第2章 对称图形——圆（单元测试·培优卷）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

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第2章 对称图形——圆（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．2
2．矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
A．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内；
C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内．
3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
4．如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（    ）
  
A．138° B．121° C．118° D．112°
5．如图，是的外接圆，且，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接，则的度数是（    ）

A．60° B．62° C．72° D．73°
6．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（    ）

A． B．2 C． D．1
7．如图所示，已知三角形为直角三角形，，BC为切线，为切点，为直径，则和面积之比为（    ）

A． B． C． D．
8．如图，是的切线，点A为切点，交于点B，，点C在上，．则等于（ ）
  
A．20° B．25° C．30° D．50°
9．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO=BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（　　）

A．DC=DT B．AD=DT C．BD=BO D．2OC=5AC
10．如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）

A． B．
C． D．
二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是 ．
12．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径 ．

13．如图，在中，，⊙过点A、C，与交于点D，与相切于点C，若，则

14．如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．若，则 度．

15．如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．

16．如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为 ．

17．如图，是等腰直角三角形，，，点D是斜边AB上一点，且，将绕点D逆时针旋转90°得到，交AB于点E，其中点C的运动路径为弧，则弧的长度为 ．

18．如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．
  
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在中，，点D，E在上，．过A，D，E三点作，连接并延长，交于点F．
（1）求证；
（2）若，求的半径长．







20．（8分）如图，在上依次取点B，A，C使，连接，取的中点D，连接，在弦右侧取点E，使，且，连接．
（1）求证：．
（2）若，求的长．






21．（10分）如图，是的直径，点F，C是上两点，且，连接，，过点C作，交的延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长度；






22．（10分）如图，在中，，以为直径作交于点D，交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）连接，，当__________时，四边形为菱形；
（3）若，，则__________．







23．（10分）如图，在边长为6的等边中，是上的点，以为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点．
（1）如图1，点与点重合时，交于点．
①连接，的形状是________；
②求的长．
（2）如图2，当时，求证：与相切．




24．（12分）已知⊙O是的外接圆，为⊙O的直径，点N为的中点，连接并延长交⊙O于点E，连接交于点D．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点D作，交于点F，交⊙O于点G，连接若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，求的长．


























参考答案
1．C
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
解：连接OA，

∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
2．C
解：∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP
∴AP=2，
∴根据勾股定理得出，r=PD==7，
PC==9，
∵PB=6＜r，PC=9＞r
∴点B在圆P内、点C在圆P外,故选C．
【点拨】点与圆的位置关系的判定，难度系数中等，此题应根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断
3．B
解：过点A作BC边上的垂线交BC于点D，过点B作AC边上的垂线交AD于点O，则O为圆心．
设⊙O的半径为R，由等边三角形的性质知：∠OBC=30°，OB=R，
∴BD=cos∠OBC×OB=R，BC=2BD=R．
∵BC=12，
∴R==．
故选B．

考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．
4．C
【分析】由圆内接四边形的性质得，再由圆周定理可得．
解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
故选：C
【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键
5．C
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质可求∠ACB的度数，然后根据圆周定理求出∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，从而可求出的度数．
解：连接CD，

则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB=，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD是解题的关键．
6．A
【分析】连接、、、、，过点作于点，根据圆内接四边形的性质得，根据对称以及圆周角定理可得，由点是的中点可得，，根据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解．
解：连接、、、、，过点作于点，

，
，
点关于对称的点为，
，
，
点是的中点，
，
，
，，
，，
直径，
，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形以及直角三角形的性质，求出是解题的关键．
7．B
【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算即可．
解：如图取中点O，连接．

∵是圆O的直径．
∴．
∵与圆O相切．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
又∵．
∴．
∵，，．
∴．
∴．
∵点O是的中点．
∴．
∴．
∴
故答案是：1∶2．
故选：B．
【点拨】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．
8．B
【分析】连接OA，求出∠POA= 80°，根据等腰三角形性质求出∠OAB=∠OBA=50°，进而求出∠AOC=130°，得到∠C=25°，根据平行线性质即可求解．
解：如图，连接OA，
∵是的切线，
∴∠PAO=90°，
∵，
∴∠POA=90°-∠P=80°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∵，
∴∠BOC=∠ABO=50°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=25°，
∵，
∴∠BAC=∠C=25°．
  
故选：B
【点拨】本题考查了切线的性质，圆的半径都相等，平行线的性质等知识，熟知各知识点是解题关键．一般情况下，在解决与圆有关的问题时，根据圆的的半径都相等，可以得到等腰三角形，进而可以进行线段或角的转化．
9．D
【分析】根据切线的判定知DT是⊙O的切线，根据切线长定理可判断选项A正确；可证得△ADC是等腰直角三角形，可计算判断选项B正确；根据切线的性质得到CD=CT，根据全等三角形的性质得到∠DOC=∠TOC，根据三角形的外角的性质可判断选项C正确；
解：如图，连接OD．

∵OT是半径，OT⊥AB，
∴DT是⊙O的切线，
∵DC是⊙O的切线，
∴DC=DT，故选项A正确；
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵DC是切线，
∴CD⊥OC，
∴∠ACD=90°，
∴∠A=∠ADC=45°，
∴AC=CD=DT，
∴AD=CD=DT，故选项B正确；
∵OD=OD，OC=OT，DC=DT，
∴△DOC≌△DOT（SSS），
∴∠DOC=∠DOT，
∵OA=OB，OT⊥AB，∠AOB=90°，
∴∠AOT=∠BOT=45°，
∴∠DOT=∠DOC=22.5°，
∴∠BOD=∠ODB=67.5°，
∴BO=BD，故选项C正确；
∵OA=OB，∠AOB=90°，OT⊥AB，
设⊙O的半径为2，
∴OT=OC=AT=BT=2，
∴OA=OB=2，
∴，
2OC5AC故选项D错误；
故选：D．
【点拨】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形、灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
10．B
【分析】将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明，从而可得到弧AC的度数，由弧AC的度数可求得∠B的度数．
解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．

∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，
∴．
同理：．
又∵F是劣弧BD的中点，
∴．
∴．
∴弧AC的度数=180°÷4=45°．
∴∠B=×45°=22.5°．
∴所在的范围是；
故选：B．
【点拨】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．
11．或
【分析】分点在外和内两种情况分析；设的半径为，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．
解：设的半径为
当点在外时，根据题意得：
∴
当点在内时，根据题意得：
∴
故答案为：或．
【点拨】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．
12．
【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案．
解：由题意，设半径为r，
则，
∵，
∴，
∵是的直径，弦于点E，
∴点E是CD的中点，
∵，
∴，
在直角△OCE中，由勾股定理得
，
即，
解得：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题．
13．/64度
【分析】根据同弧对应的圆心角是圆周角的2倍计算出，再根据，内错角得到答案．
解：如下图所示，连接OC

从图中可以看出，是圆弧对应的圆周角，是圆弧对应的圆心角
得．
∵BC是圆O的切线
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理、平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆和平行线的相关知识．
14．85
【分析】连结OO′，先证△BOO′为等边三角形，求出∠AOB=∠OBO′=60°，由与的边相切，可求∠CBO==30°，利用三角形内角和公式即可求解．
解：连结OO′，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，
∴BO′=BO=OO′，
∴△BOO′为等边三角形，
∴∠OBO′=60°，
∵与的边相切，
∴∠OBA=∠O′BA′=90°，
∴∠CBO=90°-∠OBO′=90°-60°=30°，
∵∠A′=25°
∴∠A′O′B=90°-∠A′=90°-25°=65°
∴∠AOB=∠A′O′B=65°，
∴∠OCB=180°-∠COB-∠OBC=180°-65°-30°=85°．
故答案为85．

【点拨】本题考查图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质，掌握图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质是解题关键．
15．3
【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．
解：连接QC和PC，
∵PQ和圆C相切，
∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，
∴当CP最小时，PQ最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，
∵AB=BC=AC=4，
∴AP=BP=2，
∴CP==，
∵圆C的半径CQ=，
∴PQ==3，
故答案为：3．

【点拨】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．
16．
【分析】连接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，根据切线的性质得到∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE=，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
解：连接AC，OD，
∵四边形BCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，
∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，
∴∠PAO=∠PDO=90°，
∴四边形AODP是矩形，
∵OA=OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，
∴∠E=∠ACB=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC=2AO=2，DE=CD=2，
∴AP=PD=AO=，
∴PE=3，
∴图中阴影部分的面积
故答案为：5-π．

【点拨】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．/
【分析】如图所示，过点C作于F，连接，先利用勾股定理得到，则，再求出，即可求出，，再根据弧长公式求解即可．
解：如图所示，过点C作于F，连接，
∵，，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得，
∴弧的长度为，
故答案为：．

【点拨】本题主要考查了求弧长，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形求出的长是解题的关键．
18．
【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解；
（2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值．
解：由题意可得的面积等于矩形的一半，
∴的面积为，
在中，，
∴当最大时，即最大，
由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：
  
由题意可得：，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：，．
【点拨】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键．
19．（1）见分析；（2）5
【分析】（1）如图所示，连接，先证明．得到，再由得到垂直平分，即可证明；
（2）利用三线合一定理得到 ．则．求出．设半径为r，则．在中，利用勾股定理建立方程求解即可．
解：（1）证明：如图所示，连接，
∵．
∴．
又∵．
∴．
∴，
又∵．
∴垂直平分，
∴．

（2）解：∵．
∴ ．
∵．
∴．
∵．
∴．
设半径为r，则．
在中，，
∴，
解得．
∴的半径长为5．
【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
20．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据即可证明；
（2）作于点H，求出，再根据得,从而可得结论．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）作于点H，
  
∵，
∴.
∵，
∴，，
在中，
∵，
∴．
【点拨】本题主要考查了圆的有关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
21．（1）见分析；（2）4
【分析】（1）连接，先得到，又，有，从而证得，，又，有，从而证得结论．
（2）根据，得出，从而得到，从而得到，在中，设，则，根据构造方程求解即可．
解：（1）证明：连接，如图，
  
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴由（1）得，，
在中，，
在中，设，则，
∴，即：，
解得，
∴的长为.
【点拨】本题考查了切线的判定定理，解直角三角形，作出辅助线，找到相等角的关系，并求出特殊角是求解此题的关键．
22．（1）见分析；（2）；（3）
【分析】（1）设，在圆内接四边形中，，则，得出，即可得证；
（2）根据四边形为菱形，得出，进而得出为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解；
（3）连接在，中，勾股定理分别求得，在在中，根据斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
解：（1）证明：，
设．
在圆内接四边形中，．
．
．
；
（2）若四边形为菱形，则．
．
同理．
．
．
．
为等边三角形．
故答案为：．
（3）如图，连接，，
．
在中，．
在中，．
如图，连接，则．
．
在中，．
  
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．（1）①等边三角形；②的长为；（2）见分析
【分析】（1）①连接，证明、、都是等边三角形，据此即可证明是等边三角形；
②利用弧长公式即可求解；
（2）过点O作于点H，在中，利用直角三角形的性质以及勾股定理求得，据此即可得到结论．
（1）解：①连接，
  
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
同理是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
②由①知，
∵点与点重合，
∴的半径为，
∴的长；
（2）证明：如图，过点O作于点H，
  
∵是等边三角形，
∴，
在中，，，，
∴，，，
∵，即为的半径，
∴与相切．
【点拨】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，弧长公式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．（1）见分析；（2）见分析；（3）
【分析】（1）利用“在同圆中，等弧所对的圆周角相等”即可求证；
（2）先利用全等三角形证，再证，即可求证；
（3）根据全等三角形的判定与性质，结合勾股定理即可求解．
解：（1）证明：如图1，过点O作，交⊙O于点P，连接交于Q，


∴，
∵点N为的中点，

∴
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴
∴，
中，，

（2）证明：在和中：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图3，过点G作于K，延长交于点H，

由（2）知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
由（2）知：，
在和中：，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，


∴
由勾股定理得：，
∴
解得： （舍）

【点拨】本题考查了圆的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．利用相关条件进行严密的几何推理是解题关键．