初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数精品导学案

这是一份初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数精品导学案，共23页。学案主要包含了知识点1，知识点2，举一反三等内容，欢迎下载使用。

专题22.29 实际问题与二次函数（知识梳理与考点分类讲解）

【知识点1】列二次函数解应用题
　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1）审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）．
(2）设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3）列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4）按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5）检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6）写出答案．
常见的问题：求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
【知识点2】建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：（1）恰当地建立直角坐标系；（2）将已知条件转化为点的坐标；（3）合理地设出所求函数关系式；（4）代入已知条件或点的坐标，求出关系式；（5）利用关系式求解问题．
（1）利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
（2）对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
　　①首先必须了解二次函数的基本性质；
　②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
　　③借助二次函数的性质来解决实际问题.

【考点一】实际问题与二次函数➼➼➻图形问题
【例1】园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米．

（1）长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
（2）若苗圃的面积为，求x的值；
（3）当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？
【答案】（1）（36-3x）；（2）8；（3）当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米
【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得BC的长为（36-3x）米；（2）根据题意得，，即可解得x的值；（3）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案．
解：（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，
BC的长为32-3x+4=（36-3x）米，
故答案为：（36-3x）；
（2）根据题意得，，
解得，x=4或x=8，
∵当x=4时，36-3x=24>14，
∴x=4舍去，
∴x的值为8；
（3）设苗圃的面积为w，
，
∵4<36-3x14，
∴，
∵-3<0，图象开口向下，
∴当时，w取得最大值，w最大为；
答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．
【举一反三】
【变式1】如图，四边形中，，若，则四边形的面积最大值为（ ）

A．6 B．18 C．36 D．144
【答案】B
【分析】设，，根据题意表示四边形的面积，根据二次根式的性质作答即可．
解：如图，设AC、BD交于点M

设


四边形的面积即四边形的面积
当时，四边形的面积最大，最大为18．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质与最值问题、四边形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为 ．

【答案】（2，0）
【分析】根据抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和CD的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得AO的长，从而可以求得OB的长，进而写出点B的坐标．
解：∵抛物线y＝x2﹣5x+4，
∴该抛物线的对称轴是直线x，点D的坐标为（0，4），
∴OD＝4，
∵抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，
∵四边形ABCD为菱形，AB在x轴上，
∴CD∥AB，即CD∥x轴，
∴CD2＝5，
∴AD＝5，
∵∠AOD＝90°，OD＝4，AD＝5，
∴AO3，
∵AB＝5，
∴OB＝5﹣3＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
【考点二】实际问题与二次函数➼➼➻销售问题
【例2】某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）；；（2）40元或20元；；（3）当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则
，
解得：，，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
，
整理得：；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
【举一反三】
【变式1】某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（    ）
A．元，元 B．元，元
C．元，元 D．元，元
【答案】B
【分析】设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
解：设每月总利润为，
依题意得：



，此图象开口向下，又，
当时，有最大值，最大值为元．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
【变式2】某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元．
【答案】1264
【分析】根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．
解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．
据题意：，
，
∴，
∵，
∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元，
故答案为：1264．
【点拨】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．
【考点三】实际问题与二次函数➼➼➻拱桥问题
【例3】成绵苍巴高速正在修建中，某单向通行隧道设计图由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示，隧洞限高4米，隧洞道路正中间标有一条实线．

（1）水平安置一根限高杆，两端固定在洞门上，求限高杆的最小长度．
（2）某卡车若装载一集装箱箱宽，车与车箱共高，此车能否不跨越标线通过隧道（标线宽度不计）？说明理由．
【答案】（1）米；（2）不能不跨越标线通过隧道
【分析】（1）根据题意建立直角坐标系，得出A（-4,-4），B（4,-4），设抛物线的解析式为，然后将点代入得出，再由题意得当y=-2时满足条件，求解即可；
（2）根据题意结合（1）中函数解析式求当x=3时，y的值，然后结合图形即可得出结果
（1）解：如图所示建立直角坐标系，根据题意得：

AE=BE=DF=CF=4，AD=EF=BC=2，OF=6，
∴OE=6-2=4，
∴A（-4,-4），B（4,-4），
设抛物线的解析式为，
将点A代入得：，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为，
∵隧洞限高4米，隧洞道路正中间标有一条实线，
∴当y=-2时满足条件，
即，
解得：，
∴限高杆的最小长度为米；
（2）∵集装箱箱宽3m，且不跨越标线通过隧道，
∴当x=3时，
，

∴不能不跨越标线通过隧道．
【点拨】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，建立恰当的直角坐标系确定函数解析式是解题关键．
【举一反三】
【变式1】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（　　）m．

A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面宽度为3﹣（﹣3）＝6（m）．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
【变式2】如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是 ．

【答案】
【分析】设出抛物线方程y=ax2（a≠0）代入坐标（-2，-3）求得a．
解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（-2，-3）点，
∴-3=4a，
a=-，
∴抛物线解析式为y=-x2．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求解二次函数解析式．
【考点四】实际问题与二次函数➼➼➻掷球问题
【例4】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．

【答案】（1）y= （x－6）2+2.6；（2）球能越过网；球会过界；（3）h≥
试题分析：（1）利用h=2.6将点（0，2），代入解析式求出即可；
（2）利用当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时，，分别得出即可；
（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得出答案．
解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，
∴抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2），
∴2=a（0﹣6）2+2.6，
解得：a=﹣，
故y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6，
（2）当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y=0时，，
解得：x1=6+2＞18，x2=6﹣2（舍去）
故会出界；
（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
，
解得：，
此时二次函数解析式为：y=﹣（x﹣6）2+，
此时球若不出边界h≥，
当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：

解得：，
此时球要过网h≥
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．
考点：二次函数的应用
【举一反三】
【变式1】一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB=4m（DE与AB的水平距离）处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为（    ）

A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
【答案】C
【分析】当时，代入解析式，解得，求得，当时，，即可得到结论．
解：当时，
即，
解得：，
，
当时，，
（m），
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，求出球出手时，对应的横坐标，代入表达式是解题关键．
【变式2】如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 s．

【答案】2
【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20，
故答案为：2．
【点拨】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
【考点五】实际问题与二次函数➼➼➻喷水问题
【例5】小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．

（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】（1）；（2）2或6m
【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；
（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．
（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
（2）由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为（m），或（m）．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（     ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用顶点式求得抛物线的解析式，再令x=0，求得相应的函数值，即为所求的答案．
解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0=a（3-1）2+3，
解得：a=-．
∴y=-（x-1）2+3．
∵当x=0时，y=-（0-1）2+3=-+3=，
∴水管应长m．
故选：A
【点拨】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的相关性质是解题的关键．
【变式2】某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y（x﹣5）2＋6
（1）雕塑高OA的值是 m；
（2）落水点C，D之间的距离是 m．

【答案】 /1 22
【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；
解：（1）当x＝0时，y（0﹣5）2+6，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
故答案为：．
（2）当y＝0时，（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
故答案为：22．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；
【考点六】实际问题与二次函数➼➼➻增长率问题
【例6】为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；
（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．
解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得：，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，
由题意得：，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解．
【举一反三】
【变式1】据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据2023年安徽省生产总值=2021年安徽省生产总值×列函数表达式即可．
解：根据题意，y关于x的函数表达式是，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的应用，理解题意，找到等量关系是解答的关键．
【变式2】某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系式应表示为 ．
【答案】或
【分析】根据平均增长问题，可得答案．
解：y与x之间的关系应表示为y＝2（x+1）2．
故答案为：y＝2（x+1）2．
【点拨】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍．
【考点七】实际问题与二次函数➼➼➻图形运动问题
【例7】如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的解析式．
（2）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
（3）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1；（3）存在，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）如图1，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，S△MNB（2﹣t）×2t，求最值即可；
（3）先求出点坐标，的长，根据等腰三角形的性质分①CP＝CB，②BP＝BC，③PB＝PC，三种情况求解即可．
（1）解：把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，得，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）解：如图1，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，

∴S△MNB（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，
∴时S△MNB值最大
∴当M点坐标为（2，0），N点坐标为（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1；
（3）解：令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得：x＝1或x＝3，
∴B（3，0），
∴BC＝3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图2，

①当CP＝CB时，PC＝3，
∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝33
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当BP＝BC时，OP＝OB＝3，
∴P3（0，﹣3）；
③当PB＝PC时，
∵OC＝OB＝3，
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，二次函数与等腰三角形综合．解题的关键在于对知识的灵活运用．
【举一反三】
【变式1】定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（    ）

A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1
【答案】D
【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．
解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:
当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，
解得：；
综上可得：的最大值和最小值分别是，．
故选：D．
【点拨】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
【变式2】如图，点A、B的坐标分别为 和 ，抛物线的顶点在线段上，与轴交于，两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点D的横坐标的最大值为 ．

【答案】8
【分析】当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．
解：当点C横坐标为−3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，
此时D点横坐标为5，则CD=8，
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，
故C（0，0），D（8，0），
此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．
故答案为：8．
【点拨】本题主要考查二次函数的平移及性质，熟练掌握二次函数的性质并明确CD的长度固定是解此题的关键．