中,但不知道a和b的大小关系,故当时,,当时,,C错误;
    ,其中,,所以,即,D正确.
    故选:BD
    变式5.(2023·全国·高三专题练习)若,,,,则,,的大小关系是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】由知:,即,而,即,
    ∴,而在定义域上单调递增,
    ∴.
    故选:B.
    题型四:构造函数
    例10.(2023·全国·高三专题练习)已知,,,则,,的大小关系为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】令,则,
    当时,,单调递增;
    当时,,单调递减;
    当时,取得极大值,则,,
    故.
    故选:D
    例11.(2023·全国·高三专题练习)已知,,,,则a,b,c,d的大小关系是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】因为,所以,
    因为,所以,所以,
    设,则,
    所以在上单调递增.
    所以,即,
    于是有,所以,即,
    所以.
    故选:B.
    例12.(2023·全国·高三专题练习)已知,则的大小关系为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】由,
    得,
    令,则,
    当时,,当时,,
    所以函数在上递增,在上递减,
    又因,
    且,
    所以,
    即,
    所以.
    故选:D.
    变式6.(2023·上海·高三专题练习)设,则的大小关系为___________.(从小到大顺序排)
    【答案】
    【解析】[方法一]:【最优解】构造函数法
    记,则,当时,,故在上单调递增,故,故,
    记,则,当时,,故在单调递减,故,故,因此.
    故答案为:
    [方法二]:泰勒公式放缩
    ,由函数切线放缩得,因此.
    故答案为:
    【整体点评】方法一:根据式子特征,构造相关函数,利用其单调性比较出大小关系,是该题的通性通法,也是最优解;
    方法二:利用泰勒公式以及切线不等式放缩,解法简洁,但是内容超出教材,不是每一个同学可以掌握.
    变式7.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)若,则(  )
    A. B.
    C. D.
    【答案】AD
    【解析】令,因为在定义域上单调递增,在定义域上单调递减,所以在定义域上单调递增,由,即,所以,故A正确;
    因为在定义域上单调递减,所以,故D正确;
    当,,满足,但是,故B错误;
    当,,满足,但是,故C错误;
    故选:AD
    变式8.(2023·全国·高三专题练习)已知,则,,的大小为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】令函数,当时,求导得:,
    则函数在上单调递减,又,,,
    显然,则有,所以.
    故选:C
    题型五:数形结合
    例13.(2023·全国·高三专题练习)正实数满足,则实数之间的大小关系为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】,即,即,与的图象在只有一个交点,
    则在只有一个根,令,
    ,,,则;
    ,即,即,由与的图象在只有一个交点,
    则在只有一个根,令,,
    ,,故;
    ,即,
    即,由与的图象在只有一个交点,
    则在只有一个根,令,,
    ,,则;

    故选:A.
    例14.(2023·全国·高三专题练习)已知,,,则a,b,c的大小关系是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】在同一直角坐标系内,作出函数,,,的图像如下:
    因为,,,
    所以是与交点的横坐标;是与交点的横坐标;是与交点的横坐标;
    由图像可得:.
    故选:C.

    例15.(2023·全国·高三专题练习)设依次表示函数的零点,则的大小关系为______.
    【答案】
    【解析】函数的零点,
    即为方程的解,
    在坐标系中分别画出函数与的图象,
    如图所示,结合图象,可得.
    故答案为:.

    变式9.(2023春·陕西西安·高三统考期末)已知,,,则a,b,c的大小关系为(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】方法一:设函数为,而.

    如图,的图象在的下方,而且随着的增大,的图象与的图象越来越接近,即当时,的值越来越大,所以有,.
    方法二:构造函数,
    则,,

    在上恒成立,
    所以,函数在上单调递增,
    所以,,即.
    故选:B.
    题型六:特殊值法
    例16.(2023·全国·高三专题练习)若,,,,则,,这三个数的大小关系为(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】因为, 所以取,则


    ,所以.
    故选:C.
    例17.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)已知,下列选项中正确的为(    )
    A.若,则 B.若,则
    C.若,则 D.若,则
    【答案】BC
    【解析】A错,例如满足,便;
    B正确,,,又,所以,而,所以;
    C正确,设,,,则,,
    所以,即.
    D错误,,,,所以,不一定成立.
    故选:BC.
    【过关测试】
    一、单选题
    1.(2023·全国·高三校联考阶段练习)设,,,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】设.
    因为,
    所以当时,,在上单调递减,
    当时,,在上单调递增,
    所以当,且时,,即.
    所以,,所以最小,
    又因为,所以.综上可知,.
    故选:B
    2.(2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)已知函数.若,则的大小关系为(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】,,即,
    又是增函数,所以.
    故选:C.
    3.(2023·全国·高三专题练习)设,,,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】令,则,所以当时,当时,
    所以在上单调递增,上单调递减,又,所以,,即,,
    又,所以,
    所以;
    故选:A
    4.(2023·全国·高三专题练习)已知,设,则下列结论正确的是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】由题意,可得,
    因为,所以,即,
    所以,
    故选:A.
    5.(2023·全国·高三专题练习)已知,,,,则(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】由题得,,,,因为函数在上单调递增,所以.又因为指数函数在上单调递增,所以.
    故选:D.
    6.(2023·全国·高三专题练习)设是定义域为的偶函数,且在上单调递减,则(    )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】B
    【解析】由,即,注意到,由,故,即,又根据指数函数性质,是上的减函数,故,即,于是,又是上递减的偶函数,则.
    故选:B
    7.(2023·全国·高三专题练习)设,,,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】,

    ,,,;
    ,,,,
    综上,.
    故选:.
    8.(2023·全国·高三专题练习)已知,,则a、b、c的大小关系为(  )
    A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.c<b<a
    【答案】C
    【解析】函数是定义域R上的单调减函数,且,则,即,
    又函数 在上单调递增,且,于是得,即,
    所以a、b、c的大小关系为.
    故选:C
    9.(2023·全国·高三专题练习)已知偶函数在上单调递减,若,,,则(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】依题意,,而偶函数在上单调递减,
    则,而,即,
    所以.
    故选:C
    10.(2023·全国·高三专题练习)已知函数是定义在上的偶函数,且当时,对任意的不相等实数总有成立,则(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】因为当时,对任意的不相等实数总有成立,故当时为减函数,又偶函数,且,,故,故
    故选:D
    二、多选题
    11.(2023·全国·高三校联考阶段练习)已知,,,,则下列命题正确的有(      )
    A.若,则 B.若,则
    C.若,,则 D.若,则
    【答案】AD
    【解析】对于A,,
    因为,所以,
    所以,即,故A正确;
    对于B,若,则,即,故B错误;
    对于C,若时,,
    此时无意义,故C错误;
    对于D,,则,
    则,
    所以,故D正确.
    故选:AD.
    12.(2023·全国·高三专题练习)已知x,且,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】AD
    【解析】因为x,且,即x,,且,设,因为函数在R上单调递增,函数在R上单调递增,
    所以函数在R上单调递增,
    A,由,得,所以,故选项A正确;
    B,因为x,,所以当x=0或y=0时,,没意义,故选项B错误;
    C,因为,而只有当时,才能成立,故选项C错误;
    D,因为,所以,即,故选项D正确.
    故选:AD
    13.(2023·全国·高三专题练习)已知,则a,b满足(    )
    A. B. C. D.
    【答案】CD
    【解析】由,则,则
    所以,所以选项A不正确.
    ,所以选项B不正确.
    由,因为,故等号不成立,则,故选项C正确.
    因为,故等号不成立,故选项D正确.
    故选:CD
    14.(2023·全国·高三专题练习)已知正数满足,则下列说法正确的是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】AD
    【解析】为正数,可设,则,,;
    对于AB,,
    ,,又,,A正确,B错误;
    对于CD,,
    ,,又,,C错误,D正确.
    故选:AD.
    15.(2023·全国·高三专题练习)下列不等关系中一定成立的是(    )
    A. B.
    C., D.,
    【答案】ABC
    【解析】A. 因为,所以,故正确
    B.因为在上递增,则,因为在上递减,则,所以 ,故正确;
    C. 因为,所以,,故正确;
    D. 当时, ,故错误;
    故选:ABC
    16.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的零点为,的零点为,则(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】BCD
    【解析】分别为直线与和的交点的横坐标,
    因为函数与函数互为反函数,
    所们这两个函数的图象关于直线,
    而直线、的交点是坐标原点,
    故,,,,

    ,故
    故选:BCD.
    17.(2023·全国·高三专题练习)已知实数a,b,c满足,则下列不等式一定成立的有(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】BD
    【解析】对于A,因为,所以在上单调递增,因为,所以,所以,所以A错误,
    对于B,因为,所以当时,,因为,所以,所以,所以B正确,
    对于C,因为,所以,所以,所以C错误,
    对于D,因为,所以,所以,所以D正确,
    故选:BD
    18.(2023·全国·高三专题练习)已知,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】BCD
    【解析】
    对于A,
    ,故A不正确;
    对于B,,


    ,故B正确;
    对于C,

    ,故C 正确;
    对于D,由B知,,故D正确;
    故选:BCD.

    三、填空题
    19.(2023·全国·高三专题练习)已知则a,b,c的大小关系是________.
    【答案】或
    【解析】因为是R上的减函数,且,
    所以,所以,
    因为是R上的增函数,且,
    所以,所以,
    所以
    故答案为:或
    20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,则a,b,c三者的大小关系是___________.
    【答案】
    【解析】显然有,
    因为,
    所以该函数是偶函数,
    当时,由函数的单调性的性质可知该函数单调递增,

    ,因为,所以,
    因为,所以,
    因此,所以有,
    即,
    故答案为:
    21.(2023春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末)已知,则正实数,1三者的大小关系是 ___________;
    【答案】
    【解析】,故;,故;
    ,故,故,.
    故,
    故答案为:
    22.(2023春·陕西咸阳·高三校考阶段练习),则的大小关系为__________.
    【答案】
    【解析】因为,所以,
    因为,所以,
    因为,所以,且,即,
    所以,
    故答案为:.
    23.(2023·全国·高三专题练习)已知, ,,则的大小关系为_____________.
    【答案】
    【解析】因为,,,
    故,
    故答案为:
    24.(2023春·四川眉山·高三校考开学考试)设,,,则a,b,c的大小关系为_______.
    【答案】
    【解析】因为,,.
    故答案为:.
    25.(2023·四川泸州·四川省泸县第二中学校考模拟预测)设,,,则a,b,c大小关系为___________.
    【答案】
    【解析】由题意可知, ,

    当时,在上单调递增,
    因为,即.
    ,所以.
    故答案为:.
    26.(2023·全国·高三专题练习)已知,,设,,,则a,b,c的大小关系是______.(用“<”连接)
    【答案】
    【解析】由题意,知.
    因为,
    所以,
    由,得;由,得,
    所以,可得,
    由,得;由,得,
    所以,可得,
    综上所述,a,b,c的大小关系是.
    故答案为:.

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