第二十二章 二次函数单元培优训练-2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）（解析+原卷）

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2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
第二十二章 二次函数单元培优训练
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第22章 二次函数，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2019·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级阶段练习）下列各式中表示二次函数的是（　　）
A．y＝x2+ B．y＝2﹣x2
C．y＝ D．y＝（x﹣1）2﹣x2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】
解：A、y＝x2+，含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
B、y＝2﹣x2，是二次函数，故此选项正确；
C、y＝，含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的定义是解题关键．
2．（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（       ）
A．y＝（x﹣2）2＋2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x＋2）2﹣2 D．y＝（x＋2）2＋2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象的平移规律，可得答案．
【详解】
解：将抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y=（x-2）2+2．
故选：A．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
3．（2022·湖南长沙·九年级期末）由二次函数，可知（       ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=-3
C．其最小值为1 D．当x<3时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，直接根据的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可．
【详解】
解：由二次函数，可知：
．，其图象的开口向上，故此选项错误；
．其图象的对称轴为直线，故此选项错误；
．其最小值为1，故此选项正确；
．当时，随的增大而减小，故此选项错误．
故选：．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，同学们应根据题意熟练地应用二次函数性质，这是中考中考查重点知识．
4．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，正方形边长为4，、、、分别是、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD边长为4，AE=BF=CG=DH
∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y=4×4-x（4-x）×4
=16-8x+2x2
=2（x-2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
5．（2022·江苏扬州·九年级期末）若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两根之和公式可以求出对称轴公式．
【详解】
解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，
∴x1＋x2＝− ＝2．
∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．
6．（2019·湖北鄂州·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(       )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误；
②把代入中得，所以②正确；
③由时对应的函数值，可得出，得到，由，，，得到，选项③正确；
④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确．
【详解】
解：①∵抛物线开口向上，∴，
∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，①错误；
②当时，，∴，
∵，∴，
把代入中得，所以②正确；
③当时，，∴，
∴，
∵，，，
∴，即，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，函数的最小值为，
∴，
即，所以④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2020·江苏常州·二模）二次函数图像的对称轴是直线___________．
【答案】
【解析】
【分析】
将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴，本题得以解决．
【详解】
解：∵二次函数y=−2x2+4x−6=-2（x-1）2-4，
∴该函数的对称轴是直线x=1，
故答案为：x=1．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．（2020·江苏徐州·九年级期中）若抛物线 的图像与轴有交点，那么的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线 的图像与轴有交点可知，从而可求得的取值范围．
【详解】
解：∵抛物线 的图像与轴有交点
∴令，有，即该方程有实数根
∴
∴．
故答案是：
【点睛】
本题考查了二次函数与轴的交点情况与一元二次方程分的情况的关系、解一元一次不等式，能由已知条件列出关于的不等式是解题的关键．
9．（2022·贵州遵义·二模）已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有______．（填序号）

①；②；③；④若当时，，则有．
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】
根据开口方向确定的正负，根据对称轴的位置确定的正负，根据抛物线与轴的交点确定的正负，由此判断①；由抛物线的对称轴为可求得与的等量关系，由此判断②；根据与时函数值的正负判断③；由与时的函数值正负求出的取值范围，由此判断④．
【详解】
解：抛物线开口向下，对称轴在轴左侧，与轴交于正半轴，
，，，
，，，
，①错误；
抛物线的对称轴为直线，
，即，
，②正确；
由图可知，当时，，当时，，
，即，
，③错误；
若当时，，则，
又，
该抛物线的表达式为，
由图可知，当时，；当时，．
，解得，④正确．
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象特征是解题的关键．
10．（2021·全国·九年级专题练习）二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，方程的解为___________________；不等式的解集为___________________．

【答案】     ，     或
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴和抛物线与x轴一个交点求出另一个交点，再通过二次函数与方程的两根，二次函数与不等式解集的关系求得答案．
【详解】
∵抛物线的对称轴为，抛物线与x轴一个交点为（5，0）
∴抛物线与x轴另一个交点为（-1，0）
∴方程的解为：，
由图像可知，不等式的解集为：或．
故答案为：，；或．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像性质，掌握二次函数与方程的两根，二次函数与不等式的解集关系，是解决问题的关键．
11．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为_____．

【答案】1
【解析】
【分析】
由矩形的性质可知BD＝AC，再结合顶点到x轴的距离最近可知当点A在顶点处时满足条件，求得抛物线的顶点坐标即可求得答案．
【详解】
解：∵AC⊥x轴，
∴当点A为抛物线顶点时，AC有最小值，
∵抛物线y＝x2﹣2x＋2＝（x−1）2＋1，
∴顶点坐标为（1，1），
∴AC的最小值为1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
∴BD的最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质及矩形的性质，确定出AC最小时的位置是解题的关键．
12．（2020·江苏盐城·模拟预测）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为_____．

【答案】2
【解析】
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C，D的坐标，由点A，D的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P，Q的坐标，进而可求出线段PQ的长．
【详解】
解：当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴点A的坐标为（﹣2，0）；
当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）；
当y＝2时，﹣x2+x+2＝2，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴点D的坐标为（2，2）．
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣2，0），D（2，2）代入y＝kx+b，得：
解得：
∴直线AD的解析式为y＝x+1．
当x＝0时，y＝x+1＝1，
∴点E的坐标为（0，1）．
当y＝1时，﹣x2+x+2＝1，
解得：x1＝1﹣，x2＝1+，
∴点P的坐标为（1﹣，1），点Q的坐标为（1+，1），
∴PQ＝1+﹣（1﹣）＝2．
故答案为：2．

【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点P，Q的坐标是解题的关键．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2021·北京·潞河中学九年级阶段练习）已知抛物线．
(1)该抛物线的对称轴为 ；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数解析式求对称轴公式即可求得．
（2）由第一问求得顶点的横坐标代入等于0即可求得a值，进而得到二次函数解析式．
（3）根据，直接代入横坐标列出不等式求解即可．
(1)
解：对称轴
故对称轴为：．
(2)
解：∵抛物线顶点在x轴上
∴当时，
得
则抛物线解析式为：
(3)
由（2）得解析式
∵
∴


解得：或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像性质，求解一元二次不等式，熟练掌握二次函数性质是解题的关键．
14．（2019·全国·九年级单元测试）已知抛物线y＝mx2－2mx－3.
(1)若抛物线的顶点的纵坐标是－2，求此时m的值；
(2)已知当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，求出这两个定点的坐标.
【答案】(1)-1;(2) (0，－3)与(2，－3).
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的顶点的纵坐标是−2，可以求得m的值；
（2）根据当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，可以求得这两个定点的坐标．
【详解】
解：(1)∵y＝mx2－2mx－3＝m(x－1)2－m－3，抛物线的顶点的纵坐标是－2，
∴－m－3＝－2，
解得m＝－1，
即m的值是－1；
(2)∵当m≠0时，无论m为其他何值，每一条抛物线都经过坐标系中的两个定点，
当m＝1时，y＝x2－2x－3；当m＝2时，y＝2x2－4x－3，
∴x2－2x－3＝2x2－4x－3.
∴x2－2x＝0.
∴x1＝0，x2＝2.
∴这两个定点为(0，－3)与(2，－3).
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．
15．（2021·河南南阳·九年级期末）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边的长为米（要求），矩形的面积为平方米．

(1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)要想使花圃的面积最大，边的长应为多少米？
【答案】(1)S=-2x2+36x(0＜x＜12)．
(2)AB边的长为9米
【解析】
【分析】
（1）因为AB=x米，所以BC为（36-2x）米，由长方形的面积列式即可；
（2）将（1）中的二次函数进行配方即可化为顶点式．y=a（x-h）2+k，因为a=-2＜0抛物线开口向下，函数有最大值，即当x=h时，取得最大值．
(1)
∵四边形ABCD是矩形，AB的长为x米，
∴CD=AB=x（米）．
∵矩形除AD边外的三边总长为36米，
∴BC=36-2x（米）．
∴S=x（36-2x）=-2x2+36x．
∵0＜x＜36-2x,
∴自变量x的取值范围是0＜x＜12．
(2)
∵S=-2x2+36x=-2（x-9）2+162，且x=9在0＜x＜12的范围内，
∴当x=9时，S取最大值．
即AB边的长为9米时，花圃的面积最大．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用中求最值的问题．当a＞0时函数有最小值；当a＜0时函数有最大值．求最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解比用公式法简便．
16．（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校九年级期中）如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．

(1)求出二次函数的解析式；
(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
(3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+4x
(2)
(3)存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）
【解析】
【分析】
（1）设y=ax（x-4），把A点坐标代入即可求出答案；
（2）根据点的坐标求出PC=-m2+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；
（3）当0 (1)
解∶∵二次函数的图象经过点和原点O．
∴可设二次函数的解析式为y=ax（x-4），
把点A（3，3）代入，得：3=3a（3-4），
解得：a=-1，
∴二次函数的解析式为y=- x（x-4）=-x2+4x；
(2)
解：根据题意得：0 设直线OA的解析式为，
把点A（3，3）代入，得：3=3k，
解得：k=1，
∴直线OA的解析式为y=x，
∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y=-x2+4x上，C在直线OA上，
∴P（m，-m2+4m），C（m，m），
∴PD=-m2+4m，CD= m，
∴PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2+3m ，
∴当时，线段PC最大，最大；值为；
(3)
解：存在，理由如下：
∵C（m，m），P（m，-m2+4m），
∴OD=m，CD=m，PD=-m2+4m，
，，
当0 由（2）得：PC= PD-CD=-m2+3m，
∴，解得：或0（舍去），
∴此时；
当m≥3时，点C在点D的上方，此时PC=CD-PD=m2-3m，
当OC=PC时，，
解得：或0（舍去），
∴此时点；
当OC=OP时，有OC2=OP2，
∴，
解得：m=5或3（舍去）或0（舍去），
∴此时点P（5，-5），
当PC=OP时，
，
解得：m=4或0（舍去），
∴此时点P（4，0）；
综上所述，存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）．
【点睛】
本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，用的数学思想是分类讨论思想，此题是一个综合性比较强的题目，（3）小题有一定的难度．
17．（2021·全国·九年级单元测试）受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A、B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：

进价（元/个）
售价（元/个）
销量（个/日）
A型
600
900
200
B型
800
1200
400

根据市场行情，该销售商对A手写板降价销售，同时对B手写板提高售价，此时发现A手写板每降低5就可多卖1，B手写板每提高5就少卖1，要保持每天销售总量不变，设其中A手写板每天多销售x，每天总获利的利润为y
（1）求y、x间的函数关系式并写出x取值范围；
（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B手写板，就捐a元给因“新冠疫情”影响的困难家庭，当时，每天的最大利润为229200元，求a的值．
【答案】（1）（），且x为整数；（2），且x为整数；（3）a=30
【解析】
【分析】
（1）根据题意列函数关系式和不等式组，于是得到结论；
（2）根据题意列方程和不等式，于是得到结论；
（3）根据题意列函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）由题意得，
，

解得，
故的取值范围为且为整数；
（2）的取值范围为．
理由如下：，
当时，，
，，
解得：或．
要使，
得；
，
；
（3）设捐款后每天的利润为元，
则，
对称轴为，
，
，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，
当时，最大，
，
解得．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，列函数关系式等等，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2021·贵州遵义·中考真题）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．

（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．
【答案】（1）；（2）最大利润为3840元
【解析】
【分析】
（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；
（2）根据“利润＝（售价−成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润．
【详解】
解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx＋b（k≠0），
则，
解得：，
∴当8≤x≤32时，y＝−3x＋216，
当32＜x≤40时，y＝120，
∴；
（2）设利润为W，则：
当8≤x≤32时，W＝（x−8）y＝（x−8）（−3x＋216）＝−3（x−40）2＋3072，
∵开口向下，对称轴为直线x＝40，
∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大＝2880，
当32＜x≤40时，W＝（x−8）y＝120（x−8）＝120x−960，
∵W随x的增大而增大，
∴x＝40时，W最大＝3840，
∵3840＞2880，
∴最大利润为3840元．
【点睛】
点评：本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．
19．（2019·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点.

（1）求的值和图象的顶点坐标．       
（2）点在该二次函数图象上.   
①当时，求的值；
②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.
【答案】（1）；（2）① 11；②.
【解析】
【分析】
（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a；
（2）①把m=2代入解析式即可求n的值；
②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可.
【详解】
（1）解：把代入，得，
解得.
∵，
∴顶点坐标为.
（2）①当m=2时，n=11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴-2＜m＜2，
∴2≤n＜11.
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
20．（2021·全国·九年级专题练习）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意先分类讨论，当售价超过50元但不超过80元时，上涨的价格是元，就少卖件，用原来的210件去减得到销售量；当售价超过80元，超过80的部分是元，就少卖件，用原来的210件先减去售价从50涨到80之间少卖的30件再减去得到最终的销售量．
（2）根据利润=（售价-成本）销量，现在的单件利润是元，再去乘以（1）中两种情况下的销售量，得到销售利润关于售价的式子．
【详解】
（1）当时，，即．
当时，，即，则
（2）由利润=（售价-成本）×销售量可以列出函数关系式为
【点睛】
本题考查二次函数实际应用中的利润问题，关键在于根据题意列出销量与售价之间的一次函数关系式以及熟悉求利润的公式，需要注意本题要根据售价的不同范围进行分类讨论，结果要写成分段函数的形式，还要标上的取值范围．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2019·北京门头沟·九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且与y轴交于点A，与直线交于点B，C（点B在点C的左侧）.

（1）求抛物线的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”.
①当时，请直接写出“W区域”内的整点个数；
②当“W区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围.
【答案】（1）顶点P的坐标为；（2）① 6个；② ，．
【解析】
【分析】
（1）由抛物线解析式直接可求；
（2）①由已知可知A（0，2），C（2+ ，-2），画出函数图象，观察图象可得；
②分两种情况求：当a＞0时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，抛物线定点经过（2，-1）时，a= ，则＜a≤1；当a＜0时，抛物线定点经过（2，2）时，a=-1，抛物线定点经过（2，1）时，a=-，则-1≤a<-．
【详解】
解：（1）∵y=ax2-4ax+2a=a（x-2）2-2a，
∴顶点为（2，-2a）；
（2）如图，①∵a=2，
∴y=2x2-8x+2，y=-2，
∴A（0，2），C（2+，-2），
∴有6个整数点；
②当a＞0时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，
抛物线定点经过（2，-1）时，，；
∴ ．
当时，抛物线顶点经过点（2，2）时，；
抛物线顶点经过点（2，1）时，；
∴ ．
∴综上所述：，．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
22．（2018·全国·九年级单元测试）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm.. 点M从点A开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度向B点移动，点N从点B开始沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动. 若M, N分别从A， B点同时出发，设移动时间为t (0 (1) 求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值；
(2) 当△DMN为直角三角形时，求△DMN的面积.

【答案】（1）27（2）
【解析】
【分析】
（1）根据t秒时，M、N两点的运动路程，分别表示出AM、BM、BN、CN的长度，由S△DMN=S矩形ABCD－S△ADM－S△BMN－S△CDN进行列式即可得到S关于t的函数关系式，通过配方即可求得最小值；
（2）当△DMN为直角三角形时，由∠MDN<90°，分∠NMD或∠MND为90°两种情况进行求解即可得.
【详解】
(1) 由题意，得AM=tcm，BN=2tcm，则BM=(6－t)cm，CN=(12－2t)cm，
∵S△DMN=S矩形ABCD－S△ADM－S△BMN－S△CDN，
∴S=12×6－×12t－(6－t)·2t－×6(12－2t)=t2－6t+36=(t－3)2+27，
∵t=3在范围0 (2) 当△DMN为直角三角形时，∵∠MDN<90°，∴可能∠NMD或∠MND为90°，
当∠NMD=90°时，DN2=DM2+MN2，
∴(12－2t)2+62=122+t2+(6－t)2+(2t)2，解得t=0或－18，不在范围0 ∴不可能；
当∠MND=90°时，DM2=DN2+MN2，
∴122+t2=(12－2t)2+62+(6－t)2+(2t)2，解得t=或6，(6不在范围0 ∴S=(－3)2+27=cm2.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，涉及矩形的性质、三角形面积、二次函数的性质、勾股定理的应用等知识，熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.

六、（本大题共12分）
23．（2021·上海·中考真题）已知抛物线过点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
【答案】（1）；（2）①1；②点C的坐标是
【解析】
【分析】
(1)将两点分别代入，得,解方程组即可;
（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.
【详解】
解：（1）将两点分别代入，得
解得．
所以抛物线的解析式是．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．

②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得
解得
∴直线的解析式为，
设，
∴，
所以．
所以．
将点代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（与点P重合，舍去）．
当时，．
所以点C的坐标是．
【点评】
本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．