2022-2023学年北京师大实验华夏女子中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京师大实验华夏女子中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京师大实验华夏女子中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列各式中，是最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列运算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  如图，在▱中，，，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 4.  下列命题中正确的是(    )A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形5.  把正比例函数的图象向上平移个单位长度，得到的函数的解析式为(    )A.  B.  C.  D. 6.  关于一次函数的图象和性质，下列叙述正确的是(    )A. 与轴交于点 B. 函数图象不经过第二象限
C. 随的增大而减小 D. 当时，7.  若、、满足，则以、、为边的是(    )A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形8.  如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为(    )
A.  B.  C.  D. 9.  如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则(    )
A.  B.  C.  D. 10.  已知直线为常数，且当变化时，下列结论正确的有(    )
当时，图象经过一、三、四象限；当时，随的增大而减小；直线必过定点；坐标原点到直线的最大距离是．A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.  函数中，自变量的取值范围是______．12.  ______ ．13.  已知平行四边形邻边之比是：，周长是，则较短的边的边长是______．14.  如果正方形的一条对角线长为，那么该正方形的面积为______ ．15.  如图，跷跷板支架的高为米，是的中点，那么跷跷板能翘起的最大高度等于______ 米

 16.  如图，▱的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点，若，的周长是，则______．17.  直角三角形两条边长分别为、，则第三边长为______．18.  如图，菱形中，，动点以每秒个单位的速度自点出发沿线段运动到点，同时动点以每秒个单位的速度自点出发沿折线运动到点图是点、运动时，的面积随时间变化关系图象，则的值是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
计算
；
．20.  本小题分
如图，四边形是平行四边形，、是对角线上的两点，．
求证：；
求证：四边形是平行四边形．
21.  本小题分
甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由地到地，行驶路程与时间的函数关系如图所示，根据图象解答下列问题：
______ 先出发，先出发______ 分钟；
______ 先到达终点，先到达______ 分钟；
求出乙的行驶速度．
22.  本小题分
如图，将矩形沿折叠，使落在上的点处，已知，，求的长．
23.  本小题分
已知：在中，．
求作：矩形．
作法：如下，
分别以点，为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点，；
作直线，交边于点；
作射线，以点为圆心，以长为半径作弧，与射线的另一个交点为，连接，；
所以四边形就是所求作的矩形．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：直线是的垂直平分线，
．
，
四边形是平行四边形______填推理的依据．
，
四边形是矩形______填推理的依据．
24.  本小题分
已知一次函数经过点，与轴交于点．
求的值和点的坐标；
画出此函数的图象；观察图象，当时，的取值范围是______ ；
若点是轴上一点，的面积为，则点点坐标是多少？
25.  本小题分
我们研究函数的图象与性质．
我们知道，，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象；
基本步骤是：
的取值范围是______ ；
列出表格，其中 ______ ， ______ ； 描点，在坐标系中描出表格中的各点；
连线，在坐标系中画出函数的图象．
通过观察图象，写出该函数的一条性质：______ ；
在中给出的平面直角坐标系画出函数图象，说说函数是怎样由函数平移得来的．
26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点．

求直线的函数表达式；
直线垂直平分交于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为．
用含的代数式表示 ______ ；
当时，点的坐标为______ ；
在的条件下，如图，点、为轴上两个动点，满足，并且点在点的上方，连接，，当四边形周长最小时，直接写出点的坐标______ ．27.  本小题分
如图，正方形的边长为，点为对角线上任意一点不与、重合，连接，过点作，交线段于点，以、为邻边作矩形，连接．
如图，求证：；
如图，当为的三等分点时靠近点，求证：；
设四边形的周长为，直接写出的取值范围是______ ．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、，所以选项错误；
C、，所以选项正确；
D、，所以，选项错误．
故选：．
利用二次根式的加减法对进行判断；利用二次根式的性质对进行判断；利用二次根式的除法法则对进行判断；利用二次根式的乘法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 3.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，，则，再由等腰三角形的性质得，则，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以选项正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以选项错误．
故选：．
根据根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
 5.【答案】 【解析】解：按照“上加下减”的规律，把正比例函数的图象向上平移个单位长度，得到的函数的解析式为，
故选：．
按照“上加下减”的规律解答即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 6.【答案】 【解析】解：当时，，
一次函数的图象经过点，选项A不符合题意；
B.，，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，选项B符合题意．
C.，
随的增大而增大，选项C不符合题意；
D.当时，，
解得：，选项D不符合题意；
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可判断出选项A；利用一次函数的性质，可判断出选项BC；利用一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，可判断选项选项D．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：，
，，，
，，，
，即，
以、、为边的是直角三角形，
故选：．
先根据非负数的性质求出、、的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 8.【答案】 【解析】解：公路、互相垂直，
，
为的中点，
，
，
，即，两点间的距离为，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记知识点是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
 9.【答案】 【解析】解：延长到点，连接，

由题意得：，，，
，
是直角三角形，
，
，
，
是的一个外角，
，
故选：．
延长到点，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再根据，可得是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：当时，，
此时一次函数，经过一、三、四象限，故正确；
对于直线为常数，且来说，当时，即时，随的增大而增大；故错误；
当时，，
直线必过定点；故正确；
设原点到直线的距离为，
由知直线必过定点，
设点，
，
坐标原点到直线的最大距离是故正确．
正确的有：，
故选：．
根据一次函数的性质逐项分析即可．
此题主要考查了一次函数的性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：根据题意得：，
解得．
故答案为：．
本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是算术平方根时，被开方数为非负数．函数关系中主要有算术平方根．根据算术平方根的意义，被开方数是非负数即可求解．
 12.【答案】 【解析】解：原式．
故答案为：．
直接根据算术平方根的定义计算即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是关键．
 13.【答案】 【解析】解：平行四边形的周长是，一组邻边之比是：，
设两邻边分别为，，
则，
解得：，
较短的边的边长是，
故答案为：．
可先设出两边的长度，再利用周长建立方程，进而求解即可．
此题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．注意解此题需要利用方程思想．
 14.【答案】 【解析】解：正方形的面积是：．
故答案为：．
利用对角线乘积的一半即可求出正方形的面积．
此题主要考查正方形的面积计算方法，直接利用面积公式解答即可．
 15.【答案】 【解析】解：当到达直线时，到达最高点，最大，
，均与地面垂直，
，
∽，
，
是的中点，
，
米，
故答案为：．
当到达直线时，到达最高点，最大，根据，得∽，从而得，再根据是的中点，得，代入即可求解．
本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，．
，
，
的周长是，
，
，点，分别是线段，的中点，
．
故答案为：．
首先由▱的对角线，相交于点，求得，，又由，可求得的长，继而求得的长，然后由三角形中位线的性质，求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意由平行四边形的性质求得的长是关键．
 17.【答案】或 【解析】解：设第三边为
若是直角边，则第三边是斜边，由勾股定理得，解得：
若是斜边，则第三边为直角边，由勾股定理得，，解得
所以第三边长为或
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
 18.【答案】 【解析】解：由图得，时两点停止运动，
点以每秒个单位速度从点运动到点用了秒，
，
点运动到点之前和之后，面积算法不同，即时，的解析式发生变化，
图中点对应的横坐标为，
此时为中点，点与点重合，连接，
菱形中，，，
是等边三角形，
，，
，
．
故答案为：．
根据图和图中的数据求出菱形的边长，再根据等腰三角形的性质以及勾股定理解答即可．
本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是菱形的边长．
 19.【答案】解：



；


． 【解析】先算乘除法，再合并同类二次根式即可；
根据平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
 20.【答案】证明：如图：四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，
，
≌，
；
证明：，
，
．
由知≌，
，
四边形是平行四边形． 【解析】通过全等三角形≌的对应边相等证得；
根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
 21.【答案】甲    乙   【解析】解：根据函数图象可知，甲先出发，先出发分钟；
故答案为：甲，；
根据函数图象，乙先到达终点，先到达分钟；
故答案为：乙，；
，
答：乙的行驶速度为．
根据函数图象解答即可；
根据函数图象解答即可；
根据速度总路程总时间，列式计算即可得解．
本题考查了函数图象，了解图象中横坐标为自变量，纵坐标为因变量是解题基础，属于基础题．
 22.【答案】解：四边形是矩形，
，，，
由题意知与成轴对称，
，，
在中，，，，
由勾股定理得，
，
设的长为，则，
，
由勾股定理得，
，
解得：，
的长为． 【解析】先根据矩形的性质，得出，，，根据折叠性质得出，根据勾股定理求出，得出，设的长为，则，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可．
本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，设的长为，根据勾股定理列出关于的方程，是解题的关键．
 23.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形  有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】解：如图，四边形即为所求．

证明：直线是的垂直平分线，
．
，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
根据要求作出图形即可．
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是正确作出点，属于中考常考题型．
 24.【答案】 【解析】解：一次函数经过点，
．
当时，，解得．
；
画出函数图象如图：

观察图象，当时，的取值范围是．
故答案为：；
，
．
，
，
解得．
的坐标为或．
代入的坐标即可求得的值，令，解方程即可求得点的坐标；
根据图象即可求解；
利用三角形面积公式求得，即可求得的坐标为或．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与性质，三角形面积，数形结合是解题的关键．
 25.【答案】全体实数      当时，随的增大而增大答案不唯一 【解析】解：的取值范围是全体实数；
故答案为：全体实数；
将代入得，
，
将代入得，
，
故答案为：，．
描点、连线画出函数的图象如图：

由图象可知，当时，随的增大而增大答案不唯一，
故答案为：当时，随的增大而增大答案不唯一；
函数是由函数向右平移个单位，再向上平移个单位得来的，
根据解析式即可确定的取值范围是全体实数；
将和代入解析式求解即可；
描点、画图，在平面直角坐标系中画出函数的图象：
根据图象得出结论；
根据平移的性质即可求得．
本题考查了一次函数的图象和性质，坐标与图形变换平移，能根据图象得出正确信息是解此题的关键．
 26.【答案】   【解析】解：设直线的函数表达式为，
将点，代入，得，
解得：，
直线的函数表达式为；
直线垂直平分交于点，且，
直线为直线，
点、的横坐标为，
将代入中，得，
，
点的纵坐标为，
；
故答案为：；
，
，
解得：，
；
故答案为：；
如图，在直线上取一点，作点关于轴的对称点，连接，，连接交轴于点，

则，点，，
点、为定点，
为定值，
，且，
当取得最小值时，四边形周长最小，
轴，轴，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
当、、三点共线时，取得最小值，即四边形周长最小，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
，即当四边形周长最小时，点的坐标为．
故答案为：．
直接利用待定系数法即可求解；
根据题意易得点、的横坐标为，进而求出，再利用两点间的距离公式即可求解；
利用三角形面积公式可得，代入求解即可；
在直线上取一点，作点关于轴的对称点，连接，，连接交轴于点，则，点，，易知当取得最小值时，四边形周长最小，易得四边形为平行四边形，得到，则，由三角形三边关系可知当、、三点共线时，取得最小值，即四边形周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出此时点的坐标即可．
本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式、线段垂直平分线的性质、一次函数图象上点的坐标特征、三角形面积公式、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质，解题关键是灵活运用相关知识解决问题．
 27.【答案】 【解析】证明：如图，连接，

四边形是正方形，
，，
，
、、、在以为直径的圆上，
，，
，
；
证明：如图，连接，过点作于点，

四边形是正方形，点在上，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
当为的三等分点，
，
，
；
解：由得，，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，



，
随的增大而增大，
当时，最小，的值最小，
此时，
的最小值为，
当点与点或点重合时，最大，的值最大，
此时，的最大值为，
点不与、重合，
．
故答案为：．
连接，根据正方形的性质及圆周角定理可以判断；
连接，过点作于点，利用正方形的性质及线段的和差关系可得，根据、是的三等分点，于是得到结论；
由正方形的判定与性质可得，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可判断．
此题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．