第二十一章 一元二次方程培优检测卷（重点突围）-【学霸满分】2022-2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）(解析+原卷)

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《第二十一章 一元二次方程》培优检测卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全册； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022·吉林· 八年级期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】
解：A、是分式方程，选项说法错误，不符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
C、，即是一元二次方程，选项说法正确，符合题意；
D、是二元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程．
2．（山东省济南市高新区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
将x＝1代入已知方程求出c即可．
【详解】
解：把x＝1代入x2﹣3x+c＝0得：1﹣3+c＝0，
解得：c＝2，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
3．（2022·福建省福州屏东中学八年级期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染个人，经过两轮传染后共有400人感染，列出的方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，正确的理解题意，列出一元二次方程，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
,
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意，列出一元二次方程．
4．（2021·贵州遵义·一模）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（       ）
A．-5 B．-4 C．1 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
把x=a代入方程求出a2+3a的值，再利用根与系数的关系求出a+b的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：把x=a代入方程得：a2+3a-2=0，即a2+3a=2，
由根与系数的关系得：a+b=-3，
则原式=（a2+3a）+2（a+b）
=2-6
=-4．
故选：B．
【点睛】
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
5．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（       ）
A．k≥－1 B．k＞－1 C．k≥－1且k≠0 D．k＞－1且k≠0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可得 一元二次方程有实数根，再解不等式即可．
【详解】
解： 关于的一元二次方程有实数根，
且
解得：且
故选C
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键，是基础题．
6．（2022·江苏·九年级）下列说法正确的是（　　）
A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7
B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0
C．只有当k＝0时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程
D．当m取所有实数时，关于x的方程(m2+1)x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义及一般形式可进行求解．
【详解】
解：A、方程8x2﹣7＝0的一次项系数为0，故选项错误；
B、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），故选项错误；
C、当k﹣1≠0，即k≠1时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程，故选项错误；
D、当m取所有实数时，关于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程是正确的．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义及一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·山东德州·九年级期末）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则m＝______
【答案】-2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义得到且，由此求得m的值．
【详解】
解：依题意得：且，
解得m=-2．
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程的最高次项的未知数的指数为2，注意二次项的系数不能等于0．
8．（2022·江苏·九年级）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．
【详解】
解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝4，x1x2＝3，
∴x1+x2﹣x1x2＝（x1+x2）﹣x1x2＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
9．（2022·全国·九年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 __．
【答案】
【解析】
【分析】
设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论．
【详解】
解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，即甲走的步数是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2021·全国·九年级专题练习）求代数式的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用配方法进行整理．
【详解】
解：∵
，
∴最小值为，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了配方法，解题的关键是掌握配方法的基本步骤，出的完全平方公式，利用非负性求解．
11．（2022·陕西西安·三模）对于任意实数、，定义一种运算：，若，则的值为________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据定义即可得到一元二次方程，解方程即可求得．
【详解】
解：根据题意得：
得
解得
故答案为：-1
【点睛】
本题考查了新定义运算，一元二次方程的解法，理解题意，列出方程是解决本题的关键．
12．（2022·浙江绍兴·八年级期中）已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为_______________；
【答案】6或12或15
【解析】
【分析】
先利用因式分解的方法解方程得到x1=2，x2=5，根据题意讨论：当腰为2，底边为5时；当腰为5，底边为2时，然后分别计算出等腰三角形的周长．
【详解】
∵x2-7x+10=0，
∴（x-2）（x-5）=0，
∴x-2=0或x-5=0，
∴x1=2，x2=5，
当腰为2，底边为5时，2+2=4<5，不能构成三角形；
当腰为5，底边为2时，等腰三角形的周长为2+5+5=12；
当腰为2，底边为2时，等腰三角形的周长为2+2+2=6，
当腰为5，底边为5时，等腰三角形的周长为5+5+5=15．
故答案为6或12或15．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·江苏·九年级专题练习）解下列方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接采用开平方的方法即可求出解．
（2）将原方程化为一般形式，后采取因式分解法直接求出解．
(1)
解：原方程两边都除以4，得
两边开平方，得
所以，
(2)
解：原方程整理得，
因式分解的：，
解得：，．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握开方法，因式分解法是求解一元二次方程的关键．
14．（2022·全国·九年级）若关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值．
【答案】m＝﹣2
【解析】
【分析】
根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0，
∴
解得：
【点睛】
此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，熟练掌握其定义是解本题的关键．
15．（2022·吉林通化·九年级期末）如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？

【答案】20
【解析】
【分析】
根据题意设车棚垂直于墙的一边的长为为x米，则根据图并利用长×宽=面积，建立方程并求解即可．
【详解】
解：设车棚垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为米，
由题意列方程可得：，
解得或x=6
当车棚垂直于墙的一边的长为6米时，平行于墙的一边的长为40米，大于墙长的18米，
答：车棚垂直于墙的一边的长为20米.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，正确的列方程，牢记长方形的面积为长×宽，一元二次方程的求解是本题的关键与重点．
16．（2022·河北保定·三模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成任务．

解：第一步
第二步
第三步
第四步
，第五步
(1)任务一：
①小颖解方程的方法是____；
②第二步变形的依据是____；
(2)任务二：请你用“公式法”解该方程．
【答案】(1)配方法，等式性质
(2)，
【解析】
【分析】
（1）任务一，结合配方法解一元二次方程的步骤求解即可；
（2）任务二，利用公式法求解即可．
(1)
解：小颖是将方程左边配成完全平方形式，
小颖解方程的的方法是配方法，等式变形的依据是等式性质；
(2)
解：∵，，，
∴，
则，
∴，．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（2022·江苏·九年级）已知、、是的三边长，关于的一元二次方程有两个相等的实数根．
(1)请判断的形状；
(2)当，时，求一元二次方程的解．
【答案】(1)△ABC为直角三角形；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式以及勾股定理的逆定理，即可求解；
（2）由（1）可得，再代入原方程，利用因式分解法解答，即可求解．
(1)
∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴△ABC为直角三角形；
(2)
∵，，，
∴，
∴，
∴原方程为，
解得：．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·四川攀枝花·九年级期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两根x1，x2，满足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值．
【答案】(1)k≥﹣3且k≠1
(2)2
【解析】
【分析】
（1）由方程有两个实数根，结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，并使k﹣1≠0，即可得出结论．
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2＝，x1x2＝﹣，再将它们代入（x1+1）（x2+1）＝4，即可求出k的值．
(1)
解：（1 ）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．
∴k﹣1≠0，∆＝b2﹣4ac≥0，即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0，
∴k≥﹣3且k≠1．
(2)
解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣．
∵（x1+1）（x2+1）＝4，
∴（x1+x2）+x1x2+1＝4，即﹣+1＝4，
整理，得：k﹣1＝1，
解得：k＝2，
经检验，k＝2是方程的解，
∴k＝2．
∴k的值为2．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，解题关键是熟练运用根与系数关系列出方程或不等式．
19．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)或-1
【解析】
【分析】
（1）根据新定义得到关于x的一元一次方程，然后利用整式的混合计算法则进行解方程即可；
（2）根据新定义得到关于x的一元二次方程，然后解方程即可．
(1)
解：∵，
∴，
∴；
(2)
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴m的值为或．
【点睛】
本题主要考查了新定义的知识，涉及到了解一元一次方程，解一元二次方程，整式的混合计算等知识，正确理解题意是解题的关键．
20．（2022·浙江·杭州育才中学八年级期中）某商场对某种商品进行销售调整．已知该商品进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，现进行降价处理．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求这两次中平均每次下降的百分率．
(2)经调查，该商品每降价0.5元，平均每天可多销售4件．若要使每天销售该商品获利510元，则每件商品应降价多少元？
【答案】(1)该商品平均每次下降的百分率为10%；
(2)每件商品应降价元或元．
【解析】
【分析】
（1）设每次降价的百分率为x，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32．4元，列一元二次方程，求解即可；
（2）设每件商品应降价m元，根据每天要想获得510元的利润，列一元二次方程可得（40-30-m）（48+8m）=510，再解方程即可．
(1)
解：设每次降价的百分率为x， 根据题意，得40（1-x）2=32.4，
解得x1=0.1=10%，x2=1.9=190%（不合题意，舍去），
答：该商品平均每次下降的百分率为10%；
(2)
设每件商品应降价m元， 根据题意，得（40-30-m）（48+8m）=510，
整理得：，
解得
答：每件商品应降价元或元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个新的未知数去代替它，从而使方程得到简化，这叫换元法．先阅读下面的解题过程，再解出右面的两个方程：
例：解方程：．
解：设（t≥0）
∴原方程化为2t﹣3＝0
∴
而＞0
∴
∴
请利用上面的方法，解出下面两个方程：
(1)
(2)
【答案】(1)x＝4
(2)x＝5
【解析】
【分析】
（1）令，将方程变形为，解出即可求出；
（2）令，将方程变形为，解出即可求出．
(1)
解：设，
将原方程转化为，
解得，，，
而 ，
，
；
(2)
解：设，
∴原方程化为 ，
解得，，
而，
，
．
【点睛】
本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观
22．（2022·河南濮阳·八年级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：
(1)若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝______；
(2)若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．
【答案】(1)18
(2)0或
【解析】
【分析】
（1）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案．
（4）根据定义可求出n=2m或n=m，代入原式后即可求出答案；
(1)
由题意可知：x＝m与x＝2m是方程x2﹣9x+c＝0的解，
∴m+2m＝9，m•2m＝c，
∴m＝3，c＝18，
故答案为18；
(2)
由（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x＝1和x，
∴2或，
当n＝2m时，0，
当nm时，；
故代数式的值0或．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义．
六、（本大题共12分）
23．（2022·江苏·九年级专题练习）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到 　 　的目的，体现了数学的转化思想．
(2)解方程：（x2＋x）2﹣4（x2＋x）﹣12＝0
(3)已知非零实数a，b满足a2﹣ab﹣12b2＝0，求的值．
【答案】(1)换元法；降次
(2)x1＝2，x2＝﹣3
(3)4或﹣3
【解析】
【分析】
（1）根据解答过程归纳出银法为换元法，换元法的目的是将高次方程降为低次方程求解；
（2）运用换元法求解，
（3）运用因式分解法求得a＝4b或a＝﹣3b，再代入计算即可．
(1)
解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想；
故答案为：换元法，降次；
(2)
解：设x2+x＝y，原方程可变为y2﹣4y﹣12＝0，
解得y1＝﹣2，y2＝6．
当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，方程没有实数解；
当y＝6时，x2+x＝6，
∴x＝2或﹣3；
原方程有两个根：x1＝2，x2＝﹣3；
(3)
解：（a﹣4b）（a+3b）＝0，
a﹣4b＝0或a+3b＝0，
所以a＝4b或a＝﹣3b，
当a＝4b时，=44；
当a＝﹣3b时，=-33．
即的值为4或﹣3．
【点睛】
本题考查了高次方程：通过换元法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．