第二十二章 二次函数（B卷·学霸加练卷，难度★★★★★）-【单元测试】九年级数学上册分层训练AB卷（人教版）（解析+原卷）

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班级 姓名 学号 分数
第二十二章 二次函数（学霸加练卷）
（时间：60分钟，满分：100分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022•泉港区模拟）若二次函数的图象经过不同的六点、、、、，、，则、、的大小关系是　　
A． B． C． D．
【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点、、求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
【解答】解：由二次函数可知，抛物线开口向上，
、、、
点关于对称轴的对称点在5与6之间，
对称轴的取值范围为，
，
点到对称轴的距离小于，点到对称轴的距离大于，
，
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．
2．（3分）（2022•威县校级模拟）已知抛物线与直线．甲、乙、丙针对的不同取值，得到以下结论，下列判断正确的是　　
甲：若，则直线与抛物线有1个交点；
乙：若，则直线与抛物线有1个交点；
丙：若，则直线与抛物线有2个交点．
A．乙错，丙对 B．甲错，丙对 C．乙对，丙错 D．甲和乙都错
【分析】由的值确定直线的具体解析式，再由，一元二次方程根的情况即为交点情况．
【解答】解：甲：时，，
，即，
△，
直线与抛物线无交点；
故甲不符合题意；
乙：时，，
，
解得，
直线与抛物线有1个交点为，
故乙符合题意；
丙：时，，
，
解得或，
直线与抛物线有2个交点，
故丙符合题意；
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特点，准确计算是解题的关键．
3．（3分）（2022•松桃县模拟）已知二次函数的图象经过与两点，若，是关于的一元二次方程的两根，则下列结论中正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】把方程的根转化为抛物线和直线的交点，结合图象得出结论．
【解答】解：二次函数的图象经过与两点，
，是关于的一元二次方程的两根，
，是二次函数的图象与直线的交点的横坐标，
如图所示：

由图象可得，，
故选：．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，关键是把方程的根转化为抛物线和直线的交点．
4．（3分）（2022•泰安三模）二次函数，，为常数，中，与的部分对应值如表：



0
1
2
4




0.5
1
0.5


有下列结论：
①函数有最大值，且最大值为1；
②；
③若满足，则或；
④若方程有两个不等的实数根则；
其中正确结论的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据表格给出的数据即可判断；②根据表中数据求出，，的值；③先求出函数解析式，在令，解出一元二次方程的根即可判断；④由△即可求出的取值范围．
【解答】解：①由表格给出的数据可知时，函数有最大值，且最大值为1，故此结论正确；
②把，；，；，代入，
得，
解得：，
故此结论正确；
③由②知，抛物线解析式为，
令，则，
解得：，，
，，
若满足，则或，故本结论正确；
④方程两个不等的实数根，
△，
解得：，
故此结论错误．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法得出二次函数的解析式是解题关键，同时利用了二次函数的性质，函数与不等式的关系．
5．（3分）（2022•孝南区三模）已知：二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有2个交点时，的取值范围是　　
A． B．或 C．或 D．
【分析】如图所示，直线、在图示位置时，直线与新图象有3个交点，即可求解；当直线在如图所示的中间位置时图象有四个交点，综上即可得到答案．
【解答】解：如图所示，直线与轴重合或位于顶点的下方时，直线与新图象有2个交点，
当与轴重合时，；
当直线不与轴重合时，由得到顶点，，此时．
综上所述，的取值范围是或．
故选：．

【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．
6．（3分）（2022春•九龙坡区期末）已知二次函数的图象如图所示，下列结论①；②；③；④，其中正确的是　　

A．①③④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【分析】根据二次函数图象与性质，逐项判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，
，
对称轴是直线，
，即，
，
抛物线与轴交点在正半轴，
，
，故①正确；
由图象可知，时，
，
，故②错误；
，，
，
，故③正确，
时，是函数的最大值，
，
，
，
故④正确，
正确的有①③④，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
7．（3分）（2022•来安县二模）已知实数，满足，则的最大值为　　
A．10 B．22 C．34 D．142
【分析】化简代数式，利用二次函数的最值求解即可．
【解答】解：，
，
，
由二次函数的性质可知，当时，函数有最大值，最大值为34，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8．（3分）（2022•红花岗区三模）已知二次函数下列结论正确是　　
①已知点，点在二次函数的图象上，则；
②该图象一定过定点和；
③直线与抛物线一定存在两个交点；
④当时，的最小值是，则；
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③④
【分析】根据表格中的数据，可得到该二次函数开口向上，对称轴为，再根据二次函数的性质，即可判断题目中各选项是否正确．
【解答】解：二次函数开口向上，对称轴为，所以点关于对称轴的对称点为，
，在对称轴右边，随的增加而增加，
，
，故①错误；
当时，，
，
解得，或，
该图像一定经过定点，，故②正确；
由题意可得方程：，
整理可得：，
△，
直线与抛物线一定存在两个交点，故③正确；
当时，随的增加而减少，
当时，有最小值为，
即，
解得，故④错误；
综上，正确的选项有②③，
故选．
【点评】本题考察二次函数图像与系数的关系，二次函数与语言二次方程．二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数是解题的关键．
9．（3分）（2022•新华区校级一模）如图，抛物线为常数且与轴交于点，过点作轴的垂线，与交于点，点是的顶点．则下列说法；
①当时，射线经过线段的一个端点；
②当时，射线经过线段的一个四等分点；
③当时，射线会经过线段的中点；
④当时，射线会经过线段的一个四等分点．
其中错误的是　　

A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【分析】由求出，，分别求出的中点为，线段的四等分点坐标为，，，，，顶点，直线的解析式为，再结合选项进行判断即可．
【解答】解：①当时，，
对称轴为直线，
，
令，则，
，
轴，
，
设直线的解析式为，
，
，
当时，，
点在直线上，
射线经过线段的一个端点；
故①不符合题意；
②当时，，
，，
可求直线的解析式为，
当时，，
解得，
直线上有一点，，
令，则，
解得或，
，
，
线段的四等分点坐标为，，，，，
射线经过线段的一个四等分点；
故②不符合题意；
③与轴的交点，
令，则，
解得或，
，
的中点为，
的顶点为，
直线的解析式为，
将点代入，
，
，
不存在，
故③符合题意；
④线段的四等分点坐标为，，，，，
直线的解析式为，
将点，代入，可得；
将点代入，可得；
将点，代入，可得；
，
射线不会经过线段的一个四等分点，
故④符合题意；
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求直线的解析式是解题的关键．
10．（3分）（2022•泰安二模）如图，抛物线的对称轴为，经过点，下列结论：
①；②；③；④点，，，在抛物线上，当时，；⑤为任意实数，都有．其中正确结论有　　

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断．
【解答】解：抛物线开口向上，与轴交于负半轴，
，，
抛物线的对称轴为：，
，
，
①正确，②正确；
抛物线过点．
，
，
，
，
③正确．
抛物线开口向上，对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
④错误；
抛物线开口向上，对称轴为，
当时，函数有最小值，
对任意实数，当时的函数值不小于时的函数值，
，即，
，
⑤正确，
正确结论有①②③⑤，共4个，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）（2022•沂源县二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．将抛物线在、之间的部分记为图象（含、两点）．将图象沿直线翻折，得到图象．若过点的直线与图象、图象都相交，且只有两个交点，则的取值范围 　或　．
【分析】根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．
【解答】解：设点关于的对称点为，则点．
若直线经过点和，可得．
若直线经过点和，可得．
直线平行轴时，．

综上，或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式．解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低解题的难度．
12．（3分）（2022•双阳区一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，，，连接，将线段向上平移落在处，且恰好经过这个抛物线的顶点，则四边形的周长为 　　．

【分析】先利用交点式得到抛物线解析式为，则利用配方法得到顶点的坐标为，再确定，则可根据勾股定理计算出，利用待定系数法确定直线的解析式为，接着根据平移的性质可判断四边形为平行四边形，然后利用待定系数法求出直线的解析式得到，然后利用四边形的周长进行计算即可．
【解答】解：抛物线与轴交于和，
抛物线解析式为，
即；
，
顶点的坐标为，
当时，，则，
，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
线段向上平移得到，
，，
四边形为平行四边形，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，则，
，
四边形的周长．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
13．（3分）（2022•梁子湖区二模）如图，正方形的边长为8，是边上一动点（与，不重合），连接．是延长线上一点，过点作的垂线交的平分线于点，则面积的最大值是 　8　．

【分析】先根据正方形的性质和角平分线的性质证明出，设，则，再利用同角的余角相等，判断出，进而得出，得出，然后求出，再根据三角形的面积公式求出的面积，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：作于，
四边形是正方形，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
设，则，
，
四边形是正方形，，
，
，，
，
，
；
，
，
，
，
，
当时，．
故答案为：8．

【点评】主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式以及二次函数求最值，判断出是解本题的关键．
14．（3分）（2022•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、、的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是 　　．

【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的的值即可解决问题．
【解答】解：正方形的顶点、、的坐标分别为、、．
，
当抛物线经过点时，则，
当抛物线经过时，，
观察图象可知，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（3分）（2022•江岸区校级模拟）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③若，则；④，其中正确的序号是 　②③④　．

【分析】根据函数的开口方向以及对称轴的位置、与轴的交点即可判断①④，根据对称轴得出，时，，即可得出，即可判断②；根据根与系数的关系即可判断③．
【解答】解：抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，交轴的正半轴，
，，．
．故①错误；
对称轴，又，则，则，
当时，，
，故②正确；
设抛物线与轴的两个交点的横坐标是和，，则，
，
，故③正确；
，
，
，
，．
，
，故④正确；
故答案是：②③④．
【点评】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，二次函数，①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③．常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
16．（3分）（2022春•西湖区校级期末）已知函数在上有最大值4，则常数的值为 　或　．
【分析】分两种情况：和分别求的最大值即可
【解答】解：．
当时，
当时，有最大值，
，
；
当时，
当时，有最大值，
，
，
综上所述：的值为或．
故答案是：或．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，解题时，注意要分类讨论，以防漏解．
17．（3分）（2022•贵港）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中；⑤若，和，均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有 　3　个．

【分析】根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个坐标为，
把，，代入，可得：
，
解得，
，故③正确；
抛物线开口方向向下，
，
，，
，故①错误；
抛物线与轴两个交点，
当时，方程有两个不相等的实数根，
，故②正确；
，
，
，
又，，
，
即（其中，故④正确；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，
可知二次函数，在时，随的增大而减小，
，
，故⑤错误，
正确的有②③④，共3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
18．（3分）（2022春•浦东新区校级期末）已知点是直线上一动点，以点为顶点的抛物线交轴于点，作点关于轴的对称点，连接、．若是直角三角形，则点的坐标为 　，，，或，　．

【分析】分别求出，的坐标，再求，的值即可．
【解答】解：抛物线的顶点，
当时，，
，，
当是直角三角形时，可能或，
当时，
关于轴的对称点是，
，
，
①，
在直线上，
，代入①得：
，
解得（舍去）或或，
当时，，
当时，，
，或，．
当时，
，
，
（舍去）或，
，
，．
故答案为：，，，或，．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，找到，坐标，判断直角顶点是求解本题的关键．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．（6分）（2022•柯城区校级三模）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．轴是抛物线的对称轴，最高点到地面距离为4米．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？
（3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．

【分析】（1）抛物线的解析式为，根据点的坐标由待定系数法就可以求出结论；
（2）当时代入（1）的解析式，求出的值即可求出结论；
（3）方法同（2）．
【解答】解：（1）根据题意得：，，，
设抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）在中，令得：
，
解得，
距离地面米高处，隧道的宽度是；
（3）这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下：
在中，令得：
，
解得，
，
，
这辆货运卡车能通过该隧道．
【点评】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
20．（6分）（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．
（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的“梅岭点”，则m＝　﹣1　；
若点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，则m＝　3或﹣1　；
（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，请直接写出k的取值范围．
【分析】（1）根据“梅岭点“的定义，P（3．p）的横纵坐标相等，即p＝3m+6＝3；P（m，m）的横纵坐标相等，即m＝，分别求解即得答案；
（2）由题意得：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），方程x2+bx+c＝x的根为：x1＝x2＝﹣2，即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，对比两个方程的系数，即可求出b，c，进而得出答案：y＝x2+5x+4；
（3）先由“梅岭点'的定义证明x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系得出x1+x2＝，x1•x2＝，进而利用|x1﹣x2|＝2，推出k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，再由﹣1＜x1＜1计算出a的取值范
围，即可求出k的取值范围．
【解答】解：（1）∵点P（3，p）是一次函数y＝mx+6的图象上的梅岭点，
∴p＝3m+6＝3，
解得：m＝﹣1，
∵点P（m，m）是函数的图象上的“梅岭点”，
∴m＝，
整理得：m2﹣2m﹣3＝0，
解得：m1＝3，m2＝﹣1，
经检验，m1＝3，m2＝﹣1都是m＝的根，
∴m＝3或﹣1；
故答案为：﹣1；3或﹣1；
（2）点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，
即抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的唯一交点为P（﹣2，﹣2），
∴方程x2+bx+c＝x的根为：x1＝x2＝﹣2，
即方程x2+（b﹣1）x+c＝0可写为（x+2）2＝0，
∴x2+（b﹣l）x+c＝x2+4x+4．
∴b﹣1＝4，c＝4，
∴b＝5，
∴二次函数的表达式为y＝x2+5x+4；
（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常數，a＞0）的图象过点（0，2），
∴c＝2，
∴y＝ax2+bx+2，
∵y＝ax2+bx+2图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），
∴x1＝ax12+bx1+2，x2＝ax22+bx2+2，
∴ax12+（b﹣1）x1+2＝0，ax22+（b﹣1）x2+2＝0，
∴x1、x2是方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝4，
∴b2﹣2b+1﹣8a＝4a2，
∴k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2﹣8a+3＝﹣4（a+1）2+7，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴x1﹣x2＝2或x2﹣x1＝2，
∵﹣1＜x1＜1，
∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3
∴﹣3＜x1•x2＜3，
∴﹣3＜＜3，
∵a＞0，
∴a＞，
∴﹣4（a+1）2+7＜﹣4×（+1）2+7＝﹣，
∴．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，不等式性质等知识点，熟练掌握根与系数关系，理解应用新定义“梅岭点”是解题的关键．
21．（8分）（2022•沂源县二模）已知抛物线的顶点为，与轴的交点为．
（1）请直接写出的解析式；
（2）若直线与仅有唯一的交点，求的值；
（3）若抛物线关于轴对称的抛物线记作，平行于轴的直线记作．试结合图形回答：当为何值时，与和共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点．

【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入，通过解方程求得的值即可；
（2）解方程组得到，由于直线与仅有唯一的交点，于是得到△，解方程即可求得的值；
（3）根据轴对称的性质得到抛物线的解析式为：，根据图象即可得到结论．
【解答】解：（1）抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
把代入得，
，
抛物线的解析式为：，即；
（2）由，得，
直线与仅有唯一的交点，
△，
；
（3）抛物线关于轴对称的抛物线记作，
抛物线的顶点坐标为，与轴的交点为，
抛物线的解析式为，
①当直线过抛物线的顶点和抛物线记作的顶点时，
即时，与和共有两个交点；
②当直线过时，即时，与和共有三个交点；
③当或时，与和共有四个交点．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
22．（8分）（2022•大方县模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过点，，点是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）当点位于直线上方且面积最大时，求的坐标；
（3）若点是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把代入，先求出的值，再求出的坐标，将点、代入解析式，求解即可；
（2）设，则，用含的代数式表示出，可得，利用二次函数求最值求解即可；
（3）分类讨论，当点在轴右侧时，当点在轴左侧时，有菱形的性质可得，，求出的解析式为，设，再根据，建立关于的方程，求解即可．
【解答】解：（1）把代入得，解得，
直线的解析式为．
令，则，
．
把点，代入抛物线的解析式，
得，
解得．
抛物线的解析式为．
令，解得，，
；
（2）设，则，
，
，
．
，
当时，的面积最大，此时；
（3）存在，理由如下：
当点在轴右侧时，四边形为菱形，
，，
设的解析式为，
把坐标代入，得，
，
的解析式为，
设，
，
，
解得或（舍，
；

当点在轴左侧时，同理可得，；

综上，，．
【点评】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．解题关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
23．（8分）（2022•政和县模拟）已知抛物线过点，，直线与抛物线的另一个交点为，交轴正半轴于点，且面积为．
（1）求此抛物线解析式；
（2）求点的坐标；
（3）过点的任意一条直线与抛物线交于，两点，过点作轴于点，
①求证：平分；
②求证：，，三点共线．
【分析】（1）将点，代入，即可求解；
（2）设，求出的直线解析式，从而求出点坐标，再由三角形的面积列出方程，求出即可求解；
（3）①由（2）可知，点的坐标为，设，即可得：，则，故，由，可得，即可证得平分；
②设直线的解析式为，联立方程组，求出，，在求出直线的解析式为，联立方程组为，求出，，再将点坐标代入直线中，从而确定点在直线上，即可证明．
【解答】（1）解：将点，代入，
，
，
；
（2）解：设，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
面积为，
，
或，
点在轴正半轴，
，
，
，
点的坐标为；
（3）证明：①由（2）可知，点的坐标为．
设，
则，，
，
，
，连接，
，
，
平分；

②设直线的解析式为，
联立方程组，
，
，
，
，
，，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
联立方程组，
，
，
，
，
，
，，
将代入，得，
点在直线上，
、、三点共线．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，熟练应用待定系数法求函数解析式，会求直线与抛物线的交点坐标，准确计算是解题的关键．
24．（10分）（2022•南岗区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线分别交轴、轴于、、三点，连接、，的面积为．
（1）求的值；
（2）点在第四象限内抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为，求与的函数关系式；（不需要写出的取值范围）
（3）在（2）的条件下，点在线段上且点坐标为，连接，将射线沿翻折与轴交于点，，点在的平分线上，连接并延长交线段于点，，点到轴的距离等于，过点作轴且与过点的直线交于点，连接交线段于点，若，，求直线的解析式．

【分析】（1）求得，设，，从而，即：，根据根与系数的关系得，，进一步求得的值；
（2）作于，交于，可得，进而求得直线的解析式为：，从而得出和的坐标，进而表示出与的关系式；
（3）作，交于，连接，作于，在上截取，作于，作于，作于，将绕点逆时针旋转知，可得出四边形是正方形，可得出，从而得出，根据，从而求得，进一步求得结果．
【解答】解：（1）由题意得，，
，
，
设，，
，
，
令，，
，，
，
；
（2）如图1，

作于，交于，
，
，
由，
，，
，
，
直线的解析式为：，
当时，，，
，
；
（3）如图2，

作，交于，连接，作于，
平分，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
在上截取，作于，作于，
，，
，
平分，
，
，
，
轴，
，
，
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
到轴距离，
，
，
，
，
，
，，
作于，
设，
，
，
设，
，
，
，
，
，
将绕点逆时针旋转知，
，，，
，
，
，
，，
设，则，，
在中，
，
，
，
，
，
，
设的解析式为：，
，
，
．
【点评】本题以二次函数为背景，考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“半角”的模型．