第二十一章 一元二次方程单元培优训练-2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）（解析+原卷）

这是一份第二十一章 一元二次方程单元培优训练-2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）（解析+原卷），文件包含九年级数学上册第二十章一元二次方程单元培优训练原卷版-2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练人教版docx、九年级数学上册第二十章一元二次方程单元培优训练解析版-2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）
第二十章 一元二次方程单元培优训练
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第20章 一元二次方程，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2021·北京师范大学第二附属中学西城实验学校九年级期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
按照配方法的步骤和完全平方公式 即可得出答案．
【详解】



即
故选：A．
【点睛】
本题主要考查配方法，掌握配方法和完全平方公式是解题的关键．
2．（2017·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1 =0 D．x2﹣2x+2=0
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．
【详解】
A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，此选项不符合题意；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，此选项符合题意．
故选D．
3．（2021·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1·x2，则k的值是()．
A．－1或 B．－1 C． D．不存在
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系及x1+x2=x1x2，得出关于k的方程，解方程并用根的判别式检验得出k的值即可．
【详解】
解：由根与系数的关系，得x1+x2=-k，
因为x1x2=4k2-3，又x1+x2=x1x2，
所以-k=4k2-3，即4k2+k-3=0，
解得k=或-1，
因为△≥0时，所以k2-4（4k2-3）≥0，
解得：−≤k≤，故k=-1舍去，
∴k=．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数关系的应用，属于基础题，关键不要忘记利用根的判别式进行检验．
4．（2022·浙江杭州·八年级阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据根的判别式∆>0，且m-1≠0求解即可．
【详解】
解：由题意得
∆=b2-4ac=4+8(m-1)>0，且m-1≠0，
解得
且，
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
5．（2015·宁夏·中考真题）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　)

A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0
C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0
【答案】C
【解析】
【详解】
解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
化简整理得，x2﹣9x+8=0．
故选C．
6．（2022·山东·招远市教学研究室一模）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，过D作DE⊥AM于点E，过B作BF⊥AM于点F，连接BE．若AF＝1，四边形ABED的面积为10，则BF的长为（　　）

A．10 B． C．4 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
证明△ABF≌△DAE得BF=AF，AF=DE，进而由已知四边形的面积列出BF的方程进行解答便可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BF⊥AM，
∴∠ABF+∠BAF=∠BAF+∠DAE=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
∵DE⊥AM，
∴∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE=1，
设BF=AE=x，则EF=x-1，
∵四边形ABED的面积为10，
∴EF•BF+AF•BF×2＝10，即x(x−1)+ x×2＝10，
解得：x=-5（舍）或x=4，
∴BF=4，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，全等三角形的性质与判定，关键是证明三角形全等．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2015·广西柳州·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则m的值为________．
【答案】-3
【解析】
【详解】
将x=1代入该方程，得：1+2+m=0，
解得：m=-3．
故答案为-3
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的定义．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
8．（2022·吉林省实验中学一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是______．
【答案】a＜1
【解析】
【分析】
根据根的判别式得到，然后解不等式求出a的取值范围即可．
【详解】
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∵
∴，
解得：a＜1，
故答案为：a＜1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（2021·上海市奉贤区金汇学校九年级期末）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为平方米，设垂直于墙的一段篱筐长为米，可列出方程为________________________．

【答案】
【解析】
【分析】
垂直于墙的一段篱筐长为米，共有三段垂直于墙的篱笆，所以垂直于墙的篱笆总长度为，又因为篱笆总长为米(恰好用完)，所以大长方形花圃的长为米，最后根据长方形的面积公式即可求解．
【详解】
解：由题意可得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是注意大长方形花圃的宽有三段都是篱笆．
10．（2022·山东·平阴县教育教学研究中心一模）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________．
【答案】2022
【解析】
根据一元二次方程解的意义可得a+b的值，然后代入所求的算式即可得到解答．
【详解】
解：由题意可得：
a+b+1=0，
∴a+b=-1，
∴2021-a-b=2021-(a+b)=2021+1=2022，
故答案为2022．
【点睛】
本题考查代数式的求值，根据一元二次方程解的意义求得a+b的值是解题关键．
11．（2021·江苏南通·中考真题）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【详解】
解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
12．（2019·四川眉山·中考真题）设、是方程的两个实数根，则的值为_____．
【答案】-2017
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可得出结论．
【详解】
∵、是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为-2017．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2020·全国·九年级专题练习）当m取何值时，方程是一元二次方程．
【答案】m=-1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程，列出方程求解即可.
【详解】
解：由题意可得：且m-1≠0，
解得：m=-1，
∴当m=-1时，方程是一元二次方程.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
14．（2022·浙江金华·八年级阶段练习）解方程：
（1）（2x﹣1）2＝9．
（2）x2﹣4x﹣12＝0．
【答案】（1），；（2），．
【解析】
【分析】
（1）用直接开平方法求解即可；
（2）根据分解因式法求解．
【详解】
解：（1）∵（2x﹣1）2＝9，
∴2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3，
解得：，；
（2）x2﹣4x﹣12＝0
原方程可变形为，
∴x－6=0或x+2=0，
∴，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
15．（2022·辽宁葫芦岛·九年级期末）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．求平均每次降价的百分率．
【答案】
【解析】
【分析】
设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】
解：设平均每次降价的百分率为，
由题意：，
即：，
解得：或（不合题意，舍去），
∴平均每次降价的百分率为．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，理解增长率和减少率的基本模型，准确建立方程求解并取得合适的结果是解题关键．
16．（2022·上海·八年级专题练习）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用20米长的铁栏围成一个面积为60平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是11米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个2米宽的门．问：以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？

【答案】仓库的长与宽分别为10米和6米
【解析】
【分析】
仓库的宽为x米，则可以知道该仓库的长为：米，然后根据长方形面积公式列出方程求解即可．
【详解】
解：设仓库的宽为x米，根据题意，可以知道该仓库的长为：米
由题意可列出方程：
整理，得，
解方程，得，，
当时，长=，不合题意舍去，
当时，长=，符合题意，
答：仓库的长与宽分别为10米和6米．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解．
17．（2021·上海·八年级期中）如果方程与方程有且只有一个公共根，求a的值．
【答案】-2
【解析】
【分析】
有且只有一个公共根，建立方程便可求解了．
【详解】
解：∵有且只有一个公共根
∴
∴
∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，
∴
∴
当时，代入第一个方程可得
1-a+1=0
解得：
【点睛】
本题考查根与系数的关系，关键在于有一个公共根的理解，从而建立方程，求得根．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2020·全国·八年级课时练习）小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下：
，               （第一步）
，          （第二步）
，               （第三步）
．            （第四步）
（1）小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________；
（2）请写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）二；不符合等式的性质；（2）过程见解析；．
【解析】
【分析】
（1）根据等式的基本性质即可判断；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）小明的解答过程是从第二步开始出错的，因为等式左边加上1时，右边没有加1，不符合等式的性质．
故答案为：二；不符合等式的性质；
（2）正确的解答过程如下：

，

，
所以．
【点睛】
此题考查的是解一元二次方程，掌握利用配方法解一元二次方程是解决此题的关键．
19．（2022·湖北·黄石市实验中学二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．
【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．
试题解析：
（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，       
解得m≤4；
（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，               
而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20， 解得m≥3，
而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．
20．（2022·北京·二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是1，求方程另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)-5
【解析】
【分析】
(1)只需证明根的判别式△＞0即可．
(2)设另一个根为，利用根与系数关系定理，×1= -5，计算即可．
(1)
∵中，a=1，b=a，c=-5，
∴△=＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)
设另一个根为，
∵，
∴×1= -5，
解得= -5，
故方程另一个根为-5．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系定理，熟练掌握并灵活应用两个定理是解题的关键．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2022·安徽·合肥市第四十二中学八年级期中）某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．
(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；
(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？
【答案】(1)；
(2)不会，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）设每轮传染中平均每人传染了人，开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了人，则第一轮后共有人患了流感；
（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．
(1)
解：由题意可知：
第一轮传染后患病的人数人，
(2)
解：设在每轮传染中一人将平均传给人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵，都不是正整数，
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈列出方程并求解．
22．（2022·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，y关于x的一次函数（c为常数），其图象与y轴交于点A，与x轴交于点B．
(1)当时，求线段OA的长；
(2)若的面积为18．
①求出满足条件的一次函数表达式；
②若点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上，且点C在直线AB上，当时，请直接写出点C的坐标．
【答案】(1)OA =1
(2)①满足条件的一次函数表达式或；②点C坐标为（-5,1）或（-7.5，-1.5）
【解析】
【分析】
（1）当时，y关于x的一次函数，在求函数与x轴的交点坐标即可；
（2）①先求出当x=0，y=5-c，当y=0时，x=c-5，利用三角形面积列方程，然后解方程即可；②设点C（x，y）根据点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上，确定函数解析式为，求出点A（0，6），点B（-6，0），根据，列方程，分类讨论即可，当点C在第二象限，当点C在第三象限，化去绝对值即可
(1)
解：当时，y关于x的一次函数，
当x=0时，y=1，
点A（0，1），
∴OA =1；
(2)
解：①当x=0，y=5-c，当y=0时，x=c-5，
∴S△OAB=，
∴|c-5|=6，
∴c-5=6或c-5=-6，
∴c=11或c=-1，
∴满足条件的一次函数表达式或；
②设点C（x，y），
∵点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上，
∴函数解析式为，
点A（0，6），点B（-6，0），
∴点C（x，x+6），
S△AOC=，S△BOC=，
∴，
∴，
当点C在第二象限，
，
∴x=-5，
∴点C（-5,1），
当点C在第三象限，
，
∴x=-7.5，
∴点C（-7.5，-1.5），
综合点C坐标为（-5,1）或（-7.5，-1.5）．

【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，三角形面积，直接开方法解一元二次方程，一元一次方程，本题难度不大，是中考常考试题．

六、（本大题共12分）
23．（2022·山东淄博·九年级期中）如图，在直角梯形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，动点从点出发，沿射线的方向以每秒1个单位的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒），当为何值时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？

【答案】t=或t=
【解析】
【分析】
以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．在Rt△PMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以求出t.
【详解】
解：过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．


由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16﹣t）2，解得t=；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16﹣2t）2+122，由PB2=BQ2得（16﹣2t）2+122=（16﹣t）2，即3t2﹣32t+144=0，
此时，△=（﹣32）2﹣4×3×144=﹣704＜0，所以此方程无解，
∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16﹣2t）2+122得t1=，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当t=或t=时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查梯形、等腰三角形的特殊性质，在解题过程中要注意数形结合，注意分情况讨论.