浙江省绍兴市上虞区2022-2023学年高二数学下学期6月学考适应性考试试题（Word版附解析）

2022学年第二学期高二学考适应性考试

数学试题

（时间80分钟  总分100分）

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】应用集合的并运算求集合即可.

【详解】由题知.

故选：D

2. 函数的定义域是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数的真数大于零可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域.

【详解】由对数的真数大于零得，解得，因此，函数的定义域为.

故选：A.

3. 设命题：，则的否定为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

本题根据题意直接写出命题的否定即可.

【详解】解：因为命题：，

所以的否定：，

故选：B

【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题.

4. 设，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据诱导公式即可求解.

【详解】，

故选：D

5. 已知向量，，若，则实数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】，且，则，解得.

故选：C.

6. 若数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用期望、方差性质求新数据的期望、方差.

【详解】由期望、方差的性质知：，.

故选：C

7. 为得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位

C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数图像变换的原则，即可容易求得.

【详解】因为将函数的图象向左平移个单位，

则.

故选：D.

【点睛】本题考查求函数图像平移前后的解析式变化，属基础题.

8. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中，若或，就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意利用列举法结合古典概型运算求解.

【详解】甲、乙的所有可能情况用二维有序数组表示：

，

，

，

总共有36种，

符合条件的有，共11种，

所以他们“心有灵犀”的概率为.

故选：C.

9. 科学研究已经证实，人的智力，情绪和体力分别以天、天和天为周期，按进行变化，记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且现在三条曲线都处于轴的同一点处，那么第天时 （    ）

A. 智力曲线处于最低点

B. 情绪曲线与体力曲线都处于上升期

C. 智力曲线与情绪曲线相交

D. 情绪曲线与体力曲线都关于对称

【答案】D

【解析】

【分析】由已知得第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处，逐一判断可得选项．

【详解】第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处，

A项，则智力曲线不处于最低点，故A错误；

B项，情绪曲线E处于最高点，即将开始下降，故B错误；

C项，经过n个周期后，因为周期不同，所以智力曲线与情绪曲线不一定相交，故C错误；

D项，(322, 0)位于体力曲线P和情绪曲线E的交点x轴上，故D正确，

故选：D．

10. 两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是（    ）

A. 两个角均为锐角 B. 一个角为，一个角为

C. 两个角均为 D. 两个角均为

【答案】D

【解析】

【分析】根据异面直线和直线与平面所成角的概念逐个分析可得答案.

【详解】对于A，两个角可能均为锐角，故A不正确；

对于B，可能一个角为，一个角为，故B不正确；

对于C，可能两个角均为，故C不正确；

对于D，如果两个角均为，则两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，不是异面直线，故这两个角不可能均为，故D正确.

故选：D.

11. 已知定义在上的函数满足:为奇函数，为偶函数，当时，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由奇、偶函数的定义，推得的最小正周期为4，运用对数的运算性质和已知区间上的函数的解析式，计算可得所求值．

【详解】定义在上的函数满足：为奇函数，为偶函数，

可得，，

则，故，

可得的最小正周期为4，

由于，则，

当时，，

所以，

则,

故选:A

12. 在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的半径为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设中点为，连接，过点作，进而根据已知条件证明三棱锥的外接球的球心在上，再设外接球的半径为，球心为，中点为，连接，再根据几何关系得，进而代入数据计算即可得答案

【详解】设中点为，连接，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，

所以，，

过点作，

因为平面平面，平面平面,平面，平面，

所以平面，平面，

所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为，

则由得，由得，

又因为，

所以为等腰直角三角形，

设球心为，中点为，连接，

则，

所以，

即，解得，

故选：B

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）

13. 关于复数为虚数单位）下列说法正确的是（    ）

A.  B. 若，则

C. 若为纯虚数，则 D.

【答案】BC

【解析】

【分析】通过复数的乘法运算可得，故选项A可判定；利用复数的几何意义可解读，故选项B可判定；利用纯虚数的概念可得，故选项C可判定；特殊值代入可判定选项D.

【详解】，故选项A错误；

，由几何意义可得到的距离为2，

进而可得，，即，故选项B正确；

且为纯虚数，，故选项C正确；

，可取则，

，选项D错误.

 故选：BC.

14. 已知函数，函数，则下列命题中正确的是（    ）

A. 是偶函数 B. 是奇函数

C. 是偶函数 D. 是偶函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出函数的定义域，结合奇偶函数的定义，逐项判断作答.

【详解】函数的定义域为R，函数的定义域为，

，

对于，函数的定义域为，，是偶函数，A正确；

对于B，函数的定义域为，，是奇函数，B正确；

对于C，函数的定义域为，，是奇函数，C错误；

对于D，函数的定义域为，，是偶函数，D正确.

故选：ABD

15. 下列命题中，正确的是（    ）

A. 若事件A，B互斥，则

B. 若事件A，B相互独立，则

C. 若事件A，B，C两两互斥，则

D. 若事件A，B，C两两独立，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用互斥事件的概率加法公式判断选项AC；利用独立事件的乘法公式判断选项B；举反例判断选项D.

【详解】对于A，根据互斥事件的概率加法公式即可判断A正确；

对于B，若事件A，B相互独立，则，也相互独立，所以，故B正确；

对于C，根据互斥事件的概率加法公式即可判断C正确；

对于D，例如，从1，2，3，4中随机选出一个数字，记事件“取出的数字为1或2”，“取出的数字为1或3”，“取出的数字为1或4”，则“取出的数字为1”，

显然，

，

满足，，，

所以事件A，B，C两两独立，但是，故D错误.

故选：ABC.

16. 如图，正方体的棱长为分别为棱的中点，过三点的平面截正方体，得到截面多边形，则下列说法正确的是（    ）

A. 多边形是一个六边形

B. 多边形的周长为

C. 平面

D. 截面多边形在顶点处的内角的余弦值为

【答案】BD

【解析】

【分析】根据正方体的结构特征可得截面图形为五边形，即可求解AB，根据线面垂直的判断得矛盾，即可求解C，根据余弦定理即可求解D.

【详解】延长相交于，连接交于，连接,

则由可得

又,

取,连接，过作，连接,

由于，又,

所以,四边形为平行四边形，

故，又，所以,

根据所以,

则五边形即为截面多边形，故A错误；

由于可知,

所以五边形的周长为，故B正确；

由于且平面,所以平面，

平面,所以，

若平面，平面,则,,故,

平面，故平面，这显然是不成立的，故与平面不垂直，故C错误；

连接,由于，所以四边形均为平四边形，

则

，故D正确，

故选：BD

非选择题部分

三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）

17. 已知函数，则_______；_____.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】利用函数解析式可求得、的值.

【详解】因为，则，

.

故答案为：；.

18. 某班共有学生40人，将一次数学考试成绩(单位:分)绘制成频率分布直方图，如图所示，成绩不低于85分的人数有___人.

【答案】9

【解析】

【分析】先求出a，然后求出成绩不低于85分的人的频率即可成绩不低于85分的人数.

【详解】由频率分布直方图的频率和为1，可得：，解得：.

故成绩不低于85分的人的频率为，

所以成绩不低于85分的人数有.

故答案为：9.

19. 已知实数，，，则的最小值为______．

【答案】3

【解析】

【分析】由已知变形得出积为定值，然后由基本不等式得最小值．

【详解】解：实数，，，

则，

当且仅当，时，取等号，

的最小值为：3．

故答案为：3．

20. 已知两单位向量满足：对任意的，有恒成立. 若，则对任意的，的取值范围是_____.

【答案】

【解析】

【分析】根据数量积的运算律及一元二次不等式恒成立得到，即可求出与的夹角，不妨设、，，即可求出点在以坐标原点为圆心，半径的圆上，设，根据共线定理得到在直线上，则，将问题转化为圆上的点与直线上的点的连线段的长度问题，求出圆心到直线的距离，即可求出最小值.

【详解】因为对任意的，有恒成立，

所以恒成立，即恒成立，

又、为单位向量，所以恒成立，

所以，

所以，所以，设与的夹角为，则，

又，所以，

不妨设、，，

因为，所以，所以点在以坐标原点为圆心，半径圆上，

设，则在直线上，

又直线的方程为，即，

所以，

所以，

又到直线的距离，所以，

即的取值范围是.

故答案为：

【点睛】关键点睛：首先由不等式恒成立求出与的夹角，再者是将向量用坐标表示，最后是将向量模的问题转化为平面几何圆上的点与直线上的点的连线段长度问题.

四、解答题（本大题共3小题，共33分）

21. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且．

（1）求角；

（2）若，，求面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角；

（2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可.

【小问1详解】

解：因为向量，，且

所以，由正弦定理得，

又，则，即，又，所以；

【小问2详解】

解：由余弦定理的，整理得，解得或（舍），

所以的面积.

22. 如图，在三棱锥中，，，，.设分别为棱的中点，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

分析】（1）根据中位线及勾股定理得出线面垂直，再应用面面垂直判定定理得证；

（2） 根据线面垂直，作面面交线的垂线得出二面角，计算即得正弦值.

【小问1详解】

由，分别为棱的中点，得

,分别为棱的中点，且,

，，平面,平面,,

平面,平面

所以平面平面.

【小问2详解】

连，则由，,得，,平面，平面,平面.

过点作，垂足为，连，则是二面角的平面角.                                      

于是，，

所以.

23. 已知函数，

（1）当时，求函数的单调递增区间（不必写明证明过程）；

（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（3）当时，若对任意的，恒有成立，求的最大值.

【答案】（1）   

（2）见解析    （3）10

【解析】

【分析】（1）根据二次函数的性质即可求解，

（2）根据奇偶性的定义和性质及可求解，

（3）根据分情况讨论去掉绝对值，结合函数和的单调性，即可通过求解函数最值求解.

小问1详解】

时，，

又二次函数的性质可知当，此时在单调递增，

当，在单调递增，

故的单调递增区间为

【小问2详解】

当时，，对于，，故为偶函数；

当时，， 故不是奇函数；

又，，显然， 即，故不是偶函数，

综上所述，当时，是偶函数，当时，既不是偶函数又不是奇函数.

【小问3详解】

（ⅰ）当时，“在恒成立”等价于“在恒成立”，也就是恒成立，

由于对勾函数在单调递增，

若，则在单调递减，

故当时，取最小值，则，所以，

故，当，时，取到；

若，则在单调递增，，所以，

于是，当，时，取到.

（ⅱ）当时，“在恒成立”等价于“在 恒成立”.

由于函数在单调递增，所以在单调递减，

①当时，，；

②当时，，；

当时，，故，.

综上所述，的最大值为.

【点睛】方法点睛：函数求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；