2023绵阳南山中学实验学校高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

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绵阳南山中学实验学校高2021级高二下期半期考试

数学试卷（文科）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，本试卷收回.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】该题考查了特称命题及否定形式知识，量词要改变，结论要否定．

【详解】根据特称命题的否定形式得，

“，”的否定是：，，故A，B，C错误.

故选：D．

2. 已知为虚数单位，复数， 则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由复数的乘法运算法则求解即可.

【详解】，

故选：B.

3. 已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是（    ）

A 若，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】对于ABC，利用不等式的性质即可判断；对于D，举反例判断.

【详解】对于A，利用不等式的对称性易知，若，则，故A正确；

对于B，利用不等式的传递性易知，若，，则，故B正确；

对于C，利用不等式的可加性易知，若，，则，故C正确；

对于D，当时，令，则，故D错误.

故选：D.

4. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.

【详解】求解二次不等式可得：或，

据此可知：是的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.

5. 设函数的导数为，且，则（    ）

A. 0 B. 4 C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】可先求函数的导数，令求出即可.

【详解】由，

令得，

解得.

故选：C.

6. 函数的单调增区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求定义域,再对函数求导,令导函数大于零,解出不等式解集即可.

【详解】解:由题知,定义域为,

所以,

令,解得,

所以的单调增区间为:.

故选:C

7. 函数的图象大致为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】因为 ,所以函数为奇函数，其图象关于原点成中心对称,排除答案A、B，当 时， ，所以 ，排除C，故选D.

8. 若函数在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出函数的导函数，由分析可得有解，利用即可求得实数的取值范围.

【详解】由，

可得，

恒成立，为开口向上的抛物线，

若函数在既有极大值也有极小值，

则有解，所以，

解得或.

故选：B

9. 函数在上是单调递增函数，则的最大值等于（    ）

A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，得到在[1，+∞）上，恒成立，从而解得a≤3，故a的最大值为3．

【详解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数

∴在[1，+∞）上恒成立．

即a≤3x2，∵x∈[1，+∞）时，3x2≥3恒成立，

∴a≤3，∴a的最大值是3

故选：B．

10. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设,则,根据条件可得在上单调递减，不等式可化为，根据的单调性可得答案.

【详解】设，则

由条件，所以，所以上单调递减.

由，得

不等式，即，也即是，解得

所以不等式的解集为

故选：D

【点睛】本题考查构造函数，利用单调性解不等式，属于中档题.

11. 设，则下列不等式成立的是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】构造，求导，可得在上是增函数，所以，代入，化简即可.

【详解】令，则，于是在上是增函数，

因为，所以，即，所以，

故选：A．

【点睛】本题考查函数的构造，利用导函数判断函数的单调性，及单调性的应用，综合性较强，难点在于根据答案所给形式，进行合理构造，属中档题.

12. 两条曲线与存在两个公共点，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题可得有两个不等正根，令，即有两个不等正根，然后利用导数研究函数的性质利用数形结合即得.

【详解】由题可知有两个不等正根，

即有两个不等正根，

令，则，

又，在上单调递增，

所以有两个不等正根，

设，则，

由可得单调递增，由可得单调递减，

且，

作出函数和的大致图象，

由图象可知当时，有两个正根，

即时，两条曲线与存在两个公共点.

故选：C.

【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；

（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；

（3）转化为两熟悉的函数图象的问题.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13. 曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】

【分析】求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.

【详解】由，得，

则曲线在点处的切线的斜率为，

则所求切线方程为，即.

【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.

14. 命题“，满足不等式”是假命题，则m的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据命题“，满足不等式”是假命题，转化为，不等式，恒成立，利用判别式法求解.

【详解】因为命题“，满足不等式”是假命题，

所以，不等式，恒成立，

则，

解得，   

所以m的取值范围为，

故答案为：

15. 若正实数，满足，则的最小值为___________.

【答案】16

【解析】

【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件.

【详解】由题设，，

当且仅当，即时等号成立.

所以的最小值为16.

故答案为：16

16. 已知函数，，若对任意，存在，满足，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】首先对进行求导，利用导数研究函数最值问题，根据题意对任意，存在，使，只要的最小值大于等于在指定区间上有解 .

【详解】由，得，

当时，，当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴

在上有解，在上有解，

函数在上单调增，，.

故答案为:

【点睛】不等恒成立与能成立的等价转换:

任意，存在，使

任意，任意，使

存在，存在，使

三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17. 设命题：实数满足，命题：实数满足．

（1）若，且为真，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，求得，结合与都是真命题，即可求解；

（2）根据题意，求得，结合是必要不充分条件，得到，即可求解.

【小问1详解】

解：当时，不等式，解得，

即命题，且

因为为真，所以与都是真命题，所以，

即实数的取值范围是．

【小问2详解】

解：由不等式，解得，可得，

又由，且是的必要不充分条件，可得

所以，即实数的取值范围是.

18. 已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）当时，求函数的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；

（2）求导，求出时极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.

【详解】（1），函数在处取得极值，所以有；

（2）由（1）可知：，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，

，，故函数的最小值为.

【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.

19. 如图一边长为10cm的正方形硬纸板，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体手工作品．所得作品的体积（单位：cm2）是关于截去的小正方形的边长（单位：cm）的函数．

（1）写出体积关于的函数表达式．

（2）截去的小正方形的边长为多少时，作品的体积最大？最大体积是多少？

【答案】（1），；（2）小正方形的边长为cm时，作品的体积最大，最大体积是cm3．

【解析】

【分析】

（1）根据长方体的体积公式可得答案；

（2）利用导数求单调区间及极值可得答案.

【详解】（1）由题意可得，.

（2），

令得，，

∴时，的最大值为，

截去的小正方形的边长为时，作品的体积最大，最大体积是．

【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：

第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；

第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．

20. 已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数有两个零点，求a的取值范围.

【答案】（1）单调增区间；减区间   

（2）

【解析】

【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间；

（2）由可得，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.

【小问1详解】

当时，，该函数的定义域为，

，

令可得，列表如下：

所以，函数在上单调递增，在上单调递减；

【小问2详解】

由，可得，则直线与函数的图象有两个交点，

函数的定义域为，，

由，可得，列表如下：

所以，函数的极大值为，

且当时，，

当时，和函数相比，一次函数呈爆炸性增长，所以，

且，，

又，

根据以上信息，作出其图象如下：

当时，直线与函数的图象有两个交点，

因此，实数的取值范围是.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

21. 已知函数．

（1）若函数在定义域上的最大值为，求实数的值；

（2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）先对函数求导，对实数分和两种情况讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，进而可求最大值，由此可求出实数的值；

（2）由已知整理可得，对任意的恒成立，结合，，可知，故只需对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最大值的取值范围，由此可求得满足条件的实数的最小整数值．

【详解】（1）由题意，函数的定义域为，，

当时，，函数在区间上单调递增，

此时，函数在定义域上无最大值；

当时，令，得，

由，得，由，得，

此时，函数的单调递增区间为，单调减区间为．

所以函数，

即为所求；

（2）由，因为对任意的恒成立，

即，当时，对任意的恒成立，

，，，

只需对任意恒成立即可．

构造函数，，

，，且单调递增，

，，一定存在唯一的，使得，

即，，

且当时，，即；当时，，即.

所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

，

因此，的最小整数值为.

【点睛】本题考查了利用导数求解函数的最值，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），直线的极坐标方程为．曲线与直线相交于、两点．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）点为直线上一点，求的值．

【答案】（1）:；：   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式化简求值即可；

（2）根据直线参数方程的几何意义求解即可.

【小问1详解】

解：因为曲线的方程为（为参数），

所以，消去参数，得曲线的普通方程为；

因为直线的极坐标方程为，

所以，用代换得直线的直角坐标方程为.

所以，曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.

【小问2详解】

解：由直线的直角坐标方程为，

所以，直线的斜率为，倾斜角为，

因为点为直线上一点，

所以，直线的标准参数方程为（为参数），

因为曲线与直线相交于、两点，

所以，将代入，整理得，

因为，所以方程有两个实数根，记为，

所以，，且均为负数，

所以，根据直线参数方程几何意义得.

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23. 已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若存在实数，使成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）按照，，进行讨论，得到每段上的解析，再得到答案；（2）由题意可将所求问题转化为，再求出的最小值为，从而得到关于的绝对值不等式，解出的范围，得到答案.

【详解】（1）当时，

当时，，∴；

当时，成立，∴；

当时，，∴．

综上，解集为．

（2）由题意，，

因为，当且仅当与异号时等号成立，

所以，∴．

【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式求最值，属于简单题.