河南省洛阳市洛宁县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

河南省洛阳市洛宁县2022-2023学年

八年级下学期期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．

1. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分式有意义的条件：分母不等于零，据此列出不等式，通过解该不等式求得的取值范围．

【详解】解：依题意得：，

解得：．

故选：D．

【点睛】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

2. 某种计算机完成一次基本运算所需要的时间约为0.000000001秒，将数据0.000000001用科学记数法表示为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】解： ．

故选：C．

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3. 如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行四边形的判定方法，以及等腰梯形的性质等知识，对各选项进行判断即可．

【详解】A.错误，当四边形是等腰梯形时，也满足条件．

B.正确，∵，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形．

C.错误，当四边形是等腰梯形时，也满足条件．

D.错误，∵，

∴，与题目条件重复，无法判断四边形是不是平行四边形．

故选：B．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等腰梯形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．

4. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ）

A. 邻边相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 是中心对称图形

【答案】A

【解析】

【分析】根据菱形和平行四边形的性质判断即可．

【详解】解：菱形的四条边都相等，而平行四边形的邻边不一定相等，

故选：A．

【点睛】本题考查了菱形和四边形，熟练掌握菱形的性质和四边形的性质是解题的关键．

5. 解分式方程，去分母得（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据等式基本性质，方程两边同时乘以各个分母的最简公分母即可．

【详解】解：把原方程变形：，

方程两边同时乘以各分母的最简公分母，得：．

故选：A．

【点睛】本题考查了分式方程化为整式方程的第一步：去分母，这是解分式方程的关键一步，也是“转化”思想的重要体现．解题的关键是掌握在去分母时，注意几个问题：1、分母是多项式的时候，如果能分解因式的，首先考虑分解因式后再找最简公分母；2、要用最简公分母去乘以方程中的每一项，不要漏乘不含分母的项．

6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，，轴，已知点，则点的坐标是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解．

【详解】解：∵四边形是矩形，

∴，，

∵点，

∴，，

∴，

∴点的坐标为，

故选：A．

  【点睛】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键．

7. 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，最终得分高者录用，测试成绩如表（单位：分）．公司的管理层经过讨论认为该职位对能力方面的要求最为重要，给出四项得分的比例为1：1：2：1，则甲、乙两人最终的得分分别为（　　）

A. 7.25分，7.5分 B. 7.4分，7.5分 C. 7.25分，7.8分 D. 7.4分，7.8分

【答案】D

【解析】

【分析】运用加权平均数公式计算即可．

【详解】解：甲最终的得分为：（分），

乙最终的得分为：（分），

故选：D．

【点睛】本题考查了加权平均数的计算与运用，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．

8. 课堂上老师在黑板上给出了如下内容：如图，一次函数（，是常数）的图象与轴、轴分别交于点，、点，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，小明说：“关于的不等式的解集为．”小红说：“的值为”，则他们两人的说法是（　　）

A. 小明对、小红错 B. 小明错、小红对 C. 都错 D. 都对

【答案】D

【解析】

【详解】将点的坐标代入正比例函数求得的值；然后将点、的坐标代入一次函数解析式，求得的值，根据点的坐标，利用图象即可得到关于的不等式的解集．

【解答】解：将点，代入，得．

解得．

所以，．

由图象可知，关于的不等式的解集为，

把，，，分别代入，是常数，得．

解得．

故他们两人的说法都是正确的．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，使问题更加直观化．

9. 如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠CDA＝80°时，∠CDF＝（　　）

A. 15° B. 30° C. 40° D. 50°

【答案】B

【解析】

【分析】连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF=∠CDF，根据已知可得出∠CBF的度数，从而得∠CDF的度数．

【详解】解：如图，连接BF，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD=BC，∠DCF=∠BCF，∠CDA+∠BAD=180°,∠CDA=∠ABC，

∵∠CDA＝80°，

∴∠BAD=100°，∠ABC=80°，

在△BCF和△DCF中，

，

∴△BCF≌△DCF（SAS），

∴∠CBF=∠CDF，

∵FE垂直平分AB，∠BAF=×100°=50°，

∴AF=BF，

∴∠ABF=∠BAF=50°，

∴∠CBF=80°-50°=30°，

∴∠CDF=30°．

故选B．

【点睛】本题考查全等三角形的判定，菱形的性质，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，利用SAS判定△BCF≌△DCF是关键．

10. 在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合右侧函数图象分析当时，y的值为（    ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】要对点P所在的位置进行分类：①当点P在线段上移动；②当点P在线段上移动；③当点P在线段上移动；④当点P在线段上移动；探讨得出规律即可．

【详解】①当点P在线段上移动，

即时，；

②当点P在线段上移动，

即时，；

③当点P在线段上移动，

即时，；

④当点P在线段上移动，

即时，，

点P的运动轨迹以16为单位循环，

当时，，

此时，

故答案为：B．

【点睛】本题考查动点函数问题，分段函数的应用，函数的解析式的求法以及动点的运动规律，分类探讨是解决问题的关键．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11. 计算：＝_____．

【答案】3

【解析】

【分析】根据零指数幂和负指数幂的意义计算．

【详解】解：，

故答案为：3．

【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，熟练掌握零指数幂和负指数幂的意义是解题关键．

12. 若一次函数（b为常数）的图象经过第一、二、四象限，则b的值可以为_______．（写出一个即可）

【答案】1（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可．

【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，，

∴，

故答案是：1（答案不唯一）．

【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点．

13. 某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在平均数、中位数、众数和方差等数个统计量中，该鞋厂最关注的是_____．

【答案】众数

【解析】

【分析】鞋厂最感兴趣的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最多的即这组数据的众数．

【详解】解：由于众数是数据中出现最多的数，故鞋厂最感兴趣的销售量最多的鞋号即这组数据的众数．

故答案为众数．

【点睛】本题主要考查了学生对统计量的意义的理解与运用，要求学生对对统计量进行合理的选择和恰当的运用，比较简单．

14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为_____．

【答案】2

【解析】

【分析】由反比例函数中k值的含义，可知△OAC与△OBD的面积为1，则可求出答案.

【详解】在函数中k=2,

∴S△OAC= S△OAD==1，

∴S△OAC+ S△OBD=2

【点睛】此题主要考查反比例函数中k值的含义.

15. 小明尝试着将矩形纸片（如图1，）沿过点A的直线折叠，使得点B落在边上的点F处，折痕为（如图2）；再沿过点D的直线折叠，使得点C落在边上的点N处，点E落在上的点M处，折痕为（如图3）．若第二次折叠后，点M正好在的平分线上，连接DM，且，则＝_______．

【答案】

【解析】

【分析】由第一次折叠可知，连接，由第二次折叠可知，为的平分线，由角平分线的性质可得，于是可通过证明得到，再证得为等腰直角三角形，则．

【详解】解：∵四边形为矩形，

∴，

∵将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在边上的点F处，

∴，

如图，连接，

∵沿过点D的直线折叠，使得点C落在边上的点N处，点E落在上的点M处，折痕为，

∴，

又∵点M正好在的平分线上，

∴为的平分线，

∵，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴为等腰直角三角形，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和全等三角形的判定与性质是解题关键．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16. 先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【解析】

【分析】先计算括号内的，再计算乘法，然后把代入化简后的结果，即可求解．

【详解】解：

当时，原式

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

17. 某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：cm）如表：

两名同学的8次跳高成绩数据分析如表：根据图表信息回答下列问题：

（1）____，____，____；

（2）你认为应该选择哪位同学参赛？并说明理由．

【答案】（1），，；   

（2）应选择甲参赛，理由见解析．

【解析】

【分析】（1）利用平均数、众数及中位数的定义分别求得a、b、c的值即可；

（2）根据平均数、方差的意义比较即可．

【小问1详解】

将甲学生成绩重新排列为、、、、、、、，

所以甲成绩的平均数，

中位数，众数，

故答案为：，，；

【小问2详解】

应选择甲参赛，理由如下：

两人平均数相同，但是甲方差小于乙的方差，所以甲的成绩更稳定，故选择甲参赛（答案不唯一）．

【点睛】此题考查了平均数和方差的意义，解题的关键是熟记平均数表示数据的平均水平；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

18. 已知：如图，的对角线，相交于点，点，分别在，上，且，求证：．

【答案】见解析

【解析】

【分析】连接、，由平行四边形的性质得出，，由已知条件得出，证明四边形是平行四边形，得出对边平行，即可得出结论．

【详解】证明：连接、，如图所示：

∵四边形是平行四边形，

∴，，

∵，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∴．

  【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．

19. 如图，在四边形中，，过点D作的平分线交于点E，连接交于点O，．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求四边形的面积．

【答案】（1）见解析    （2）40

【解析】

【分析】（1）先证四边形是平行四边形，，再证，则，然后由菱形的判定即可得出结论；

（2）由菱形性质可得，，，即可求解．

【小问1详解】

证明：∵，，

∴四边形平行四边形，，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∴平行四边形是菱形；

【小问2详解】

解：∵四边形是菱形，

∴，，，

∴四边形的面积．

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．

20. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过A，两点，且点A在直线上．

（1）求反比例函数的表达式及点A的坐标；

（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹）

（3）线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点C，连接，求的周长．

【答案】（1），；   

（2）见解析；    （3）．

【解析】

【分析】（1）用待定系数法即可求解；

（2）利用尺规作出线段的垂直平分线m即可；
（3）由的周长，即可求解．

【小问1详解】

解：将点代入反比例函数表达式得：，

解得：，

则反比例函数表达式为，

∵点A在直线上，则设点，

将点A的坐标代入反比例函数表达式得：，

解得（负值已舍去），

故点；

【小问2详解】

解：如图，直线m即所求．

；

【小问3详解】

解：∵m是AB的中垂线，则，

∴的周长

．

【点睛】本题考查作图﹣基本作图，反比例函数的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

21. 某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表：

已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．

（1）求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．

（2）若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．

【答案】（1）甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元   

（2）该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元

【解析】

【分析】（1）根据花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等，可以列出相应的分式方程即可求出答案．

（2）根据题意，可以列出利润与购进甲种水笔数量的函数关系式，然后根据购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，可以求出购进甲种水笔数量的取值范围，再根据一次函数的性质即可求出结果．

【小问1详解】

解：由题意可得：，

解得，

经检验，是原分式方程的解，

，

答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元．

【小问2详解】

解：设利润为w元，甲种水笔购进x支，

，

，

∴y随x的增大而增大，

购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，

，

解得，，

∵x为整数，

∴当时，w取得最大值，最大值为733，

此时，，

答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元．

【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质是解题的关键．

22. 如图，在矩形中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是，与关于直线对称，且点E在对角线上．

（1）求线段的长；

（2）求点D的坐标及直线的函数表达式．

【答案】（1）10；    （2），．

【解析】

【分析】（1）根据点B的坐标，利用勾股定理直接计算出长；

（2）设，则，，，利用勾股定理可求出长，点的坐标可求，根据B、D坐标，待定系数法可求直线解析式．

【小问1详解】

∵点B的坐标是，

∴，，

在中，由勾股定理得：

；

【小问2详解】

∵与关于直线对称，

∴，，，

在中，设，则，，，

由勾股定理得得，，

解得，

∴，

∴，

设的解析式为，

∵在直线上，

∴，

∴，

∴的解析式为．

【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，根据条件灵活设解析式便于简化计算．

23. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

如图，在正方形中，，求证：．请结合图①（设、交于点G），写出完整的证明过程．

【结论应用】

（1）如图②，在正方形中，，连接、，若正方形的边长为3，四边形的面积为8，则的长为_________；

（2）如图③，在正方形中，．

①四边形与的面积关系为：_________；（填“＞”，“＜”或“＝”）

②若正方形的边长为5，且图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为3：5，则的周长为___________．

【答案】【教材呈现】见解析；【结论应用】（1）；（2）①=；②．

【解析】

【教材呈现】根据四边形是正方形，利用证明，即得；

【结论应用】（1）由【教材呈现】知，设，根据四边形的面积为8，得，解得，即得；

（2）①由，得，即可得；

②由正方形的边长为5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为3：5，可得，即，，在中，，可得，从而，即可得出答案．

【详解】证明：∵四边形是正方形，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴；

解：（1）由【教材呈现】知，当时，，

设，

∵四边形的面积为8，

∴，

∴，

∴，即，

∴（负值已舍去），

∴，

∵正方形的边长为3，

∴

故答案为：；

（2）①由【教材呈现】知，当时，，

∴，

∴

即，

故答案为：＝；

②∵正方形的边长为5，

∴正方形的面积为25，

∵图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为3：5，

∴图中阴影部分的面积为，

∴

由①知，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴（负值已舍去），

∴，即△CDG的周长为，

故答案为：．

【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，三角形和四边形的面积，正方形的性质，勾股定理及应用，完全平方公式等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明．