2022-2023学年山东省日照市五莲县九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省日照市五莲县九年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省日照市五莲县九年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的倒数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为秒．数据用科学记数法可以表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为(    )

 A.  B.  C.  D. 5.  若关于的不等式组有解，则函数图象与轴的交点个数为(    )A.  B.  C.  D. 或6.  已知点，，都在反比例函数是常数的图象上，且，则，，的大小关系为(    )A.  B.  C.  D. 7.  如果关于的方程的解是负数，那么的取值范围是(    )A.  B. 且
C.  D. 且8.  如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于，连接，再分别以、为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交与点，连接，则下列说法中错误的是(    )A.
B. ∽
C.
D. 9.  如果关于的方程的两个实数根分别为，，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 10.  如图，已知菱形，在轴上，交轴于点，点在反比例函数上，点在反比例函数上，且，则的值为(    )A.
B.
C.
D. 11.  如图，已知二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间包括这两点下列结论：当时，；；；；其中正确的结论有(    )
 A.  B.  C.  D. 12.  如图，抛物线与轴交于、两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内一动点，且满足，是线段的中点，连结则线段的最大值是(    )

 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.  分解因式： ______ ．14.  关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则______．15.  如图，在每个小正方形的边长均为的网格图中，一段圆弧经过格点，，，格点，的连线交圆弧于点，则弧的长为______．
16.  如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，，若，则的值为______．
 
   
 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：；
先化简再求值：，其中为的小数部分．18.  本小题分
我市某小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新型冠状病毒疫苗接种，为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：类接种了只需要注射一针的疫苗；类接种了需要注射两针，且两针之间要间隔一定时间的疫苗；类接种了要注射三针，且每两针之间要间隔一定时间的疫苗；类还没有接种图与图是根据此次调查得到的统计图不完整．

请根据统计图回答下列问题：
接种类疫苗的人数的百分比是多少？接种类疫苗的人数是多少人？
请估计该小区所居住的名居民中有多少人进行了新型冠状病毒疫苗接种；
为了宣传新型冠状病毒疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集名志愿宣传者现有男女共名居民报名，要从这人中随机挑选人，请用树形图或表法求恰好抽到一男和一女的概率是多少．19.  本小题分
第届冬季奥林匹克运动会于今年月日至日在北京举行，我国冬奥选手取得了块金牌、块银牌、块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台如图，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端到的距离为米，，，，求此大跳台最高点距地面的距离是多少米结果保留整数．
参考数据：，，，，，，，，
 20.  本小题分
如图，是直径，点是上一点，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为点，交于点，连接．
求证：平分；
若，，求长．

 21.  本小题分
定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
如图，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？
如图，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为．
求的长；
若、分别是、边上的动点，求周长的最小值．

 22.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为，直线经过，两点．
求抛物线的解析式；
过点作轴交抛物线于点，过线段上方的抛物线上一动点作交线段于点，求四边形的面积的最大值及此时点的坐标；
点是在直线上方的抛物线上一动点，点是坐标平面内一动点，是否存在动点，，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，依据倒数的定义解答即可．
本题考查了倒数的定义，掌握倒数的定义是关键．
 2.【答案】 【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 3.【答案】 【解析】解：，故选项A正确；
B.，故选项B错误；
C.与不能合并，故选项C错误；
D.，故选项D错误；
故选：．
分析：根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
 4.【答案】 【解析】解：

，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
根据题意可知，，，等量代换求出，再根据平行线的性质求出．
本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：关于的不等式组有解，
，
即，
令，，
，
，
，
函数图象与轴的交点个数为．
当时，函数变为一次函数，故有一个交点，
故选：．
根据解不等式组的一般步骤得到的取值范围，然后求出函数的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与轴的交点个数．
解答此题要熟知以下概念：
解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
一元二次方程的解与二次函数的关系．
 6.【答案】 【解析】解：，
反比例函数是常数的图象在第一、三象限，
如图所示，当时，，
故选：．
先判断，可知反比例函数的图象在第一、三象限，再利用图象法可得答案．
本题考查反比例函数的图象和性质，理解“在每个象限内，随的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：两边同时乘得，
，
解得：，
又方程的解是负数，且，
，即，
解得：，
的取值范围为：．
故选：．
先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解，利用和得出不等式组，解不等式组即可求出的范围．
本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式，正确求得分式方程的解并考虑产生增根的情形是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：，，
，
由题意可得，为的垂直平分线，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
在和中，，，
∽，
，
．
故A，，选项的说法正确，
，，
，
，
故D选项说法错误．
故选：．
由题意可得，为的垂直平分线，得出，根据相似三角形的判定可知∽，由等腰直角三角形的性质可得出，，则可得出结论．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解答的关键是对相似三角形的判定条件与性质的掌握与灵活运用．
 9.【答案】 【解析】解：关于的方程的两个实数根分别为，，
，
，
代入方程得：，
解得：，
则．
故选：．
由方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于等于，列出关于的不等式，利用非负数的性质得到的值，确定出方程，求出方程的解，代入所求式子中计算即可求出值．
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解法，求得是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：四边形是菱形，
，
轴，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
依据菱形的性质得到，求得轴，得到，，求得，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：由抛物线的对称性可求得抛物线与轴令一个交点的坐标为，当时，，故正确；
抛物线开口向下，故，
，
．
，故错误；
设抛物线的解析式为，则，
令得：．
抛物线与轴的交点在和之间，
．
解得：，故正确；
，，
，故错误；
二次函数的图象与轴交于点，
，
，
，
，故正确；
故选：．
根据题意和图象可以分别计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
 12.【答案】 【解析】解：令，
解得，，
则点坐标为，点坐标为
抛物线的对称轴与轴交于点，
点为的中点，则点坐标为，
，
点在以为直径的圆上，圆心点的坐标为，
，的半径为，
延长交于，此时，
连接，

是线段的中点，
为为中位线，
，
又，
的最大值为．
故选C．
解得，利用抛物线的性质得到点为的中点，再根据圆周角定理得到点在以为直径的圆上，圆心点的坐标为，接着计算出，的半径为，延长交于，此时的值为，连接，利用三角形的中位线性质得到，从而得到的最大值．
本题考查二次函数的性质和圆周角定理．
 13.【答案】 【解析】解：

．
故答案为：．
提取后可用完全平方公式进行因式分解．
本题考查了提取公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再考虑公式法分解是常用的思维方法．
 14.【答案】 【解析】解：根据题意得，，
，
，
，
，，
，
或，
不合题意，
故答案为：．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，再由变形得到，即可得到，然后解此方程即可．
 15.【答案】 【解析】解：如图，作、的垂直平分线，两线交于，为的中点，连接、、，

由垂径定理得：，
，
，
弧的长是，
故答案为：．
找出圆心，根据勾股定理即可求出半径，根据图形得出的度数，根据弧长公式求出即可．
本题考查了勾股定理，垂径定理，弧长公式的应用，主要考查学生的计算能力．
 16.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，
把绕点逆时针旋转到，
，
，
∽，
，
，
，
的值为，
故答案为：．
根据正方形的性质得到，根据旋转的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键．
 17.【答案】解：




；



，
，
的整数部分是，小数部分是，
，
原式． 【解析】首先计算有理数的乘方，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，积的乘方的逆运算，然后从左向右依次计算即可；
根据分式的混合运算法则计算即可．
本题考查分式的化简求值，实数的运算，掌握分式的混合运算法则和实数的运算法则是解题的关键．
 18.【答案】解：接种类疫苗的人数的百分比为，
调查人数为：人，
接种类疫苗的学生人数人，
答：接种类疫苗的人数的百分比是，接种类疫苗的人数是人；
人，
答：该小区所居住的名居民中大约有人进行了新型冠状病毒疫苗接种；
用树状图表示从男女中随机选取人所有等可能出现的结果如下：

共有种等可能出现的结果，其中恰好是男女的有种，
所以从男女中随机选取人恰好是男女的概率为． 【解析】根据各组频率之和等于，即可求出接种类疫苗的人数所占的百分比；根据频率可求出调查人数，进而求出接种疫苗的学生人数；
求出样本中，进行了新型冠状病毒疫苗接种的人数占调查人数的百分比，估计总体中进行了新型冠状病毒疫苗接种人数所占的百分比，进而求出相应的人数；
用树状图表示从男女中随机选取人所有等可能出现的结果，再由概率的定义进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及列表法或树状图法，掌握频率以及用树状图列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
 19.【答案】解：如图，过点作于点，交于点，则．

根据题意可知，，米，
，
，
在中，，，
米，
在和中，设米，则米，
，
，
，解得米，
米，
米．
此大跳台最高点距地面的距离约是米． 【解析】过点作于点，交于点，则，分别在中，和中，解直角三角形即可得出结论．
此题主要考查了解直角三角形的应用，涉及三角函数值的定义，解一元一次方程，正确作出辅助线，并得出是解题关键．
 20.【答案】证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，即平分；

解：连接，
是直径，
，即，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得，，
，
在中，，，
，
由勾股定理得，，
在中，，，
． 【解析】连接，根据切线的性质得到，进而证明，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；
连接，根据圆周角定理得到，得到，根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 21.【答案】解：四边形是正方形，
，
将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，
，，
，
，
四边形为“直等补”四边形；
过作于点，如图，
则，
四边形是“直等补”四边形，，，，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
≌，
，
设，则，
，
，
解得，，或舍，
；

如图，延长到，使得，延长到，使得，连接，分别与、交于点、，过作，与的延长线交于点．
则，，
，
，，
的周长的值最小，
四边形是“直等补”四边形，
，
，
，
，
∽

，，
，
，
，，
，
，
周长的最小值为．
 【解析】由旋转性质得，再证明，便可；
过点作于点，证明≌得，设，在中，则勾股定理列出的方程解答便可；
延长到，使得，延长到，使得，连接，分别与、交于点、，求出便是的最小周长．
本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第题关键在证明全等三角形，第题关键确定、的位置．
 22.【答案】解：将点，点代入中，
则有，
，
；
，
对称轴为，
轴，
，
，
点，点，
的直线解析式为，
设，
交线段于点，
，
，
当时，四边形的面积最大，最大值为；
此时；
设，
当时，
，
，
，
，
点横坐标为；
当时，
，
，
或舍，
点横坐标为；
综上所述：点横坐标为或． 【解析】将点，点代入中，即可求解析式；
求出的直线解析式为，设，则，所以，即可求面积的最大值；
设，当时，，可求点横坐标为；当时，，可求点横坐标为．
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，掌握矩形的性质是解题的关键．