第二十一章 一元二次方程（A卷·知识通关练）-【单元测试】九年级数学上册分层训练AB卷（人教版）（解析+原卷）

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第二十一章  一元二次方程（A卷·知识通关练）

核心知识1一元二次方程及其根

1．（2022春•任城区期末）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为　　

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

【分析】对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．

【解答】解：对于一元二次方程即，

设，

所以，

而关于的一元二次方程有一根为，

所以有一个根为，

则，

解得，

所以一元二次方程必有一根为．

故选：．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

2．（2022春•平桂区期末）下列方程中，不是一元二次方程的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据一元二次方程的定义解决此题．

【解答】解：．根据一元二次方程的定义，是一元二次方程，那么不符合题意．

．根据一元二次方程的定义，是一元二次方程，那么不符合题意．

．根据一元二次方程的定义，不是一元二次方程，那么符合题意．

．根据一元二次方程的定义，是一元二次方程，那么不符合题意．

故选：．

【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键．

3．（2022春•桐城市期末）若为方程的解，则的值为　　

A．4 B．2 C． D．

【分析】由题意可得，再由，代入求值即可．

【解答】解：为方程的解，

，

，

，

故选：．

【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．

4．（2022春•瑶海区期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为　　

A． B．1 C． D．2

【分析】把代入方程，即可得到的值．

【解答】解：关于的一元二次方程的一个解是，

，

．

故选：．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

5．（2022春•包河区期末）一元二次方程化为一般形式后，常数项为　　

A．6 B． C．1 D．

【分析】方程整理为一般形式，找出常数项即可．

【解答】解：方程整理得：，则常数项为．

故选：．

【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

核心知识2．解一元二次方程

6．（2022春•张店区期末）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．

【解答】解：方程，

整理得：，

配方得：，即．

故选：．

【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

7．（2022春•姜堰区期末）用配方法解一元二次方程，配方正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．

【解答】解：，

，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．

8．（2021秋•陵水县期末）将一元二次方程化成的形式，则等于　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】利用配方法进行计算即可解答．

【解答】解：，

，

，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．

9．（2022春•莱芜区期末）以为根的一元二次方程可能是　　

A． B． C． D．

【分析】根据求根公式逐一判断即可．

【解答】解：．此方程的根为，符合题意；

．此方程的根为，不符合题意；

．此方程的根为，不符合题意；

．此方程的根为，不符合题意；

故选：．

【点评】本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握求根公式．

10．（2022•山西模拟）在用配方法解方程时，可以将方程转化为，其中所依据的一个数学公式是　　

A． B． 

C． D．

【分析】利用完全平方公式判断即可．

【解答】解：在用配方法解方程时，可以将方程转化为，其中所依据的一个数学公式是．

故选：．

【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式的推导过程是解本题的关键．

11．（2022春•泰山区期末）下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是　　

A． B． C． D．

【分析】本题可对方程进行化简，看能否将方程化为左边是两个式子相乘，右边是0的形式，即可应用因式分解法来解．

【解答】解：、适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；

、由原方程得到，适合于因式分解法解方程，故本选项符合题意；

、适合于公式法解方程，故本选项不符合题意；

、由原方程得到，最适合于直接开平方法解方程，故本选项不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

12．（2022•临沂）方程的根是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】利用十字相乘法因式分解即可．

【解答】解：，

，

或，

解得，，

故选：．

【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本题的关键．

核心知识3．根的判别与韦达定理

13．（2022•息县模拟）若关于的方程没有实数根，则的值可以是　　

A．7 B．6 C．5 D．4

【分析】先根据根的判别式的意义得到△，然后对各选项进行判断．

【解答】解：根据题意得△，

即，

所以可以取4．

故选：．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．

14．（2022•虞城县三模）关于的方程的根的情况是　　

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．不能确定

【分析】先计算根的判别式的值，利用非负数的性质得到△，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．

【解答】解：△，

方程有两个不相等的实数根．

故选：．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．

15．（2022•洛阳模拟）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　

A．且 B．且 C． D．

【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可．

【解答】解：根据题意得且△，

解得且．

故选：．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．

16．（2022•荆门）若函数为常数）的图象与轴只有一个交点，那么满足　　

A． B． C．或 D．或

【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数的图象与轴恰有一个交点，可得△，从而解出值；②函数为一次函数，此时，从而求解．

【解答】解：①函数为二次函数，，

△，

，

②函数为一次函数，

，

的值为或0；

故选：．

【点评】此题考查根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．

17．（2022春•栖霞市期末）若一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，则的值是　　

A． B．3 C．2或 D．或1

【分析】由根与系数的关系，可得，，又由，即可求得的值．

【解答】解：关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，

△，

，

，，

又，

，

解得：或，

，

，

故选：．

【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系与判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果，是一元二次方程的两根，那么有，的应用．

18．（2022春•丽水期末）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是　　

A． B．2 C．3 D．

【分析】设方程的一个根，另一个根为，再根据根与系数的关系进行解答即可．

【解答】解：设方程的一个根，另一个根为，根据题意得：

，

将代入，得．

故选：．

【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系的相关知识是解题的关键．

19．（2022春•海阳市期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于　　

A．2022 B．2026 C．2030 D．2034

【分析】先根据一元二次方程的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：是方程的实数根，

，

，

，

，是方程的两个实数根，

，

．

故选：．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．

20．（2022•牟平区一模）已知一元二次方程的两个根分别为，，则的值为　　

A． B．0 C． D．

【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则变形为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体的方法计算即可．

【解答】解：为方程的根，

，

，

，

方程的两个根分别为，，

，

．

故选：．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．

核心知识4．一元二次方程的应用

21．（2022•定远县模拟）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为，那么满足的方程是　　

A． B． 

C． D．

【分析】由题意根据增长后的量增长前的量增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示五、六月份的产量，进而即可得出方程．

【解答】解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么得五、六月份的产量分别为、，

根据题意得：．

故选：．

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的增长率问题，注意掌握其一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量，为增长率．

22．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是　　

A． B． C． D．

【分析】设该商店的月平均增长率为，根据等量关系：1月份盈利额增长率）月份的盈利额列出方程求解即可．

【解答】解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为，由题意可得：

，

解得：，（舍去），

答：每月盈利的平均增长率为．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，增长率增长数量原数量．如：若原数是，每次增长的百分率为，则第一次增长后为；第二次增长后为，即 原数增长百分率）后来数．

23．（2022春•仓山区校级期末）一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为英寸（如图），下面所列方程正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据关键语句“矩形衬纸的面积为照片面积的3倍”列出方程求解即可．

【解答】解：设照片四周外露衬纸的宽度为英寸，根据题意得：，

故选：．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出大矩形的长与宽．

24．（2022春•启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是　　

A．8 B．7 C．6 D．5

【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是，

依题意得：，

整理得：，

解得：，（不合题意，舍去），

这种植物每个支干长出的小分支个数是7．

故选：．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

25．（2022春•蜀山区期末）某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低元，可列方程为　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据利润销售量（售价进价）即可列出一元二次方程．

【解答】解：设售价每千克降低元，

由题意得：，

故选：．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握利润销售量（售价进价）是解决问题的关键．

26．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是　　

A． B． C． D．

【分析】设这批椽的数量为株，则一株椽的价钱为文，利用总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：这批椽的数量为株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，

一株椽的价钱为文．

依题意得：．

故选：．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

27．（2022•沙坪坝区校级模拟）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据“该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数”列方程即可．

【解答】解：根据题意，可得，

故选：．

【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用题，理解题意并根据题意找到等量关系是解题的关键．