2022-2023学年北京市丰台八中七年级下学期期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市丰台八中七年级下学期期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了小器一容三斛；大器一，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市丰台八中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（3分）在平面直角坐标系中，点（1，﹣2）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）9的算术平方根是（　　）
A．±3 B．± C． D．3
3．（3分）下列各数中，无理数是（　　）
A．0.3 B． C． D．﹣
4．（3分）如果a＞b，那么下列不等式成立的是（　　）
A．a+2＜b+2 B．﹣2a＜﹣2b C． D．a2＞b2
5．（3分）如图．将含30°角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
6．（3分）如图是天安门周围的景点分布示意图．在图中，分别以正东，正北方向为x轴（0，4），表示王府井的点的坐标为（3，1），则表示人民大会堂的点的坐标为（　　）

A．（3，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
7．（3分）下列命题中，假命题是（　　）
A．对顶角相等
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补
8．（3分）如图，四边形ABCD中，AC，如果∠BAC＝∠DCA，那么以下四个结论中错误的是（　　）

A．AD∥BC B．AB∥CD
C．∠ABD＝∠CDB D．∠BAD+∠ADC＝180°
9．（3分）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：今有大容器5个，总容量为3斛；大容器1个，总容量为2斛．问1个大容器、1个小容器的容量各是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）定义[x]表示不少于实数x的最小整数，例如：[3.7]＝4．给出下列结论：
①[﹣1.2]＝﹣1；
②若[x]＝3，则2≤x＜3；
③若1.2≤x≤2，则[x]＝2；
④若[x]＝2，[y]＝4，则4＜[x+y]≤6．
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）已知是关于x、y的二元一次方程ax+y＝2的解，则a的值为 　 　．
12．（3分）如图，计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短　 　．

13．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（2，a）到x轴的距离是3　 　．
14．（3分）如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，∠EOC＝35°，则∠AOD＝　 　度．

15．（3分）已知某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，则这个正数是 　 　．
16．（3分）若关于x的方程mx+13＝4x+11的解为正数，则m的取值范围是 　 　．
17．（3分）如图，将边长分别为3和6的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形　 　．

18．（3分）某日小王驾驶一辆小型车到某地办事，上午9：00到达，在路边的电子收费停车区域内停车．收费
白天（7：00～19：00）
首小时内
小型车：1.5元/15分钟
大型车：3元/15分钟
首小时后
小型车：2.25元/15分钟
大型车：4.5元/15分钟
夜间（19：00（不含）～次日7：00（不含））
小型车：1元/2小时
大型车：2元/2小时
不足一个计时单位不收取费用
​​
（1）如果他9：50离开，那么应缴费 　 　元；
（2）如果他离开时缴费15元，那么停车的时长t（单位：分钟）的取值范围是 　 　．
三、解答题（共46分，19题3分，20题4分，每题5分，每题6分）
19．（3分）已知x2﹣16＝0，求x的值．
20．（4分）计算：+﹣|2﹣|．
21．（5分）解方程组：．
22．（5分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来
23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（﹣1，1），使点B与点O重合，得到三角形，C的对应点分别为A′，C′．
（1）画出三角形
（2）写出点的坐标；
（3）若y轴上存在一点P，使三角形POC′的面积与三角形的面积相等，则点P的坐标为 　 　．

24．（6分）如图，点P为∠AOB的角平分线OC上的一点，过点P作PM∥OB交OA于点M，求∠OPN的度数．
（1）依题意，补全图形；

（2）完成下面的解题过程．
解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB＝90°（ 　 　）（填推理的依据）．
∵PM∥OB，
∠POB＝∠　 　（ 　 　）（填推理的依据）．
∵OP平分∠AOB，且∠AOB＝60°
∴（角的平分线的定义）．
∴∠MPO＝　 　°．
∵∠MPO+∠OPN＝∠MPN，
∴∠OPN＝　 　°．
25．（6分）列方程（组）或不等式（组）解应用题：
学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍．

（1）根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格；
（2）学校准备用5300元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量为羽毛球拍数量的3倍，请问最多能购买多少支羽毛球拍？
26．（6分）阅读下面材料：
彤彤遇到这样一个问题：
已知：如图，AB∥CD，E为AB，连接BE，DE
求证：∠BED＝∠B+∠D．
彤彤是这样做的：
过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠D
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D．
请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图，
已知：直线 a∥b，点A，B在直线a上，D在直线b上，连接AD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，DE所在的直线交于点E．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，则∠BED的度数为 　 　；
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，请你猜想并证明∠ABC、∠ADC 与∠BED 之间的数量关系．
​

27．（6分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，记为d（图形M，图形N）．
已知点A（﹣2，﹣2），B（3，﹣2），C（3，3），D（﹣2，3）．
（1）d（点O，线段AB）＝　 　；
（2）若点G在x轴上，且d（点G，线段AB）＞2；
（3）依次连接A，B，C，D四点，得到正方形ABCD（不含图形内部），点E（t，0），点3点F（0，﹣t），线段EO，OF组成的图形记为图形N（图形M，图形N）＝1，直接写出t的值．
​

2022-2023学年北京市丰台八中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．【答案】D
【分析】根据第四象限内，点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【解答】解：∵1＞0，﹣2＜0，
∴在平面直角坐标系中，点（1．
故选：D．
2．【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵32＝7，
∴9的算术平方根是3，
故选：D．
3．【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、0.3是有理数；
B、是有理数；
C、是无理数；
D、，是有理数；
故选：C．
4．【答案】B
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【解答】解：A．若a＞b，a+2＞b+2，故本选项不符合题意；
B．若a＞b，﹣8a＜﹣2b，故本选项符合题意；
C．若a＞b，a＞b，故本选项不符合题意；
D．若a＞b，b＝﹣5，a2＜b2，原变形不成立，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．【答案】C
【分析】依据平行线的性质，即可得出∠CAB的度数，再根据直角即可得到∠2的度数．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BAC＝35°，
又∵∠CAE＝90°，
∴∠2＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．

6．【答案】D
【分析】直接利用已知点坐标进而确定原点位置进而得出答案．
【解答】解：如图所示：人民大会堂的点的坐标为是：（﹣1，﹣2）．
故选：D．

7．【答案】C
【分析】根据对顶角的性质、垂线的性质、平行线的性质一一判断即可．
【解答】解：A、对顶角相等；
B、同一平面内，所以B选项为真命题；
C、两条平行直线被第三条直线所截，所以C选项为假命题；
D、若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，正确．
故选：C．
8．【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理及性质定理判断即可得解．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，∠BAD+∠ADC＝180°，
故A符合题意；B，C，D不符合题意，
故选：A．
9．【答案】A
【分析】设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】解：设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，
根据题意得：，
故选：A．
10．【答案】C
【分析】根据[x]表示不少于实数x的最小整数，即可解答．
【解答】解：根据题意可得①结论正确，符合题意；
若[x]＝3，根据[x]的意义，故结论②错误；
若1.3≤x≤2，则[x]＝2，符合题意；
当[x]＝4，[y]＝4时，
有：1＜x≤3，3＜y≤4，
∴2＜x+y≤6，
∴[x+y]＝5或5，即4＜[x+y]≤6，符合题意．
故选：C．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．【答案】﹣1．
【分析】把方程的解代入方程，得到一个含有未知数a的一元一次方程，解方程可得答案．
【解答】解：把代入方程ax+y＝6，得
a+3＝2，
解得a＝﹣4．
故答案为：﹣1．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短可得答案．
【解答】解：计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，然后沿AB开渠，这样设计的依据是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
13．【答案】±3．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值可得到a的值．
【解答】解：因为点P（2，a）到x轴的距离是3，
所以|a|＝6，
解得a＝±3．
故答案为：±3．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】根据图形求得∠COB＝∠COE+∠BOE＝125°；然后由对顶角相等的性质来求∠AOD的度数．
【解答】解：∵EO⊥AB，
∴∠EOB＝90°．
又∵∠COE＝35°，
∴∠COB＝∠COE+∠BOE＝125°．
∵∠AOD＝∠COB（对顶角相等），
∴∠AOD＝125°，
故答案为：125．
15．【答案】49．
【分析】先根据两个平方根互为相反数列出关于a的方程，解之求出a的值，再根据平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，
∴a+8+2a﹣15＝0，
解得a＝3，
所以这个正数是（a+3）2＝（5+3）2＝49，
故答案为：49．
16．【答案】m＜4．
【分析】先解方程可得x＝﹣，再根据题意可得﹣＜0，从而可得m﹣4＜0，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：mx+13＝4x+11，
mx﹣4x＝11﹣13，
（m﹣5）x＝﹣2，
x＝﹣，
∵方程mx+13＝4x+11的解为正数，
∴﹣＜0，
∴m﹣4＜4，
∴m＜4，
故答案为：m＜4．
17．【答案】4．
【分析】现根据面积求出边长，再估算结果．
【解答】解：＝，
∵＜＜，
即：4＜＜5，
∴最接近的整数为4，
故答案为：7．
18．【答案】（1）4.5；
（2）130（答案不唯一，在大于等于120且小于135内的数值均可）．
【分析】（1）根据白天的小型车收费标准列出运算式子，进行计算即可得；
（2）先根据离开时缴费15元可得出他是在10：00∼19：00之间某个时间点离开的，再根据白天收费标准列出式子即可得．
【解答】解：（1）如果他9：50离开，那么收费标准以白天的首小时内为准，
因此，应缴费为1.7×3＝4.5（元），
故答案为：4.5；
（2）如果他在10：00离开，则应缴费为7.5×4＝2＜15，
如果他在19：00离开，则应缴费为1.5×8+2.25×4×8＝87＞15，
因此，他是在10：00∼19：00之间某个时间点离开的，
因为（15−1.5×7）÷2.25＝4，
所以在以白天的首小时后为收费标准内，他停留了6个计时单位，
设停车的时长为x分钟，
因为不足一个计时单位不收取费用，
所以60+60≤x＜60+75，即120≤x＜135，
则停车的时长可能是130分钟，
故答案为：130（答案不唯一，在大于等于120且小于135内的数值均可）．
三、解答题（共46分，19题3分，20题4分，每题5分，每题6分）
19．【答案】±4．
【分析】得到x2＝16，然后根据平方根的定义求解．
【解答】解：∵x2＝16，
∴x＝±4．
20．【答案】1﹣．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：+﹣|2﹣|
＝﹣6+2﹣（﹣2）
＝﹣3+2﹣+2
＝1﹣．
21．【答案】．
【分析】①+②×3得出10x＝﹣10，求出x，再把x＝﹣1代入①求出y即可．
【解答】解：，
①+②×3，得10x＝﹣10，
解得：x＝﹣5，
把x＝﹣1代入①，得﹣1+3y＝2，
解得：y＝1，
所以方程组的解是．
22．【答案】﹣3＜x≤2．
【分析】分别解两个不等式得到x＞﹣3和x≤2，则根据大小小大中间找得到不等式组的解集，然后利用数轴表示其解集．
【解答】解：
解不等式①得x＞﹣3，
解不等式②得x≤2，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
用数轴表示为：

23．【答案】（1）见解析；
（2）A′（2，4），C′（3，2）；
（3）（0，）或（0，﹣）．
【分析】（1）将点A、B、C分别向右平移4个单位长度、向上平移1个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据所作图形可得答案；
（3）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，△A′OC'即为所求．

（2）由图知，A′（2，C′（3；
（3）设P（5，m），
∴|m|×2＝3×，
解得m＝±，
∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣），
故答案为：（0，）或（0，﹣）．
24．【答案】（1）见解答；
（2）垂直的定义，MPO，两直线平行，内错角相等，30°，60°．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先利用垂直的定义得到∠PNB＝90°，再根据平行线的性质和角平分线的定义证明∠MPO＝∠BOP＝30°．然后利用互余计算出∠OPN．
【解答】解：（1）如图，

（2）：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB＝90°（垂直的定义），
∵PM∥OB，
∴∠POB＝∠MPO（两直线平行，内错角相等）．
∵OP平分∠AOB，且，∠AOB＝60°，
∴（角的平分线的定义）．
∴∠MPO＝30°．
∵∠MPO+∠OPN＝∠MPN，
∴∠OPN＝60°．
故答案为：垂直的定义，MPO，内错角相等，60°．
25．【答案】（1）每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元；
（2）最多能购买20支羽毛球拍．
【分析】（1）设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m支羽毛球拍，则购买3m支乒乓球拍，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过5300元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每支羽毛球拍的价格为x元，每支乒乓球拍的价格为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每支羽毛球拍的价格为80元，每支乒乓球拍的价格为60元．
（2）设购买m支羽毛球拍，则购买7m支乒乓球拍，
依题意得：80m+60×3m≤5300，
解得：m≤．
又∵m为整数，
∴m的最大值为20．
答：最多能购买20支羽毛球拍．
26．【答案】（1）65°；（2）∠BED＝180°+（∠ADC﹣∠ABC）．
【分析】（1）如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；
（2）如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED的度数．
【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，
有∠BEF＝∠EBA．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠EDC．
∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．
即∠BED＝∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA＝∠ABC＝30°∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．
故答案为：65°；

（2）如图4，过点E作EF∥AB，
设∠ABC＝α，∠ADC＝β，
有∠BEF+∠EBA＝180°．
∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠EDC．
∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．
即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA＝∠ABC＝∠ADC＝，
∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣+．
∴∠BED＝180°+（∠ADC﹣∠ABC），
答：∠BED＝180°+（∠ADC﹣∠ABC）．
27．【答案】（1）2；
（2）a＜﹣2或a＞3；
（3）﹣3，2，﹣，．
【分析】：（1）A（﹣2，﹣2），B（3，﹣2），线段AB平行于x轴，点O到线段AB的距离为2，d（点O，线段AB）＝2；
（2）当点G在x轴上，又线段AB平行于x轴，当﹣2≤a≤3时，d（点G，线段AB）＝2，当a＜﹣2或a＞3时，dC点G，线段AB）＞2；
（3）图形M为正方形ABCD，当d（图形M，图形N）＝1，分情况讨论：①当t＜0时，|t﹣（﹣2）|＝|t+2|，②当t＞0时，|t﹣3|＝1；③﹣t＞0，|﹣t﹣3|＝1；④﹣t＜0，即t＞，|﹣t﹣3|＝1．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，﹣2），﹣5），
∴线段AB平行于x轴，
∴点O到线段AB的距离为2，
即d（点O，线段AB）＝2，
故答案为6；
（2）当点G在x轴上，
又线段AB平行于x轴，
∴当﹣2≤a≤3时，
d（点G，线段AB）＝3，
∴当a＜﹣2或a＞3时，
dC点G，线段AB）＞2，
故点G的横坐标a的取值范围为：a＜﹣2或a＞3；
（3）如图，图形M为正方形ABCD，

当d（图形M，图形N）＝8，
分情况讨论：
①当t＜0时，
|t﹣（﹣2）|＝|t+8|＝1，
∴t+2＝5或t+2＝﹣1，
解得t＝﹣2或t＝﹣3，
当t＝﹣1时，﹣t＝，7﹣＝，舍去），
当t＝﹣3时，﹣t＝，﹣3＝；
②当t＞0时，
|t﹣7|＝1，即t﹣3＝5或t﹣3＝﹣1，
解得t＝4或t＝2，
当t＝4时，﹣t＝，﹣5﹣＝，
当t＝2时，﹣t＝﹣，﹣＞1，
③﹣t＞0，
|﹣t﹣3|＝1，即+t＝﹣1，
解得t＝﹣或t＝﹣，
当t＝﹣时，﹣2+＝，
t＝﹣时，﹣+2＝；
④﹣t＜0，
|﹣t+8|＝1，即﹣t＝﹣2，
解得t＝或t＝，
当t＝时，3﹣＝，
当t＝时，﹣3＝，
综上，t的值为﹣3，2，﹣，．