2023年湖北省利川市团堡镇朱砂屯民族中学中考模拟数学试题（解析版）

这是一份2023年湖北省利川市团堡镇朱砂屯民族中学中考模拟数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年九年级数学6月测试题一、单选题（36分）1. 计算的结果是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据正切值等于对边比邻边计算求值即可．【详解】如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∴==1，故选：D．．【点睛】此题考查正切值计算公式，等腰直角三角形的性质，熟记正切值的计算公式是解题的关键．2. 在中，，，，那么等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据中，，，可利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，再根据正弦的定义可得答案．【详解】解：，，直角三角形，，，故选：B．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．3. 在中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（    ）A. 不变 B. 扩大5倍 C. 缩小5倍 D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．【详解】解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐角A的各三角函数值没有变化，故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握三角函数值的大小只与角的大小是解题的关键．4. 如图，是斜边上的高，若，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据，可设，则，求出，可得，再解直角三角形即可.【详解】解：∵，∴设，则，∵，∴，∴,则在直角三角形中，；故选：D.【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.5. 如图，要测量小河的宽度，在小河边取的垂线上的一点，测得，，则小河的宽度等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．【详解】解：∵PA⊥PB，PC=50米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=50tan35°(米)．
故选：A．【点睛】考查考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．6. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（   ）  A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意连接BD可知，进而利用勾股定理得出BD和CD，最后即可得出tan∠ACB的值．【详解】解：如图，连接BD，根据图象可知，则有，所以．故选：D．【点睛】本题考查网格与勾股定理以及锐角三角函数的定义，注意掌握在直角三角形中，一锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．7. 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝，你认为△ABC最确切的判断是（　　）A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形C. 直角三角形 D. 锐角三角形【答案】B【解析】【详解】试题分析：∵△ABC中，tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选B．考点：特殊角的三角函数值．8. 下列计算错误的是（　　）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据特殊角三角函数值, 可得答案.【详解】解：A. sin -sin =，故A符合题意;B.,故B不符合题意;C., 故 C不符合题意;D.,故D不符合题意;故选: A.【点睛】本题主要考查三角函数的定义及运算，注意运算的准确性.9. 课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是A. 12米 B. 米 C. 24米 D. 米【答案】B【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，即可求解．【详解】解：依题意，tan∠ACB=，则， 解得：AB=米，故选B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键．10. 如图，点，，，在上，是的一条弦，则（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】连接CD，由圆周角定理可得出∠OBD=∠OCD，根据点D(0，3)，C(4，0)，得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形OCD中利用三角函数即可求出答案．【详解】解：连接CD，∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD=3，OC=4，∵∠COD=90°，∴，∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD=，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．11. 直线与轴正半轴的夹角为，那么下列结论正确的是（  ）  A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】过点作轴于，由函数可得如果，则，根据勾股定理还可以求得，即可求得的三角函数值．【详解】解：过点作轴于．  直线与轴正半轴的夹角为，设，则，根据勾股定理得，，，．故选：A．【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．12. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值是（　　）A.  B. 2 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】在直角三角形ADE中，，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE．【详解】设菱形ABCD边长为t．∵BE＝2，∴AE＝t−2．∴，∴，∴t＝5．∴AE＝5−2＝3．∴DE＝＝＝4．∴tan∠DBE＝＝2．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握边角之间的关系．二、填空题（12分）13. 若，那么___________．【答案】##60度【解析】【分析】由，即可求解．【详解】解：，，故答案：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值求特殊角问题，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．14. 中，若，，，则的面积为________.【答案】【解析】【分析】过点A作BC边上的高交BC的延长线于点D，在中，利用三角函数求出AD长，再根据三角形面积公式求解即可.【详解】解：如图，作于点D，则， 在中，所以的面积为 故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角函数，灵活添加辅助线利用三角函数求出三角形的高是解题的关键.15. 已知锐角的正弦是一元二次方程的一个根，则_______．【答案】【解析】【分析】解方程得到，，然后根据正弦的定义确定的值．【详解】解：，解得：，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元二次方程，正弦的定义，解题的关键是根据正弦值的范围选择合理的解．16. 因为，，所以，由此猜想：当为锐角时，有，由此可知：_______．【答案】##【解析】【分析】当为锐角时有．把代入计算即可．【详解】解：，．故答案：．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，本题是信息题，按照一般地当为锐角时有去答题．同时熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键．三、解答题（72分）17. 计算：【答案】【解析】【分析】把相应的特殊角的三角函数值代入即可．【详解】原式【点睛】本题主要考查了不同特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．18. 在中，，，，的对边分别为，，，已知，求的正弦、余弦和正切值．【答案】，，【解析】【分析】根据即可求得和，的关系，即可解题．【详解】解：，或，∴，，．【点睛】本题考查了直角三角形中三角函数的运用，考查了直角三角形中三角函数的计算，勾股定理，本题中求得各边的关系是解题的关键．19. 如图，小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，点B恰好落在AD边上的点F处，若AB∶BC＝4∶5.求sin∠DCF的值．【答案】sin∠DCF＝.【解析】【分析】设AB＝4x，BC＝5x，根据矩形的性质可知FD＝3x，∠D＝90°，由折叠的性质可知CB＝CF＝5x，根据直角三角形勾股定理可以求出DF的值，从而完成本题的解答.【详解】∵AB∶BC＝4∶5，∴设AB＝4x，则BC＝5x.由题意，得FC＝BC＝5x，DC＝AB＝4x.由勾股定理，得DF＝3x.在Rt△CDF中，∠D＝90°，DF＝3x，FC＝5x，∴sin∠DCF＝【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握勾股定理是解题的关键.20. 超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到县城城南大道的距离为米的点处．这时，一辆出租车由西向东匀速行驶，测得此车从处行驶到处所用的时间为秒，且，．求、之间的路程；请判断此出租车是否超过了城南大道每小时千米的限制速度？【答案】（米）；此车超过了每小时千米的限制速度.【解析】【分析】（1）利用三角函数在两个直角三角形中分别计算出BO、AO的长，即可算出AB的长；（2）利用路程÷时间＝速度，计算出出租车速度，再把60千米/时化为米/秒，再进行比较即可．【详解】由题意知：米，，，在直角三角形中，∵，∴米，在直角三角形中，∵，∴米，∴（米）；∵从处行驶到处所用的时间为秒，∴速度为米/秒，∵千米/时米/秒，而，∴此车超过了每小时千米的限制速度.【点睛】此题是解直角三角形的应用，主要考查了锐角三角函数，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键． 21. 某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．     （1）试说明点B是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．【答案】（1）BC=18>16，在暗礁区域外；（2）C到AB的距离为，小于16，继续向东有危险【解析】【分析】（1）作CD⊥AB于D点，可先求出CD的长，再求出CB的长即可；（2）根据（1）中求出的CD值，进行比较即可．【详解】解：（1）作CD⊥AB于D点，设BC为x海里，在Rt△BCD中∠CBD＝60°，∴BD＝ x海里．CD＝x海里．在Rt△ACD中∠CAD＝30°tan∠CAD＝＝，∴＝．解得x＝18．∵18>16，∴点B是在暗礁区域外；（2）∵CD＝x＝9海里，∵9＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险．【点睛】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．22. 如图，从地面上的点看一山坡上的电线杆，测得电线杆顶端点的仰角是45°，向前走到达点，测得杆顶端点和杆底端点的仰角分别是60°和30°．（1）求证：；（2）求该电线杆的高度（结果精确到，备用数据：，）．【答案】（1）见解析；（2）9m．【解析】【分析】（1）证明即可得出；（2）设PE=xm，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．【详解】（1）证明：如图，延长交直线于点，∴，∴，由题意知，，∴，．∴．∴．（2）解：设，则．在中，，∴，．在中，由题意知，∴．∵，∴．解得．答：电线杆的高度约为．【点睛】本题考查了仰角的定义，以及三角函数，正确求得PE的长度是关键．23. 小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为，沿山坡向上走25m到达D处，测得古塔顶端M的仰角为．已知山坡坡度，即，请你帮助小明计算古塔的高度ME．（结果精确到0.1m，参考数据：）【答案】古塔的高度ME约为39.8m．【解析】【分析】作交EP的延长线于点C，作于点F，作于点H，先在Rt△DCP中利用已知条件利用勾股定理求出DC和PC的长，从而可得DH和EF的长，设，分别在Rt△MPE和Rt△MFD中根据60°和30°的三角函数用y的代数式表示出PE和DF，再根据PE、DF和DH的关系列出方程，解方程后即可求出结果.【详解】解：作交EP的延长线于点C，作于点F，作于点H，则，，，设，∵，∴，由勾股定理得，，即，解得，，则，，∴，，设，则，在中，，则，在中，，则，∵，∴，解得，，∴.答：古塔的高度ME约为39.8m．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和仰角、坡度等概念，熟练掌握锐角三角函数的定义、灵活运用数形结合和方程的思想是解题的关键.24. 如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD=∠BAD．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC=6，tan∠ABC=，求⊙O的半径和AD的长．【答案】（1）见解析；（2）3，．【解析】【分析】（1）作OE⊥AB，先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD，再由∠BCO=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC=∠OAD=∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE=OC，依据切线的判定可得；
（2）先求得∠EOA=∠ABC，在Rt△ABC中求得AC=8、AB=10，由切线长定理知BE=BC=6、AE=4、OE=3，继而得BO=3，再证△ABD∽△OBC，得，据此可得答案．【详解】（1）过点O作OE⊥AB于点E，∵AD⊥BO于点D，∴∠D=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，∵∠AOD=∠BAD，∴∠ABD=∠OAD，又∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC，∴∠BOC=∠D=90°，∵∠BOC=∠AOD，∴∠OBC=∠OAD=∠ABD，∴OE=OC，∵OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线. （2）∵∠ABC+∠BAC=90°∠EOA+∠BAC=90°，∴∠EOA=∠ABC，∵tan∠ABC=、BC=6，∴AC=BC•tan∠ABC=8，则AB=10，由（1）知BE=BC=6，∴AE=4，∵tan∠EOA=tan∠ABC=，∴OE=3，，∵∠ABD=∠OBC，∠D=∠ACB=90°，∴△ABD∽△OBC，∴，即∴．【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定、切线长定理、全等与相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用．