第四章《锐角三角函数》（提高卷）-2022-2023学年九年级数学上册章节复习全程检测通关练（讲义＋试题）（湘教版）

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第四章   锐角三角函数（提高卷）一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 的值等于（      ） A. B. C. D.【答案】C【解析】根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．【解答】解：．
2. 在中，＝，＝，＝，则的值是（    ） A. B. C. D.【答案】D【解析】直接利用勾股定理得出的长，再利用锐角三角函数得出答案．【解答】如图所示：
∵   ＝，＝，＝，
∴   ，
∴   ．
3.在中，，则下列式子定成立的是         A. B. C. D.【答案】D【解析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答．【解答】解：∵   ， ∴   ，  ∴   ．
4.如图，有一斜坡的长＝米，坡角＝，则斜坡的铅垂高度为（    ）
A. B. C. D.【答案】C【解析】根据正弦的定义计算，得到答案．【解答】在中，，∴   ＝＝，5.、、的大小关系是（       ） A. B.
C. D.
【答案】C【解析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．【解答】＝．
∵   ，∴   ，∴   ．6. 计算，其结果是(       ) A. B. C. D.【答案】A【解析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式．
7. 在中，若角，满足＝，则的大小是（     ） A. B. C. D.【答案】D【解析】根据非负数的性质得出，＝，求出和的度数，继而可求得的度数．【解答】由题意得，，＝，则＝，＝，
则＝＝．8.在中，＝，若，则的值为（    ） A. B. C. D.【答案】D【解析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是，即可求解．【解答】∵   ＝，即＝，
∴   ，   ∴   或（舍去），   ∴   ．9.在中，若，则的度数是（     ） A. B. C. D.【答案】C【解析】根据非负数的性质可得出及的值，继而可得出和的度数，根据三角形的内角和定理可得出的度数．【解答】解：由题意，得 ，，
∴   ，，∴   ．
10. 如图，在直角坐标系中，是第一象限内的点，其坐标是，且与轴正半轴的夹角的正切值是，则的值为（        ）

A.             B.           C.              D.【答案】A【解析】过点作轴于点，则可得，，在中求出，继而可得的值．【解答】解：过点作轴于点，

则可得，，
在中，，
解得：，
则，故．二、 填空题 （本题共计6小题，每题4分，共计24分） 11、已知，则锐角的度数为________． 【答案】【解析】根据可得＝，再解即可．【解答】∵   ，∴   ＝，∴   ＝，12、已知是锐角，且，则________． 【答案】【解析】先根据，求出的度数，然后代入求解．【解答】解：∵   ，∴   ，∴   ．
13、如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是________．
【答案】【解析】如图，连接．证明是等腰直角三角形即可解决问题．【解答】如图，连接．

∵   ＝，＝，
∴   ＝，
∴   ＝，
∴   是等腰直角三角形，
∴   ＝，
∴   ， 14、已知，那么________． 【答案】【解析】根据特殊角锐角三角函数值即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，，
∴   ，，
∴   .
15、如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若是“好玩三角形”，且，则________． 【答案】或【解析】分两种情形分别画出图形求解即可．【解答】解：①如图中，

在中，，是的中线，
设，则，，
∴   ．
②如图中，

在中，，是的中线，
设，则，，
∴   ．
16、如图，甲，乙两艘船同时从港口出发，甲船沿北偏东的方向前进，乙船沿北偏东方向以每小时海里的速度前进，两船航行两小时分别到达，处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则甲船每小时行驶________海里．
【答案】【解析】设甲船每小时行驶海里，则＝海里，如图，作于点，在上取点，使＝，根据题意可得，＝，＝，可得＝，＝＝＝，根据＝，列出方程即可求出的值．【解答】设甲船每小时行驶海里，则＝海里，
如图，

作于点，在上取点，使＝，
根据题意可知：
＝，＝，
∴   ＝，
∴   ＝，
＝＝＝，
∴   ＝，
即＝，
解得＝（海里）．
答：甲船每小时行驶海里．
三、解答题（本题共计8小题，每题10分，共计86分） 17.计算：；（2）．  解：原式  .（2）原式．18、如图，在中，是边上的高，，，.
  求线段的长度；   求的值.解：∵   是上的高，
∴   .
，，
∴   ，
∴   根据勾股定理得.
，
∴    .由知，，，
∴   ，
 .19、如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好过点，求.
解：由折叠知，，，，
∴   .
在中，.
设，则，
∴   ，，
∴   在中，，
解得：，
∴   ，
∴   在中，，
∴   .20、如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：

＝    ；＝    ；＝    ．  （1）观察上述等式，猜想：在________中，________＝，都有________________＝________．（2）如图④，在中，＝，、、的对边分别是、、，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．（3）已知：＝，且，求．【解析】（1）由前面的结论，即可猜想出：在中，＝，都有＝；
（2）在中，＝．利用锐角三角函数的定义得出，，则，再根据勾股定理得到＝，从而证明＝；
（3）利用关系式＝，结合已知条件，进行求解．【解答】由图可知：＝＝；
＝＝；
＝＝．
观察上述等式，可猜想：＝．如图，在中，＝．
∵   ，，
∴   ，
∵   ＝，
∴   ＝，
∴   ＝．∵   ，＝，
∴   ．21、如图，小丽家门前有一条河，小丽想用所学的数学知识测量自己家门前小河的宽．他站在自家的阳台上（图中的点），面朝垂直于河岸的方向站立，并确定了两岸的两个可观测点、，测得点的俯角＝，点的俯角＝，小丽家在三楼，阳台与观测点、所在的地平面的距离为米，小明眼睛到阳台地面的距离约为米，请根据相关测量信息，求河宽（，结果保留位小数）．
【解析】由题意得：＝，＝＝＝（米），＝＝，＝，得出＝，是等腰直角三角形，得出＝＝，求出＝，即可得出结果．【解答】∵   ，
∴   ＝，
由题意得：＝＝＝（米），＝＝，＝＝，
∴   ＝，是等腰直角三角形，
∴   ＝＝，
∴   ＝＝（米）；22、如图，楼房的前方竖立着旗杆．小亮在处观察旗杆顶端的仰角为，在处观察旗杆顶端的俯角为，楼高为米．
  （1）求的度数；    （2）求旗杆的高度．【解析】（1）过点作于，则，．利用平行线的性质求得相关角的度数．
（2）本题涉及到两个直角三角形、，通过解这两个直角三角形求得、长度，进而可解即可求出答案．【解答】过点作于，则，
∵  
∴   ＝＝
同理＝＝
∴   ＝＝．在中，＝
∵  
∴  
同理＝
∵   ＝
∴   ，23、共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图，两地向地新建，两条笔直的污水收集管道，现测得地在地北偏东方向上，在地北偏西向上，的距离为，求新建管道的总长度．（结果精确到，，，，）
【解析】过点作于点，根据锐角三角函数即可求出新建管道的总长度．【解答】如图，过点作于点，

根据题意可知：
＝，＝，＝＝，
∴   ＝，
∴   ＝＝，
在中，
∵   ，
∴   ，
∴   ＝，
∴   ＝＝，
＝＝，
∴   ＝，
，
∴   ．24、年月日，国产航母山东舰正式交付中国海军，中国海军建设迈上了一个新台阶．如图，在一次训练中，笔直的海岸线上有、两个观测站，在的正东方向，＝海里，山东舰在点处，从测得山东舰在北偏西的方向，从测得山东舰在北偏东的方向．
  （1）求、两点之间的距离；（结果有根号的保留根号）（2）山东舰从点处沿射线的方向航行，航行分钟后到达点处，此时，从测得山东舰在北偏西的方向．在这次训练中，山东舰的航行速度是多少？【解析】（1）过点作于点．设＝，先解，用含的代数式表示，再解，用含的代数式表示，然后根据＝，列出关于的方程，解方程即可；
（2）过点作于点．先解中，＝，＝，得出＝，＝．再解，得出＝，然后根据速度＝路程时间即可求解．【解答】如图，过点作于点．设＝．
在中，＝，＝＝，
∴   ＝＝，．
在中，＝，＝＝，
∴   ．
∵   ＝，
∴   ＝，
解得＝，
∴   ＝．
∴   、两点之间的距离为海里；如图，过点作于点．
在中，＝，＝，
∴   ＝，＝．
在中，＝，＝，
∴   ＝，
∴   航行速度为＝．
答：在这次训练中，山东舰的航行速度是海里/时．