初中数学苏科版九年级上册2.8 圆锥的侧面积优秀导学案

专题2.36 圆锥的侧面积（知识梳理与考点分类讲解）

【要点一】母线的概念
　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

【要点二】圆锥的侧面积
　　圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
　　

【要点三】圆锥的全面积
.
要点提醒：
　　扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
 

【考点一】求圆锥的侧面积

【例1】如图，圆锥的顶点为P，AB是底面的一条直径，，底面半径为2，求这个圆锥的侧面积．（结果保留根号与）

【答案】

【分析】先证是等腰直角三角形，求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可．

解：由题意知，，

，

，

，

圆锥的母线长，

这个圆锥的侧面积．

【点拨】本题主要考查计算圆锥的侧面积，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．，其中C为圆锥的底面周长，l为圆锥的母线长．

【举一返三】

【变式1】若圆锥的高为，母线长为，则圆锥的全面积为（    ）

A．      B．      C．      D．

【答案】C

【分析】求出底面圆的半径，然后根据圆锥的全面积为底面积与侧面积的和列式计算即可．

解：∵圆锥的高为，母线长为，

∴底面圆的半径为，

∴底面圆的面积为，圆锥的侧面积为，

∴圆锥的全面积为，

故选：C．

【点拨】此题主要考查圆锥的计算，解题关键在于掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

【变式2】若圆雉的侧面积为，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是      ．

【答案】4

【分析】根据圆锥的侧面积，列出方程求解即可．

解：∵圆锥的侧面积为，底面半径为3，

．

解得：，

故答案为：4．

【点拨】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．

【考点二】求圆锥的高和底面半径

【例2】如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为9cm．

（1）求扇形AOB的弧长和扇形面积；

（2）若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH．

【答案】（1），；（2）

【分析】（1）根据弧长公式和扇形面积公式求解即可；

（2）先求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求解即可．

（1）解：由题意得扇形AOB的弧长，；

（2）解：如图所示，AH为底面圆的半径，OA为母线长，

由题意可得，，

∴．

【点拨】本题主要考查了求扇形面积，求弧长，求圆锥的高，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握弧长公式和扇形面积公式．

【举一返三】

【变式1】用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ）

A．6      B．5      C．4      D．3

【答案】C

【分析】先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可．

解：扇形的弧长：，

则圆锥的底面直径：．

故选：C．

【点拨】本题考查圆锥侧面积公式，熟记公式的灵活应用是解题的关键．

【变式2】已知圆锥的底面圆的半径为，侧面积为，则这个圆锥的高为    ．

【答案】

【分析】由题意易得圆锥的母线长为，然后根据勾股定理可进行求解．

解：由题意得：圆锥的母线长为，

∴圆锥的高为；

故答案为．

【点拨】本题主要考查圆锥的侧面积及高的求法，熟练掌握圆锥的侧面积及高的求法是解题的关键．

【考点三】求圆锥侧面展开图的圆心角

【例3】图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径，母线长．

（1）求这种加工材料的顶角的大小．

（2）求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）设，根据圆锥侧面展开图的扇形面积公式，即可求解；

（2）分别求得和扇形的面积，进而即可求解．

（1）解：设，依题意，

∴，

∴；

（2）解：设加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积为，

∵，是等腰直角三角形，

∴，

∴,

∴

【点拨】本题考查了圆锥侧面积公式，扇形面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键．

【举一返三】

【变式1】圆锥的底面半径为，母线长，则它的侧面展开图的圆心角度数是（    ）

A．      B．      C．      D．

【答案】A

【分析】根据圆锥的底面半径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用已知的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可.

解：圆锥的底面半径为

圆锥的侧面展开扇形的弧长为

母线长

圆锥的侧面展开扇形的面积为

解得，

侧面展开图的圆心角度数为

故答案选A．

【点拨】本题考查圆锥的底面半径，侧面积，明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的侧面关系解题的关键．

【变式2】若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是       ．

【答案】

【分析】设圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程求出即可．

解：设圆锥的母线长为，

根据题意得，

解得，

即圆锥的母线长为，

故答案为：．

【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

【考点四】与圆锥有关的实际问题

【例4】如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是，母线长是，制作100个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？

【答案】100个这样的烟囱帽至少需要20πm2的铁皮．

【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．

解：圆锥形的烟囱帽的侧面积=•80π•50=2000π（cm2），

100×2000π=200000π（cm2）=20π（m2）

答：100个这样的烟囱帽至少需要20πm2的铁皮．

【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

【举一返三】

【变式1】如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（    ）

A．      B．      C．      D．

【答案】C

【分析】根据底面周长等于的长，即可求解．

解：依题意，的长，

故选：C．

【点拨】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键．

【变式2】如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为．

（1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深         ；

（2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为         ．

【答案】          /180度

【分析】（1）勾股定理求出圆锥的高即可；

（1）利用圆锥底面周长等于扇形的弧长，列式计算即可．

解：（1）由题意，得，圆锥的底面半径为，

∴圆锥的高为；

即：水深cm；

故答案为：；

（2）由题意，得：，

∴，

∴展开滤纸的圆心角为；

故答案为：．

【点拨】本题考查求圆锥的高，以及求扇形的圆心角．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，是解题的关键．

【考点五】求圆锥侧面的最短路径

【例5】如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为．

（1）求它的侧面展开图的圆心角；

（2）若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可；

（2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．

（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为，

根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得：

，

又∵．

，

解得：．

∴它的侧面展开图的圆心角是90°；

（2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下：

根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径，

，B为的中点，

由（1）知

∴

∴它所走的最短路线长是．

【点拨】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．

【举一返三】

【变式1】如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ）

A．3      B．      C．      D．4

【答案】B

【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．

解：圆锥的底面周长是，则，

，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．

则在圆锥侧面展开图中，，度．

在圆锥侧面展开图中．

故小猫经过的最短距离是．故选：．

【点拨】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．

【变式2】如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为             ．

【答案】/

【分析】先画出圆锥侧面展开图（见分析），再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可得．

解：画出圆锥侧面展开图如下：

如图，连接、，

设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，

因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长，

所以，

解得，

则，

又，

是等边三角形，

点为的中点，

，，

在中，，

由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为，

故答案为：．

【点拨】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键．