浙江大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中模拟数学试卷

这是一份浙江大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中模拟数学试卷，共21页。
2022-2023学年浙江省浙江大学附中高一下学期期中数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知集合，B＝{x|x2﹣6x+8＜0}，则A∩B＝（　　）
A．[1，2） B．（3，4） C．（2，3） D．[1，+∞）
2．（5分）设a，b∈ R，则“”是“a＞1且b＞1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）如图，在▱ABCD中，M为BC的中点，＝m+n，则m+n＝（　　）

A．1 B． C． D．2
4．（5分）已知扇形的圆心角为120°，面积为，则该扇形所在圆的半径为（　　）
A． B．2 C． D．4
5．（5分）已知角θ的终边经过点M（m，3﹣m），且，则m＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
6．（5分）符合下列条件的三角形有且只有一个的是（　　）
A．a＝1，b＝，c＝3 B．a＝l，b＝，A＝30°
C．a＝l，c＝3，A＝30° D．a＝b＝1，B＝30°
7．（5分）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．g（x）在区间[0，2π]上存在零点
C．g（x）的图象的对称中心为（k∈Z）
D．g（x）的图象的对称轴方程为（k∈Z）
8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时f（x）＝2sinπx，则函数y＝f（x）﹣|x|的零点个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）设向量，则（　　）
A．
B．
C．与的夹角为
D．在上的投影向量为（1，0）
（多选）10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列选项中正确的有（　　）
A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则 a：b：c＝1：2：3
B．若 sinA＞sinB，则∠A＞∠B
C．若 b2＝a2+c2﹣ac，则
D．若a²+b²＞c²，则△ABC 为锐角三角形
（多选）11．（5分）下列说法中正确的是（　　）
A．非零向量和满足，则与的夹角为60°
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，则在方向上的投影向量的模为
D．若，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
（多选）12．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，已知B+D＝180°，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝2，下列四个结论中正确的是（　　）

A．B＝D＝90°
B．四边形ABCD的面积为4+
C．AC＝6
D．四边形ABCD的周长为6+4+2
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在某次事故中，根据现场勘测结果，肇事汽车的刹车距离为72m，经查询知该车的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系为，则该车的速度为 　 　km/h．
14．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的大致图象如图所示，则函数的解析式为 　 　，方程f（x）﹣lgx＝0的实根个数为 　 　．

15．（5分）函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（1﹣x）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有，则m的取值范围是 　 　．
16．（5分）已知函数f（x）＝cos2x+acosx，当a＝2时，f（x）的最小值为 　 　；若f（x）的最大值为2，则a的值为 　 　．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知向量．
（1）若与的夹角为θ，求cosθ；
（2）若，求λ的值．
18．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____．
（1）求C；
（2）若△ABC的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值．
19．（12分）已知实数a≥﹣1，且函数f1（x）＝﹣3x2+6ax﹣3a2+2，f2（x）＝3x2﹣6（a+2）x+3a2+12a+2，H1（x）＝max{f1（x），f2（x）}，H2（x）＝min{f1（x），f2（x）}，f（x）＝，当x∈[0，1]时，f（x）的最小值记为g（a）．
（1）若a＝0，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）∀a≥﹣1，∃x∈[0，1]，g（a）≤4x﹣2x+2+2m+4，求实数m的取值范围．
20．（12分）已知函数．
（1）化简f（x）；
（2）已知常数ω＞0，若函数y＝f（ωx）在区间上是增函数，求ω的取值范围；
（3）若关于x的方程（f（x）+1）（sinx﹣1）+a＝0有解，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a（sinA﹣sinB）+bsinB＝csinC．
（1）求角C的大小；
（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）线段BC上一点D满足AD＝BD＝1，CD＝3，求AB的长度．

2022-2023学年浙江省浙江大学附中高一下学期期中数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知集合，B＝{x|x2﹣6x+8＜0}，则A∩B＝（　　）
A．[1，2） B．（3，4） C．（2，3） D．[1，+∞）
【答案】C
【分析】解不等式求得A，B，由此求得A∩B即可．
【解答】解：由题意可知，
所以A＝{x|1≤x＜3}，
又由x2﹣6x+8＜0⇒（x﹣2）（x﹣4）＜0⇒2＜x＜4，
所以B＝{x|2＜x＜4}，
所以A∩B＝（2，3）．
故选：C．
2．（5分）设a，b∈R，则“”是“a＞1且b＞1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由题意看命题“a+b＞2且ab＞1”与命题“a＞1且b＞1”能否互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
【解答】解：∵a＞1且b＞1，
∴a+b＞2且ab＞1，
若已知a+b＞2且ab＞1，可取a＝，b＝8，也满足已知，
∴“a+b＞2且ab＞1”是“a＞1且b＞1”的必要不充分条件，
故选：B．
3．（5分）如图，在▱ABCD中，M为BC的中点，＝m+n，则m+n＝（　　）

A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】先找到基底向量，然后将向量用基底向量表示，使之等价关系成立，分别求出m，n的值，相加即可．
【解答】解：，，，
所以，
即m﹣n＝1，，，
所以．
故选：C．
4．（5分）已知扇形的圆心角为120°，面积为，则该扇形所在圆的半径为（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．
【解答】解：∵120°＝．
∴S扇形＝α•r2＝וr2＝，
故r＝2，
故选：B．
5．（5分）已知角θ的终边经过点M（m，3﹣m），且，则m＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】由题意，利用任意角的正切函数的定义，求出m的值．
【解答】解：∵角θ的终边经过点M（m，3﹣m），且＝，
∴m＝2，
故选：C．
6．（5分）符合下列条件的三角形有且只有一个的是（　　）
A．a＝1，b＝，c＝3 B．a＝l，b＝，A＝30°
C．a＝l，c＝3，A＝30° D．a＝b＝1，B＝30°
【答案】D
【分析】利用三角形中的边的关系，角的关系，及正余弦定理进行逐项分析，排除．
【解答】解：对于A，a＝1，b＝，c＝3，由两边之和大于第三边，1+，可知符合A的三角形不存在；
对于B，由a＝l，b＝，A＝30°，可得sinB＝45°或135°，符合条件的三角形有2个，不符合题意；
对于C，a＝l，c＝3，A＝30°，可得sinB＝，不符合题意；
对于D，a＝b＝1，B＝30°，∴符合条件的三角形有一个是等腰三角形．
故选：D．
7．（5分）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．g（x）在区间[0，2π]上存在零点
C．g（x）的图象的对称中心为（k∈Z）
D．g（x）的图象的对称轴方程为（k∈Z）
【答案】D
【分析】首先利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换求出函数g（x）＝的关系式，进一步利用函数的对称中心和对称轴的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin（）再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝的图象，
对于A：由于求出的函数g（x）＝，故A错误；
对于B：令，整理得（k∈Z），无论k＝0，1，﹣1时，在区间[0，2π]上不存在零点，故B错误；
对于C：由B得：函数的对称中心为（，0），故C错误；
对于D：令，整理得（k∈Z），故D正确．
故选：D．
8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时f（x）＝2sinπx，则函数y＝f（x）﹣|x|的零点个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由条件可将﹣x换为x，得到f（x）为周期为2的偶函数，由题意可得y＝f（x）﹣|x|的零点个数即为函数y＝f（x）和y＝|x|的图象交点个数，分别作出函数y＝f（x）和y＝|x|的图象，可得交点个数，可得所求零点个数．
【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝2sinπx，
可得f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），即f（x）为周期为2的偶函数，
函数y＝f（x）﹣|x|的零点个数即为函数y＝f（x）和y＝|x|的图象交点个数，
分别作出函数y＝f（x）和y＝|x|的图象，

可得它们的交点个数为7个，
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）设向量，则（　　）
A．
B．
C．与的夹角为
D．在上的投影向量为（1，0）
【答案】AD
【分析】根据平面向量数量积的运算性质逐一进行判断即可
【解答】解：因为，所以＝（﹣1，﹣1），
对A：||＝，||＝，所以||＝||，故A正确；
对B：因为1×（﹣1）﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣2≠0，所以与不平行，故B错误；
对C：，
则＝＝，
∵，
∴与的夹角为，故C错误；
对D：在上的投影为＝＝1，则在上的投影向量为（1，0），故D正确；
故选：AD．
（多选）10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列选项中正确的有（　　）
A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则 a：b：c＝1：2：3
B．若 sinA＞sinB，则∠A＞∠B
C．若 b2＝a2+c2﹣ac，则
D．若a²+b²＞c²，则△ABC 为锐角三角形
【答案】BC
【分析】直接利用正弦定理和余弦定理判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：由∠A：∠B：∠C＝1：2：3 知，，，，所以 ，所以A错误；
对于B：由 sinA＞sinB，根据正弦定理得 ，即 a＞b，则∠A＞∠B，所以B正确；
对于C：因为 b2＝a2+c2﹣ac，由余弦定理得 b2＝a2+c2﹣2accosB，所以 cosB＝，所以C正确；
对于D：由a2+b2＞c2，仅能判断∠C 为锐角，∠A，∠B 未知，所以D错误．
故选：BC．
（多选）11．（5分）下列说法中正确的是（　　）
A．非零向量和满足，则与的夹角为60°
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，则在方向上的投影向量的模为
D．若，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
【答案】BC
【分析】利用数量积的运算律可得，再求出，最后根据夹角公式计算即可判断A，
由即可判断B，
根据投影的定义判断C，
根据且与不能同向，即可得到不等式组，解得即可判断D．
【解答】解：对于A，非零向量和满足，
，
所以，即，
所以，
所以，
所以与的夹角为30°，故A错误；
对于B：由，，所以，则与共线，
故向量，不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；
对于C：，则或，则在方向上的投影向量的模为，故C正确；
对于D：由，，则，
若与的夹角为锐角，则且与不能同向，
即，解得且λ≠0，故D错误．
故选：BC．
（多选）12．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，已知B+D＝180°，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝2，下列四个结论中正确的是（　　）

A．B＝D＝90°
B．四边形ABCD的面积为4+
C．AC＝6
D．四边形ABCD的周长为6+4+2
【答案】ACD
【分析】利用AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcosB＝AD2+DC2﹣2AD•CDcosD，可得B＝90°，即可判定A；
直接利用直角三角形面积公式求解四边形面积，即可判定B；
利用勾股定理求AC，即可判定C；
直接求AD+DC+AB+BC即可判定D．
【解答】解：由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcosB＝AD2+DC2﹣2AD•CDcosD，
即36﹣16cosB＝36﹣16cosD＝36+16cosB，
解得cosB＝0，则B＝90°，
因为B+D＝180°，所以B＝D＝90°，故A正确；
四边形ABCD的面积为S△ABC+S△ADC＝＝4+2，故B错；
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36，则AC＝6，故C正确；
四边形ABCD的周长为AB+BC+AD+CD＝6+4+2，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在某次事故中，根据现场勘测结果，肇事汽车的刹车距离为72m，经查询知该车的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系为，则该车的速度为 　90　km/h．
【答案】90．
【分析】根据已知条件，推得，解出正数v，即可求解．
【解答】解：肇事汽车的刹车距离为72m，经查询知该车的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系为，
则，即v2﹣10v﹣7200＝0，解得v＝90或v＝﹣80（舍去），
故该车的速度为90．
故答案为：90．
14．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的大致图象如图所示，则函数的解析式为 　f（x）＝2sin　，方程f（x）﹣lgx＝0的实根个数为 　63　．

【答案】f（x）＝2sin；63．
【分析】由图象求三角函数解析式，由最大最小值可求A，求ω关键是找周期，然后代一个点可求得φ，从而可得函数解析式，根据对数函数的图象特征、正弦函数的图象的周期性，分析得出方程f（x）﹣lgx＝0的实根个数．
【解答】解：显然A＝2，由图象过点（0，1），得f（0）＝1，即2sinφ＝，又因为|φ|＜，所以φ＝，
因为点在图象上，所以f＝0，即2sin＝0，
由图象可知，是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点，
所以＝2π，解得ω＝2，
所以函数的解析式为f（x）＝2sin．
在同一平面直角坐标系内作出函数f（x）＝2•sin和函数y＝lgx的图象，如图．

因为f（x）的最大值为2，令lgx＝2得x＝100．
令+kπ＜100，k∈Z，得k≤30，k∈Z，
而+31π＞100，所以在（0，100]内有31个形如，0≤k≤30，k∈Z的区间．
而在每一个区间上，函数f（x）＝2•sin和函数y＝lgx的图象都有2个交点，故这两个图象在内有62个交点，另外在内还有1个交点．
故方程f（x）﹣lgx＝0共有63个实根．
15．（5分）函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（1﹣x）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有，则m的取值范围是 　（﹣∞，]　．
【答案】（﹣∞，]．
【分析】作出函数在（0，2]上的图象，求出函数在（1，2]上的解析式，令此时的f（x）＝，求出两根，结合图象即可得答案．
【解答】解：因为x∈（0，1]时，f（x）＝x（1﹣x）∈[0，]．
x+1∈（1，2]，f（x+1）＝2f（x）＝2x（1﹣x）＝2（x+1﹣1）[2﹣（x+1）]，
所以当x∈（1，2]时，f（x）＝2（x﹣1）（2﹣x）∈[0，]，
此时令f（x）＝2（x﹣1）（2﹣x）＝，
解得x1＝，x2＝，
又因为对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≤，
所以m≤．
所以m的取值范围为（﹣∞，]．
故答案为：（﹣∞，]．

16．（5分）已知函数f（x）＝cos2x+acosx，当a＝2时，f（x）的最小值为 　　；若f（x）的最大值为2，则a的值为 　±1　．
【答案】．
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和二次函数的和分类讨论思想的应用求出结果．
【解答】解：（1）函数f（x）＝cos2x+acosx，当a＝2时，f（x）＝cos2x+2cosx＝，
当cosx＝时，函数的最小值为；
当函数f（x）＝cos2x+acosx＝；
当时，即a＜﹣4，cosx＝1时函数取得最大值，解得a＝1，故舍去；
当时，即﹣4≤a≤4，cosx＝1时函数取得最大值，解得a＝1；
当时，即a＜4，cosx＝﹣1时函数取得最大值，解得a＝﹣1；
故a＝±1．
故答案为：．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知向量．
（1）若与的夹角为θ，求cosθ；
（2）若，求λ的值．
【答案】（1）cosθ＝；
（2）λ＝﹣．
【分析】（1）根据题意，由数量积的坐标计算公式可得答案；
（2）根据题意，求出λ+与﹣2的坐标，进而计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，向量．
＝3，∴．
（2）根据题意，，，
若，即，解可得；
故λ＝﹣．
18．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____．
（1）求C；
（2）若△ABC的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值．
【答案】（1）C＝；
（2）BD的最小值为6．
【分析】（1）分别选取①，②，③，利用正弦定理和三角函数的恒等变换化简，即可得出答案；
（2）由（1）得C＝，利用面积公式可得ab＝72，利用余弦定理和基本不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）选择①：∵，
∴在△ABC中，由正弦定理得sinB﹣sinCcosA＝sinAsinC，
又sinB＝sin（A+C），则sinCcosA+cosCsinA﹣sinCcosA＝sinAsinC，即cosCsinA＝sinAsinC，
∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴tanC＝，
∵C∈（0，π），∴C＝；
选择②：∵，
∴在△ABC中，由正弦定理得＝（+1）＝，
又sinA＝sin（B+C），且A∈（0，π），B∈（0，π），即sinA≠0，sinB≠0，
∴cosC＝，
又C∈（0，π），∴C＝；
选择③：∵，
∴在△ABC中，由正弦定理得sinCsinB＝sinBcos（C﹣），
∵B∈（0，π），sinB≠0，
∴sinC＝cos（C﹣）＝cosC+sinC，即tanC＝，
∵C∈（0，π），∴C＝；
（2）由（1）得C＝，△ABC的面积为，即S＝absinC＝18，解得ab＝72，
在△BCD中，由余弦定理得DB2＝a2+（）2﹣2a•cosC＝a2+﹣ab≥2a•﹣ab＝ab＝36，当且仅当a＝，即a＝6，b＝12时等号成立，
∴BD≥6，
故BD的最小值为6．
19．（12分）已知实数a≥﹣1，且函数f1（x）＝﹣3x2+6ax﹣3a2+2，f2（x）＝3x2﹣6（a+2）x+3a2+12a+2，H1（x）＝max{f1（x），f2（x）}，H2（x）＝min{f1（x），f2（x）}，f（x）＝，当x∈[0，1]时，f（x）的最小值记为g（a）．
（1）若a＝0，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）∀a≥﹣1，∃x∈[0，1]，g（a）≤4x﹣2x+2+2m+4，求实数m的取值范围．
【答案】（1）（0，2）；（2）．
【分析】（1）首先求出f1（x），f2（x）的解析式，再解关于x的不等式，即可求出f（x）的解析式，从而求出函数的单调递减区间；
（2）首先令f1（x）＝f2（x），求出方程的解，从而确定f（x）的解析式，再根据二次函数的性质求出f（x）的最小g（a），从而求出g（a）max，依题意只需，令t＝2x，求出（4x﹣2x+2+2m+4）max，即可求出参数的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝0时，，，
由﹣3x2+2＞3x2﹣12x+2，解得0＜x＜2，
由﹣3x2+2≤3x2﹣12x+2，解得x≤0或x≥2，
则当x＜2时f（x）＝﹣3x2+2，函数在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，
当x≥2时f（x）＝3x2﹣12x+2＝3（x﹣2）2﹣10，函数在[2，+∞）上单调递增，
故函数f（x）的单调递减区间为（0，2）．
（2）令f1（x）＝f2（x），
得﹣3x2+6ax﹣3a2+2＝3x2﹣6（a+2）x+3a2+12a+2，解得x＝a或x＝a+2，
﹣3x2+6ax﹣3a2+2＞3x2﹣6（a+2）x+3a2+12a+2，解得a＜x＜a+2，
﹣3x2+6ax﹣3a2+2＜3x2﹣6（a+2）x+3a2+12a+2，解得x＜a或x＞a+2，
∵a≥﹣1，∴a+2≥1，
又因为函数关于直线x＝a对称，
所以，
令t＝2x，由x∈[0，1]，得t∈[1，2]，
由∀a≥﹣1，∃x∈[0，1]，有g（a）≤4x﹣2x+2+2m+4成立，
可知，
故，
又t＝1时，（t2﹣4t+2m+4）max＝1+2m，
所以，解得，故实数m的取值范围为．
20．（12分）已知函数．
（1）化简f（x）；
（2）已知常数ω＞0，若函数y＝f（ωx）在区间上是增函数，求ω的取值范围；
（3）若关于x的方程（f（x）+1）（sinx﹣1）+a＝0有解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）f（x）＝2sinx；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据三角函数倍角公式化简即可；
（2）根据y＝sinx的单调递增区间对比，并考虑ω＞0即可；
（3）将“有解“转化为直线y＝a与所求函数由交点即可．
【解答】解：（1）；
（2）f（ωx）＝2sinωx，
当f（ωx）为增函数时，，
∴
因为f（ωx）在上为增函数，
所以有，
∴
由（2）得，
∵k∈Z，
∴k＝0，代入上方程组解得；
（3）原方程为（2sinx+1）（sinx﹣1）+a＝0，
即a＝﹣2sin2x+sinx+1有解，
令，
当时，，
当sinx＝﹣1时，g（x）min＝﹣2，
所以a的取值范围为．
21．（12分）已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a（sinA﹣sinB）+bsinB＝csinC．
（1）求角C的大小；
（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据已知条件结合正弦定理可得a2+b2﹣c2＝ab，再由余弦定理可得答案；
（2）由（1）结合三角形的面积可得ab＝12，再利用余弦定理可求得a+b的值，进而求得周长．
【解答】解：（1）∵a（sinA﹣sinB）+bsinB＝csinC，
∴a（a﹣b）+b2＝c2，即a2+b2﹣c2＝ab，
∴，
又C∈（0，π），
∴角C的大小为；
（2）由（1）得，，
又，解得ab＝12，
∴＝，
∴（a+b）2＝49，则a+b＝7，
∴△ABC的周长为．
22．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）线段BC上一点D满足AD＝BD＝1，CD＝3，求AB的长度．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合A∈（0，π），即可求解A的值；
（2）令，在△ADC中，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，在△ABD中，利用正弦定理即可求解AB的值．
【解答】解：（1）由acosC﹣c＝b，
结合正弦定理可得sinAcosC﹣sinC＝sinB，
因为A+B+C＝π，
所以sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
所以，即，
因为sinC≠0，
所以，
因为A∈（0，π），
所以；
（2）由题设，令，
则，，∠ADC＝2θ，
在△ADC中，即，
所以，
故，
所以，即，
故，
所以，
因为在△ABD中，＝，可得＝，
所以可得AB＝＝2cosθ＝．