第三章 专题强化　动态平衡问题 学案（含答案）--2023-2024学年高中物理人教版（2019） 必修 第一册

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专题强化　动态平衡问题[学习目标]　1.掌握建构矢量平行四边形或三角形的方法，并能用图解法分析动态平衡问题(重点)。2.会用解析法、相似三角形法解决动态平衡问题(重难点)。一、用解析法解决动态平衡问题如图所示，A、B为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B改变绳的长度，使带有轻质光滑挂钩的物体C缓慢下降。当物体C缓慢下降过程中，两绳拉力之间的夹角如何变化？拉力大小如何变化？________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．动态平衡：平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小或方向________变化，所以叫动态平衡，这是共点力平衡问题中的一类题型。2．解析法(数学方法)步骤：(1)对物体受力分析。(2)列平衡方程写出各个力之间关系的解析式。(3)根据题目中已知力或夹角的变化，应用数学中的函数知识判断未知力的变化。例1　如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为FN。在运动过程中(　　)A．F增大，FN增大 B．F减小，FN减小C．F增大，FN减小 D．F减小，FN增大例2　如图所示，质量分别为m、M的甲、乙两个物体系在一根通过轻质光滑定滑轮的轻绳两端，甲放在水平地板上，乙被悬在空中，若将甲沿水平地板向左缓慢移动少许后，甲仍静止，则(　　)A．绳中张力变小B．甲对地面的压力变大C．绳子对滑轮的力变大D．甲所受的静摩擦力变小二、用图解法解决动态平衡问题如图所示，前面用解析法进行了解答，请通过作图的方式来直观的展示出两绳拉力大小随夹角的变化规律。________________________________________________________________________________________________________________________________________________用图解法处理三个共点力的动态平衡问题时，通常其中一个为恒力(如重力)，另一个力方向不变，第三个力大小、方向都变化，通过作图分析各力的大小变化情况。例3　(2022·大连市高一期末)如图所示，用网兜把足球挂在竖直墙面上，悬绳对网兜的拉力为FT，墙壁对足球的支持力为FN，若不计墙面摩擦，缓慢增加悬绳的长度，下列选项正确的是(　　)A．FT和FN都增大B．FT和FN都减小C．FT减小，FN增大D．FT增大，FN减小例4　用轻绳AO、BO悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上。悬点A固定不动，将悬点B从图所示位置沿支架逐渐移动到C点的过程中，绳OA和绳OB上的拉力大小的变化情况是(　　)A．绳OA上的拉力逐渐增大B．绳OA上的拉力先减小后增大C．绳OB上的拉力逐渐增大D．绳OB上的拉力先减小后增大物体受三个力而处于动态平衡时，首先对物体进行受力分析，并依据题图构建初始状态的力的矢量三角形。(1)先画出大小、方向都不变的恒力；(2)再画出方向不变、大小可变的力，并把表示此力的线段适当画长一些；(3)明确方向变化的力的方向如何变化，并依次画出2～3条矢量线段表示变化趋势。注意：当方向变化的力垂直已知方向的力时有最小值。三、用相似三角形法解决动态平衡问题在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力是变力，大小、方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。例5　(2023·扬州市高一期中)如图所示，表面光滑的半球形物体固定在水平面上，光滑小环D固定在半球形物体球心O的正上方，轻质弹簧一端用轻质细绳固定在A点，另一端用轻质细绳穿过小环D与放在半球形物体上的小球P相连，DA水平。现将细绳固定点A水平向右缓慢平移的过程中(小球P未到达半球最高点前)，下列说法正确的是(　　)A．弹簧变短B．弹簧变长C．小球对半球的压力变小D．小球对半球的压力变大利用相似三角形法解决动态平衡问题(1)在图示状态下对物体进行受力分析，并构建力的矢量三角形；(2)构建与力的矢量三角形对应的几何三角形；(3)确定三角形的对应边，利用三角形相似列出比例式；(4)结合几何三角形中边长的变化，得出力的变化情况。专题强化　动态平衡问题[学习目标]　1.掌握建构矢量平行四边形或三角形的方法，并能用图解法分析动态平衡问题(重点)。2.会用解析法、相似三角形法解决动态平衡问题(重难点)。一、用解析法解决动态平衡问题如图所示，A、B为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B改变绳的长度，使带有轻质光滑挂钩的物体C缓慢下降。当物体C缓慢下降过程中，两绳拉力之间的夹角如何变化？拉力大小如何变化？答案　设物体C重为G，两绳中拉力为F1、F2。物体C缓慢下降过程中，两绳夹角θ将变小，由平衡条件和几何关系可得2F1cos eq \f(θ,2)＝G解得F1＝F2＝eq \f(G,2cos \f(θ,2))G保持不变，两绳夹角θ变小，则cos eq \f(θ,2)变大，故绳上的拉力将变小。1．动态平衡：平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小或方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是共点力平衡问题中的一类题型。2．解析法(数学方法)步骤：(1)对物体受力分析。(2)列平衡方程写出各个力之间关系的解析式。(3)根据题目中已知力或夹角的变化，应用数学中的函数知识判断未知力的变化。例1　如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为FN。在运动过程中(　　)A．F增大，FN增大 B．F减小，FN减小C．F增大，FN减小 D．F减小，FN增大答案　C解析　对小球进行受力分析，它受到重力、支持力和拉力的作用，如图所示。根据共点力平衡条件有：FN＝Gcos θ，F＝Gsin θ，其中θ为支持力FN与竖直方向的夹角，当小球向上移动时，θ变大，故FN减小，F增大，故选C。例2　如图所示，质量分别为m、M的甲、乙两个物体系在一根通过轻质光滑定滑轮的轻绳两端，甲放在水平地板上，乙被悬在空中，若将甲沿水平地板向左缓慢移动少许后，甲仍静止，则(　　)A．绳中张力变小B．甲对地面的压力变大C．绳子对滑轮的力变大D．甲所受的静摩擦力变小答案　B解析　以物体乙为研究对象，得到绳子张力F＝mg。以物体甲为研究对象，受力分析如图所示。由平衡条件得地面对甲的支持力FN＝Mg－Fcos α，静摩擦力Ff＝Fsin α，甲沿水平地板向左缓慢移动少许后α增大，由数学知识得到FN变大，Ff变大，根据牛顿第三定律知甲对地面的压力也变大。由力的平行四边形定则知，绳子对滑轮的力变小，故选B。二、用图解法解决动态平衡问题如图所示，前面用解析法进行了解答，请通过作图的方式来直观的展示出两绳拉力大小随夹角的变化规律。答案　如图所示，作出矢量平行四边形，两拉力F1、F2的合力为F，由平衡条件可知F＝G，物体C下降的过程中，θ不断减小，则F1、F2不断变小。用图解法处理三个共点力的动态平衡问题时，通常其中一个为恒力(如重力)，另一个力方向不变，第三个力大小、方向都变化，通过作图分析各力的大小变化情况。例3　(2022·大连市高一期末)如图所示，用网兜把足球挂在竖直墙面上，悬绳对网兜的拉力为FT，墙壁对足球的支持力为FN，若不计墙面摩擦，缓慢增加悬绳的长度，下列选项正确的是(　　)A．FT和FN都增大B．FT和FN都减小C．FT减小，FN增大D．FT增大，FN减小答案　B解析　对足球受力分析，如图甲，足球受重力G、悬线的拉力FT和墙的支持力FN；画出力的矢量三角形，如图乙，缓慢增加悬绳长度过程中，重力不变，支持力的方向不变，悬线与墙壁间的夹角减小，由图乙可知，FT与FN均变小，故选B。例4　用轻绳AO、BO悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上。悬点A固定不动，将悬点B从图所示位置沿支架逐渐移动到C点的过程中，绳OA和绳OB上的拉力大小的变化情况是(　　)A．绳OA上的拉力逐渐增大B．绳OA上的拉力先减小后增大C．绳OB上的拉力逐渐增大D．绳OB上的拉力先减小后增大答案　D解析　将绳AO、绳BO的拉力合成，其合力与重物重力等大反向，逐渐改变绳OB拉力的方向，使FB与竖直方向的夹角变小，得到多个平行四边形，如图所示，由图可知FA逐渐减小，且方向不变，而FB先减小后增大，且方向不断改变，当FB与FA垂直时，FB最小，故D正确。物体受三个力而处于动态平衡时，首先对物体进行受力分析，并依据题图构建初始状态的力的矢量三角形。(1)先画出大小、方向都不变的恒力；(2)再画出方向不变、大小可变的力，并把表示此力的线段适当画长一些；(3)明确方向变化的力的方向如何变化，并依次画出2～3条矢量线段表示变化趋势。注意：当方向变化的力垂直已知方向的力时有最小值。三、用相似三角形法解决动态平衡问题在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力是变力，大小、方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。例5　(2023·扬州市高一期中)如图所示，表面光滑的半球形物体固定在水平面上，光滑小环D固定在半球形物体球心O的正上方，轻质弹簧一端用轻质细绳固定在A点，另一端用轻质细绳穿过小环D与放在半球形物体上的小球P相连，DA水平。现将细绳固定点A水平向右缓慢平移的过程中(小球P未到达半球最高点前)，下列说法正确的是(　　)A．弹簧变短B．弹簧变长C．小球对半球的压力变小D．小球对半球的压力变大答案　A解析　对小球P受力分析，受到绳子的拉力FT，半球的支持力FN，竖直向下的重力G，如图所示根据相似三角形法可知eq \f(FN,OP)＝eq \f(G,OD)＝eq \f(FT,DP)因为OP和OD都是恒定不变的，G也不变，DP减小，所以可知FN不变，FT减小，根据牛顿第三定律可知小球对半球的压力不变，绳子的拉力减小，即弹簧的弹力减小，所以弹簧变短，故选A。利用相似三角形法解决动态平衡问题(1)在图示状态下对物体进行受力分析，并构建力的矢量三角形；(2)构建与力的矢量三角形对应的几何三角形；(3)确定三角形的对应边，利用三角形相似列出比例式；(4)结合几何三角形中边长的变化，得出力的变化情况。