第二章《一元二次方程》复习讲义-2022-2023学年九年级数学上册章节复习全程检测通关练（讲义＋试题）（湘教版）

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2022-2023学年湘教版九年级上册期末复习精选题考点讲义第二章  一元二次方程1．一元二次方程的定义及一般形式一元二次方程的定义：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫作一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．2．一元二次方程的解法(1)解一元二次方程的基本思路是降次(即转化为解两个一元一次方程)．一元二次方程的解法有：配方法，公式法，因式分解法等．(2)一元二次方程的求根公式是x＝(b2－4ac≥0)．其中b2－4ac叫作一元二次方程根的判别式．当b2－4ac>0时，它有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，它有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，它没有实数根．(3)若设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根为x1、x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝．3．一元二次方程的应用(1)解决应用题的一般步骤：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答．(2)平均增长率(降低率)问题的常用公式：a(1±x)n＝b.【类型一】一元二次方程的定义及一般形式例1.下列方程中，是一元二次方程的是________．(填入序号即可)①－y＝0；②2x2－x－3＝0；③＝3；④x2＝2＋3x；⑤x3－x＋4＝0；⑥t2＝2；⑦x2＋3x－＝0；⑧＝2.解析：③⑧不是整式方程，⑤是一元三次方程，⑦含有两个未知数，由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是，答案为①②④⑥.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看他是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．【跟踪训练】下列方程是关于x的一元二次方程的有①④⑤．(填序号)①4x2＝21；②2x2－3x＝y－1；③2x2＋－1＝0；④－－1＝0；⑤3x(x－1)＝5(x＋2)；⑥x(x－2)＝x2；⑦ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数)．例2.把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项，二次项系数，一次项，一次项系数及常数项．解：原方程化为一般形式是：5x2＋8x－2＝0(若写成－5x2－8x＋2＝0，则不符合人们的习惯)，其中二次项是5x2，二次项系数是5，一次项是8x，一次项系数是8，常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和，所以不能漏写单项式系数的负号)．点拨：在求一元二次方程的各项及系数时，①要先把原方程化成一般形式(含去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤)；②二次项系数、一次项系数不要漏掉各项的符号．【跟踪训练】把方程(1－3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.解 ：原方程化为一般形式是：5x2+8x－2=0(若写成－5x2－8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).【类型二】一元二次方程的解法例2. 解下列方程：  ；              ；；                  ．分析（1）运用直接开平方法解方程即可；（2）运用因式分解法解方程即可；（3）运用公式法解方程即可；解：，
，
解得：，.，
，
，
解得：，.，
整理得，，
∵   ，，，，
∴   ，
解得：，.，
整理，得：，
∵   ，，，，
∴   ，
解得：，．【跟踪训练1】用适当的方法解方程.  ；       .解：，
，
或，
解得，.，
两边开方，得，
即，，
解得，．【跟踪训练2】用适当方法解下列方程：  ；   ；     .解： ，
∴   ，
∴   或，
∴   ，.，
∴   ，
∴   或，
∴   ，.，
∴   ，
∴   ，
，，，，
【类型三】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值【例1】已知关于的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(        ) A. B. C.且      D.且【分析】根据该一元二次方程有实数根可得，然后解不等式，结合二次项的系数不能为,即可求出的取值范围.解：∵   一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴  
解得且.
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义等知识，属于基础题.【跟踪训练1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能为（      ） A. B. C. D.【答案】D【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程＝的根与＝有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当＝时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．【跟踪训练2】关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是(        ) A. B. C. D.【答案】B【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程＝的根与＝有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当＝时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．【例2】若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________. 【分析】由方程有实数根即可得出，代入数据即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．解：关于的一元二次方程有实数根，
，   解得：．    故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．【跟踪训练1】关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________. 【答案】【跟踪训练2】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，熟练掌握“当＝时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．【例3】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．  求的取值范围；若为正整数，且该方程的两个根都是整数，求的值并求出方程的两个整数根．【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则，从而可得到的取值范围.由为正整数，得到或，利用求根公式表示出方程的解为,
因为方程的解为整数，所以为完全平方数，则的值只能为，
将代入,可得.解：根据题意得，  解得.由为正整数，得到或，
利用求根公式表示出方程的解为.
∵   方程的解为整数， ∴   为完全平方数，      ∴   的值为，
将代入，
得，.【点评】本题主要考查跟的判别式和一元二次方程的解,属基础题.【跟踪训练1】已知关于的一元二次方程有两个实数根．  求的取值范围；在，，三个数中，取一个合适的值代入方程，并解这个方程．解：∵   一元二次方程有两个实数根
∴   ，且，
解得，.∵   且，
∴   取，
当时，原方程化为，
即，
解得，．【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【跟踪训练2】已知关于的一元二次方程．  求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；等腰三角形中，，若，为方程的两个实数根，求的值．证明：∵  
.
，
∵   无论为何实数，，
∴   ，
∴   无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根.解：∵   ，为方程的两个实数根，
由可得， ，
∵   为等腰三角形，
∴   或，
∴   方程必有一根为，
∴   ，    解得．【类型四】 判别式及根与系数关系的综合应用例1.为实数，关于的方程有两个实数根，  求的取值范围；若，试求的值．【解析】（）将已知方程化为一般式，根据可求解；（）由根与系数的关系得 ，把已知式子展开变形，在代入求值即可；【解答】解：将已知方程化为一般式
即是一元二次方程，
.
，
由，得
即的取值范围是由根与系数的关系，，
，
.
.
即
.
解得，
由，只取．【对应训练1】已知关于的方程的两根分别是，且满足，则的值是(        ) A. B. C. D.解：易知，，∴   ，
即，解得.
【点评】本题考查根与系数的关系，属于基础题.【对应训练2】若，是方程的两个根，则代数式的值为________. 【答案】【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．【对应训练3】关于的一元二次方程有实数根.  求的取值范围；若方程的两根，满足，求的值.解：∵   关于的一元二次方程有实数根，
∴   ，
解得：．
∴   的取值范围为：．由根与系数关系得：，，
所以．
解得（舍去）或．
故的值是．【类型五】一元二次方程的应用例1 商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．  若某天该商品每件降价元，当天可获利________元；设每件商品降价元，则商场日销售量增加________件，每件商品盈利________元（用含的代数式表示）；在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？【解析】根据“盈利单件利润销售数量”即可得出结论；根据“每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件”结合每件商品降价元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利元，即可得出降价后的每件盈利额；根据“盈利单件利润销售数量”即可列出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据尽快减少库存即可确定的值．解：当天盈利：（元）.
故答案为：.∵   每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，
∴   设每件商品降价元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元．
故答案为：；.根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
∵   商城要尽快减少库存，
∴   ．
答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键．例2. 矩形中，，，点从点沿边向点以的速度移动；同时，点从点沿边向点以的速度移动，
问几秒时的面积等于？   问几秒时线段的长为？【解析】设出未知数，构造面积，解出未知数即可；直接利用勾股定理，构造方程即可解出.解：设秒时的面积为，
由题意得：，，
∵   ，
∴   ，
∴   ，
整理得，
解得，，
∴   秒或秒时的面积为；在中，，
即，
化简得：，
解得，(舍去)，
∴   ，
故秒时，线段的长为.【点评】本题考查动点问题，涉及面积，勾股定理，以及一元二次方程问题，属于中档题.【对应训练1】如图一块长米宽米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．求配色条纹的宽度；如果地毯配色条纹部分每平方米造价元，其余部分每平方米造价元，求地毯的总造价．解：设条纹的宽度为米．依题意得
 ，
解得：（不符合，舍去），．
答：配色条纹宽度为米．条纹造价：（元）
其余部分造价：（元）
∴   总造价为：（元）
答：地毯的总造价是元．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．【变式训练2】 如图，在边长为正方形中，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿和边向点以的速度移动，如果点、分别从，同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了________秒钟后，的面积等于．
【答案】或【解析】解：设经过秒，的面积等于，
当秒时，点在上运动，在上运动，，，
所以，解得或，
又知，故符合题意，
当秒时，点在上运动，在上运动，
，解得．