初中数学苏科版九年级上册2.7 弧长及扇形的面积精品学案及答案

专题2.33 弧长及扇形的面积（知识梳理与考点分类讲解）

【要点一】弧长公式
　　半径为R的圆中
　　360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)
要点提醒：
　　(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
【要点二】、扇形面积公式
1.扇形的定义
　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
　　半径为R的圆中
　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
　　n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点提醒：
　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；
　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
 

【考点一】求弧长

【例1】如图是某款“不倒翁”和它的主视图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，，则的长是      ．

【答案】

【分析】根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点，．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．

解：作，，和相交于点，如图，

∵，分别与所在圆相切于点，．

∴，

∵，

∴，

∴优弧对应的圆心角为，

∴优弧的长是：，

故答案为：．

【点拨】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键．

【举一返三】

【变式1】如图，点A、B、C是半径为6的上的三点．如果，那么的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可；

解：如图，连接，

∵ ，

∴，

∵，

∴的长是：，

故选：C．

【点拨】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题的关键是掌握弧长公式．

【变式2】如图，四边形内接于，且的半径为r，．

（1）若，求的长．

（2）若，求证：．

【答案】（1）；（2）见分析

【分析】（1）连接，，根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论；

（2）根据，得，根据，得，所以，，可得为等边三角形，即可得出结论．

（1）解：连接，，，

四边形内接于，，

，

，

的长为；

（2）证明：，

，

，

，

，

，

，

为等边三角形，

．

【点拨】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算、圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

【考点二】求扇形的面积

【例2】如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为         （结果保留）．

【答案】

【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可．

解：正五边形的内角和，

，

，

故答案为：．

【点拨】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键．

【举一返三】

【变式1】如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】可求，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解．

解：，，，

，，

，

是等边三角形，

，

，

故选：B．

【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，扇形的面积公式，掌握性质及公式是解题的关键．

【变式2】如图，已知点D为等腰的斜边的中点，连接，以点B为圆心，为半径画弧，分别交、于点E、F，若，请求出图中阴影部分的面积．（结果保留）

【答案】

【分析】先求解，，可得，证明，再求解扇形面积，从而利用面积之差可得答案．

解：在等腰中，，

，，

．

点D为的中点，

，

，

∴．

【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，扇形面积的计算，熟练的利用割补法求解阴影部分的面积是解本题的关键．

【考点三】求扇形的圆心角和半径

【例3】已知扇形半径是3cm，弧长为，则扇形的圆心角为           度．

【答案】90

【分析】已知扇形半径是3cm，弧长为，直接利用弧长公式即可求出n的值．

解：，

解得：，

故答案为：90．

【点拨】本题考查了弧长计算公式的应用，掌握弧长公式是解题的关键．

【举一返三】

【变式1】一个扇形的面积为．弧长为．那么这个扇形的半径是（    ）

A．20 B．24 C．26 D．32

【答案】B

【分析】设扇形的半径为r，根据扇形面积等于（为扇形弧长）进行求解即可

解：设扇形的半径为r，

由题意得，，

解得，

故选B．

【点拨】本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，熟知扇形面积等于扇形弧长和半径乘积的一半是解题的关键．

【变式2】如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2．

（1）求α；

（2）点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）设，由于这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到然后解方程即可；

（2）过C点作CD⊥BO于D，如图，先利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC进行计算．

（1）解：设∠AOB＝n°，

根据题意得，

解得n＝120，

α为120°；

（2）过C点作CD⊥BO于D，如图，

∵∠BOC＝120°，

∴∠COD＝60°，

∴ODOC＝2，

∴CDOD，

∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC

．

【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，掌握圆锥的展开图是解题的关键．

【考点四】求弓形的面积

【例4】如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为      ．

【答案】

【分析】连接，，然后根据已知条件求出，，从而得到，最后结合扇形的面积计算公式求解即可．

解：如图，连接，．

∵为直径，

∴．

∵，

∴，

∴，，，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∴阴影部分的面积=

．

故答案为：．

【点拨】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键．

【举一返三】

【变式1】如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】如图，连接，过点O作于点F，求出，由圆周角定理得，得，由三角形外角的性质得，由垂径定理得，根据勾股定理得，根据求解即可．

解：如图，连接，过点O作于点F，

则，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

又，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴∠，

∴∠，

∴．

故选：B．

【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键．

【变式2】如图，是等腰直角三角形，，以为直径作交斜边于点D，点M是中点，过点M作直线于点E，交于点F．

（1）证明：是的切线；

（2）若，求图中阴影部分面积．

【答案】（1）见分析；（2）

【分析】（1）先根据圆周角定理和等腰三角形的性质证得，进而证明，得到，利用切线的判定定理即可证得结论；

（2）连接，过点O作，根据等腰三角形的性质证得，则，再证明四边形是矩形得到，再根据等腰直角三角形的性质求得，由求解即可．

解：（1）证明：连接、，

∵点M是弧中点，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，又是的半径，

∴是的切线；

（2）解：连接，过点O作，

∵是等腰直角三角形，∴，

∵，

∴，∴，

∵，，

∴，

∴四边形是矩形，

∴，

∵，

∴在中，，

∵，∴，

∵

∴．

【点拨】本题考查切线的判定、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、矩形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

【考点五】求旋转扫过的图形面积

【例5】如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，得到扇形，则扫过的区域（即图中阴影部分）的面积为    ．

【答案】

【分析】结合已知条件及旋转性质，根据面积的和差可得，然后利用扇形面积公式计算即可．

解：∵，，

∴为等边三角形，

∴，

由旋转性质可得，，，

则，

，

，

，

故答案为：．

【点拨】此题考查了扇形的面积及旋转性质，结合已知条件将阴影部分面积转化为扇形的面积是解题的关键．

【举一返三】

【变式1】如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为2，，，将绕到心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留）（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，，从而可得，，然后根据阴影部分的面积等于即可得．

解：∵直径长为2，

，

∵，，

，

，

∵，是绕圆心逆时针旋转得到的，

∴，，，

∴，，

，，

则阴影部分的面积为，

故选：C．

【点拨】本题考查了旋转的性质、扇形的面积、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．

【变式2】如图所示，扇形从图①无滑动绕着点A旋转到图②（）的位置，再由图②紧贴直线运动到图③，已知，．

（1）求由图①到图②点O所运动的路径长；（结果保留）

（2）点O所走过的路径与直线l围成的面积是多少？（结果保留π）

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）点的运动路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧，根据弧长公式即可求解；

（2）如图，找出点的完整运动路径是由三段组成，分别求出面积即可求解．

（1）解：由图①到图②：

．

（2）解：如图

，

，

，

．

答：点O所走过的路径与直线l围成的面积是．

【点拨】本题考查旋转产生的点的路径问题，重点考查了弧长公式，掌握弧长公式，并能找出点的运动路径是解题的关键．

【考点六】求不规则图形的面积

【例6】如图，在矩形中，，点O为的中点，以O为圆心，长为半径画弧，交于点E，若点E为的中点，则图中阴影部分的面积为          ．

【答案】

【分析】连接交于点F，利用矩形的性质证明，可得，进而可得，即可求解．

解：如图，连接交于点F，

∵四边形是矩形，

∴，

∵点O为的中点，点E为的中点，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【点拨】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，证明是解题关键．

【举一返三】

【变式1】如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据即可求解．

解：∵在中，，，，

∴，，则，

∴

．

故选：A．

【点拨】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．

【变式2】如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C．

（1）求证：；

（2）若的直径为4，，弦平分半径，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）见分析；（2）

【分析】（1）先证明，，可得，证明，结合圆周角定理得：，从而可得结论；

（2）连接，先证明，可得，求解，再利用扇形面积进行计算即可．

解：（1）证明：连接，

与相切，

，

，

，

，

∴

，

，

由圆周角定理得：，

．

（2）连接，

，

，

弦平分半径，

，

，

，

，

，

，

．

【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，切线的性质，求解扇形的面积，掌握以上基础知识是解本题的关键．

【考点七】求点在弧形上运动的路径长

【例7】如图，点 的坐标为 ，把点 绕坐标原点 逆时针旋转 后得到点 ．则点 运动的路径长为    ，点 的坐标是    ．

【答案】         

【分析】（1）如图，过作轴于，根据点的坐标求得的长度，然后根据弧长公式解答；过点作轴的垂线，垂足是，构造全等三角形，由全等三角形的性质求得答案．

解：如图，过作轴于，

，

，

点经过的弧长为；

把点绕坐标原点逆时针旋转后得到点，过点作轴的垂线，垂足是，

，，

，，，

，，

则点的坐标是．

故答案是：．

【点拨】本题考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握坐标与图形性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

【举一返三】

【变式1】如图，将边长为的正方形绕着其中心点沿所在直线顺时针转动，转动四周后刚好在以为中心的正方形处，在此过程中，中心点移动的路径长为（    ）

A． B． C． D．无法计算

【答案】C

【分析】根据正方形的性质可得，，又边长为的正方形沿直线按顺时针方向翻滚当正方形翻滚一周时，需要翻滚四次，而每次正方形的中心所经过的路径长为弧以为圆心，为半径，然后根据弧长公式计算出弧的长，即可求解．

解：如图所示，

四边形为正方形，且边长为，

，，

边长为的正方形沿直线按顺时针方向翻滚当正方形翻滚一周时，需要翻滚四次，

而每次正方形的中心所经过的路径长为弧以为圆心，为半径，

弧的长，

当正方形翻滚一周时，正方形的中心所经过的路径长．

转动四周后正方形的中心所经过的路径长为

故选：C．

【点拨】本题考查了求弧长，正方形的性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键．

【变式2】如图所示，扇形从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，，．

（1）求点运动的路径长；

（2）求点走过路径与射线围成的面积．

【答案】（1）点运动的路径长为；（2）点走过路径与射线围成的面积为．

【分析】（1）一共转动了三次，分析每一次转动的圆心角和半径，然后利用弧长公式即可求解；

（2）同（1）的方法，利用扇形面积公式的长方形面积公式即可求解．

（1）解：如图，

运动路径第一段弧长，

第二段路径为线段长为，

第三段路径为，

即O在射线上运动路径为；

（2）解：围成面积，

，，，

．

【点拨】本题考查弧长公式、扇形面积公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．