第二十二章 二次函数培优检测卷（重点突围）-【学霸满分】2022-2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）(解析+原卷)

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《第二十二章 二次函数》培优检测卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第二十二章 二次函数； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022·浙江杭州·九年级期末）下列函数中，是二次函数的是（       ）
A．y＝2x﹣3 B． C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（1﹣x）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义判断即可．
【详解】
解：A．y=2x-3，不是二次函数，故不符合题意；
B．，不是二次函数，故不符合题意；
C．y=（x-5）2-x2=x2-10x+25-x2=-10x+25，不是二次函数，故不符合题意；
D．y=x（1-x）=-x2+x，是二次函数，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．（2022·湖北恩施·九年级期末）抛物线的顶点坐标是（        ）
A．(1，0) B．(－1，0) C．(1，2) D．(－1，2)
【答案】A
【解析】
【分析】
题中抛物线解析式为一般式，转化为顶点式即可一目了然得到顶点坐标．
【详解】
解：可转化为，
与抛物线的顶点式对比，
可以得出，顶点坐标为
故选A．
【点睛】
本题考查抛物线的解析式之间互相转化以及顶点坐标的求解，解决本题的关键是熟练个解析式之间的相互转化．
3．（2022·河南周口·九年级期末）已知抛物线经过和两点，则n的值为（     ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的，即可求解．
【详解】
解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的对称性．
4．（2022·安徽合肥·九年级期末）将函数y=2x2+4x+1的图象向下平移两个单位，以下结论正确的是(     )
A．开口方向改变 B．对称轴位置改变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
【答案】C
【解析】
【分析】
由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．
【详解】
函数y=2x2+4x+1的图象向下平移两个单位，开口方向不改变，对称轴位置不改变，与y轴的交点改变，故A、B、D错误；
y随x的变化情况不变，故C正确；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．
5．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（   ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意分两种情况讨论，结合函数图象即可求解．
【详解】
解：A.正比例函数中，二次函数开口向上，，与轴的交点在轴正半轴，则，矛盾，故A不正确；
B.正比例函数中，二次函数开口向上，，与轴的交点在轴正半轴，则，矛盾，故B不正确；
C.正比例函数中，二次函数开口向下，，与轴的交点在轴正半轴，则，故C正确；
D. .正比例函数中，二次函数开口向下，，与轴的交点在轴正半轴，则，矛盾，故D不正确；
故选C
【点睛】
本题考查了正比例函数与二次函数的图象的性质，掌握正比例函数与二次函数的图象的性质是解题的关键．
6．（2022·河南驻马店·九年级期末）如表中列出的一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
……
﹣2
0
1
3
……
y
……
6
﹣4
﹣6
﹣4
……
下列各选项中，正确的是（　　）
A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6 D．当x＞﹣1，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】
根据表格中数据求出抛物线对称轴为直线x＝，当x＜时，y随x增大而减小，当x＞时，y随x增大而增大，然后逐项分析即可．
【详解】
解：∵抛物线经过点（0，−4），（3，−4），
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∵抛物线经过点（−2，6），（1，−6），
∴当x＜时，y随x增大而减小，当x＞时，y随x增大而增大，
∴抛物线开口向上，且与x轴有交点，故A，B，D错误，不符合题意；
∵抛物线对称轴为直线x＝，开口向上，且过点（1，−6），
∴该抛物线在x＝处取得最小值，且最小值小于−6，故C正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是根据表格中数据求出抛物线对称轴，判断出开口方向及增减性．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2021·广东湛江·九年级期末）二次函数y＝2(x－3)2＋1的最小值是_______．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴当时，二次函数有最小值，最小值为1．
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．（2021·广东湛江·九年级期末）抛物线y＝x2－5x＋6与y轴交点的坐标是______．
【答案】（0，6）
【解析】
【分析】
将x=0代入抛物线解析式，求得对应的y值，然后可得抛物线与y轴交点坐标．
【详解】
解：当x=0时，y=6，
∴抛物线与y轴交点的坐标是（0，6）；
故答案为：（0，6）．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点的坐标求法是解题关键．
9．（2022·重庆巴蜀中学八年级期中）已知，在二次函数的图像上，比较______．（填>、<或=）
【答案】>
【解析】
【分析】
首先确定二次函数图像的对称轴为，根据二次项系数可知图像开口向上，根据点、点的横坐标和对称轴的位置即可判断y1、y2的大小．
【详解】
解：∵二次函数，
∴其对称轴为直线，
又∵二次项系数，
∴二次函数开口向上，图像上的点的横坐标距离对称轴越远，点的纵坐标越大，
∵，，
∴．
故答案为：>．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的性质，利用二次函数图像的性质确定y1、y2大小是解题的关键．
10．（2022·湖南长沙·九年级期末）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质利用对称轴构建不等式即可解决问题．
【详解】
解：∵二次函数的对称轴是，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴﹣≤1，
∴m≥1．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质．
11．（2022·上海市娄山中学九年级期中）如图，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知厘米，设DG的长为x厘米，矩形DEFG的面积为y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为__________．（不要求写出定义域）

【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，列出y关于x的函数解析式即可；
【详解】
解：∵是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴BE⊥DE，
∴BE=DE，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，关键在于根据题意列出二次函数关系式．
12．（2022·上海市张江集团中学八年级期末）已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为___．

【答案】或或
【解析】
【分析】
分两种情况：∠BAC=90°，则由题意得OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可．
【详解】
由题意得：A(m，h)，且，
上式中令x=0，得，
∴．
∵点A在直线上，
∴，
即，，
∵点B、点C关于x轴的对称，
则．
①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线，
∴OA=OB，
∵，，
则，
由于m≠0，
解得：或，
所以点A的坐标为或；
②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同，

即，
∴，m=0（舍去），
所以点A的坐标为；
综上所述，点A的坐标为或或．
【点睛】
本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象，直角三角形的性质等知识，注意分类讨论，避免遗漏．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·江苏淮安·九年级期末）已知一个二次函数的图像过（－1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式．
【答案】y＝4x2－3x＋3
【解析】
【分析】
用待定系数法求解即可．
【详解】
解：设这个二次函数的解析解析式为y=ax2+bx+c，把（－1，10）、（1，4）、（0，3）分别代入，得
，解得：，
∴这个二次函数的解析解析式为y＝4x2-3x＋3．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
14．（2021·全国·九年级课时练习）已知是关于的二次函数，试确定的值．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义：最高次数是2，二次项系数不能是0，求出m的值．
【详解】
解：根据题意得，，解得，，
∵，即，
∴．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，解题的关键是二次函数的定义．
15．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知二次函数＝﹣x2+6x﹣8．
(1)求该二次函数的图像与x轴的两个交点坐标；
(2)求出这个二次函数的顶点坐标．
【答案】(1)（2，0），（4，0）
(2)（3，1）
【解析】
【分析】
（1）令y=0，可求出它函数图象与x轴的交点坐标；
（2）将二次函数的解析式化为顶点式，可求出顶点坐标．
(1)
解：当y=0时，-x2+6x-8=0，
解得：x1=2，x2=4，
∴二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为（2，0），（4，0）．
(2)
y=-x2+6x-8=-（x2-6x）-8=-（x-3）2+1，
∴二次函数的顶点坐标为（3，1）．
【点睛】
本题考查的是二次函数基本性质，掌握二次函数顶点坐标的求法是关键．
16．（2022·浙江杭州·九年级期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：
解：当x＝﹣1时，y＝1；
当x＝2时，则y＝4；
所以函数y的最小值为1，最大值为4
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
【答案】小王的做法是错误的，当-1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【详解】
解：小王的做法是错误的，
正确的做法如下：
∵二次函数y=x2，
∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，
∵-1≤x≤2，
∴当x=0时取得最小值，最小值是0，
当x=2时取得最大值，此时y=4，
由上可得，当-1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答，注意x的取值范围．
17．（2022·江苏无锡·中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．

(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)x的值为2m；
(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2
【解析】
【分析】
（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
(1)
解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
(2)
解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜，
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而减少，
∴当x=时，S有最大值，最大值为，
即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·陕西西安·模拟预测）已知抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C．

(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)抛物线L关于y轴对称的抛物线为，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)，，
(2)存在，点P的横坐标为或或或
【解析】
【分析】
（1）把x＝0，y＝0分别代入，求出相应的函数值或自变量，即可求出A、B、C三点的坐标；
（2）先根据抛物线L的关系式求出抛物线的函数关系式为，然后根据，得出或BP平分AC，再进行分类讨论，求出点P的横坐标即可．
(1)
解：当x＝0时，y＝3；当时，x＝－3或1；
∴，，
(2)
在抛物线上存在点P，使得；
∵抛物线与抛物线为关于y轴对称，
∴该抛物线，
∵，且BP为公共边，
∴点A、C到BP的距离相等．
∴或BP平分AC，
当时，如图①所示：

设直线AC的解析式为：，
把A（-3，0）代入得：，
解得：，
∴直线，
∴设直线，把代入得：1＋b＝0，
解得：b＝－1，
∴直线，
联立，
解得，；
当BP平分AC时，如图②所示：

取AC中点D，
∵，，
∴，
设直线，把、代入得：，
解得，
∴直线，
联立，
解得，；
∴点P的横坐标为：或或或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线与坐标轴的交点坐标，求一次函数解析式，根据，判断出或BP平分AC，是解题的关键．
19．（2022·江苏泰州·九年级期末）校园景观设计：如图1，学校计划在流经校园的小河上建造一座桥孔为抛物线的小桥，桥孔的跨径为8m，拱高为6m．

(1)把该桥孔看作一个二次函数的图像，建立适当的平面直角坐标系，写出这个二次函数的表达式；
(2)施工时，工人师傅先要制作如图2的桥孔模型，图中每个立柱之间距离相等，请你计算模型中左侧第二根立柱（AB）的高．
【答案】(1)（建系的方式不同，则答案不定）
(2)
【解析】
【分析】
（1）以桥孔正上方中心为原点O，过原点的水平线为x轴，过原点的垂线为y轴建立直角坐标系，设这个二次函数的解析式为，根据桥孔的跨径为8m，拱高6m，可知二次函数过点(-4,-6)和(4,-6)两个点，代入坐标即可求解，
（2）根据每根立柱的间距相等，由图可知B点坐标为(-2,-6)，A点的横坐标与B点相等也为-2，将x=-2代入表达式，求出A点坐标，则AB可得．
(1)
以桥孔正上方中心为原点O，过原点的水平线为x轴，过原点的垂线为y轴建立直角坐标系，如图，

设这个二次函数的解析式为，
根据桥孔的跨径为8m，拱高6m，可知二次函数过点(-4,-6)和(4,-6)两个点，
将(-4,-6)代入，有-6=16a，
解得：，
即这个二次函数的解析式为；
(2)
根据每根立柱的间距相等，由图可知B点坐标为(-2,-6)，A点的横坐标与B点相等也为-2，
即将x=-2代入得，即A点坐标为：，
即，
即模型中左侧第二根立柱AB的高度为．
【点睛】
此题考查了二次函数的应用，正确得出二次函数图像上点的坐标是解答本题的关键．
20．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）已知抛物线
(1)该抛物线的对称轴为_____________；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；
(3)设点该抛物线上，若，求m的取值范围．
【答案】(1)直线x=-1；
(2)或
(3)当a＞0时，m＜-4或m＞2；当a＜0时，-4＜m＜2
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得抛物线的对称轴；
（2）抛物线的顶点在x轴上，可得顶点坐标为（-1，0），进而可得a的值；
（3）根据点N（2，y2）关于直线x=-1的对称点为N′（-4，y2），进而可得m的取值范围．
(1)
由
则对称轴为直线
故答案为：直线x=-1；
(2)


∵抛物线顶点在x轴上，
即当x=-1时，y=0，
∴3a2-a-4=0，
解得a＝−1或a＝．
(3)
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴N（2，y2）关于直线x=-1的对称点为N’（-4，y2）．
（ⅰ）当a＞0时，若y1＞y2，则m＜-4或m＞2；
（ⅱ）当a＜0时，若y1＞y2，则-4＜m＜2．
【点睛】
本题考查的待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2022·福建省福州第一中学八年级期末）对于抛物线．
x
…





…
y
…





…


(1)它与x轴交点的坐标为______，与y轴交点的坐标为______，顶点坐标为______；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
(3)当时，直接写出y的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)图象见详解
(3)
【解析】
【分析】
（1）令y=0，x=0时可求出该抛物线与x轴、y轴的交点坐标，然后把二次函数解析式配成顶点式可求出顶点坐标；
（2）先完成题中的表格，然后再坐标系中描点连线即可；
（3）根据二次函数的性质与图象可进行求解．
(1)
解：令y=0时，则有，解得：，
∴该二次函数与x轴的交点坐标为；
令x=0时，则有，
∴该抛物线与y轴交点的坐标为，
由可知顶点坐标为；
故答案为，，；
(2)
解：表格如下所示：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
0
-3
-4
-3
0
…
则根据描点法可得如下图象：

(3)
解：如（2）中图象可知：当时，y的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
22．（2022·山东德州·九年级期末）某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．相关物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，经过调查，每天销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其部分对应数据如表．
销售单价x（元/件）
…
20
30
40
…
每天销售量（y件）
…
500
400
300
…
(1)把表中x、y的各组对应值作为点的坐标，求出函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？
(3)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)y＝﹣10x+700
(2)当售价为30元时，利润为8000元
(3)当销售单价为35元时利润最大，最大利润为8750元
【解析】
【分析】
（1）根据题意，设这个一次函数的解析式为y＝kx+b，代入表格中的两组数据求解即可；
（2）根据“利润=（单价-成本）×销量”列方程求解即可，注意解方程得结果要符合题意；
（3）设总利润为w元，根据“利润=（单价-成本）×销量”列出函数关系式，再根据二次函数的图象与性质求出函数最大值即可．
(1)
解：设这个一次函数的解析式为y＝kx+b，
∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，
∴，
解得，
∴函数关系式是y＝﹣10x+700．
(2)
解：依题意得：（x﹣10）（﹣10x+700）＝8000，
解得：x1＝30，x2＝50（舍），
所以当售价为30元时，利润为8000元．
(3)
解：设总利润为w元，
则w=（x﹣10）（﹣10x+700）=-10x2+800x-7000（10≤x≤35）．
∵函数图象开口向下，对称轴为直线x=40，
∴当10≤x≤35时，w随x的增大而增大，
∴当x=35时，y最大=8750．
∴当销售单价为35元时利润最大，最大利润为8750元．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际问题、二次函数的图象和性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识，根据“利润=（单价-成本）×销量”列方程或列出函数解析式是解答本题的关键．
六、（本大题共12分）
23．（2022·浙江杭州·九年级开学考试）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+2（m＞0）交y轴于点A，BA⊥y轴交抛物线于点B．

(1)用m的代数式表示AB的长．
(2)已知m＝1，且点B，C关于原点对称．
①判断点C是否落在抛物线上，并说明理由．
②点P是抛物线上一点，点P关于x轴、y轴的对称点分别为点Q，R，是否存在这样的点P，使得点Q，R恰好都在直线BC上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)AB＝2m
(2)①落在抛物线上，理由见解析；②存在，点P的坐标为（2+2，﹣2﹣2）或（2﹣2，﹣2+2）
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的对称轴为直线x＝m，即可求解；
（2）①当m＝1时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2，求出点C的坐标，然后判断即可；
②设点P的坐标为（a，﹣a2+a+2），则点Q、R的坐标分别为（a，a2﹣a﹣2）、（﹣a，﹣a2+a+2），由点Q、R在直线BC上，即可求解．
(1)
解：∵y＝﹣x2+mx+2＝﹣（x－m）2＋m2＋2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵点A、B关于抛物线对称轴对称，
∴ AB＝2m；
(2)
解：①当m＝1时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2，
对于y＝﹣x2+x+2，
令x＝0，则y＝2，
∴点A的坐标为（0，2），
由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝m＝1，
而点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴点B的坐标为（2，2），
∵点B，C关于原点对称，
∴点C的坐标为（﹣2，﹣2），
当x＝﹣2时，y＝﹣x2+x+2＝﹣2，
∴点C在抛物线上；
②设点P的坐标为（a，﹣a2+a+2），
则点Q、R的坐标分别为（a，a2﹣a﹣2）、（﹣a，﹣a2+a+2），
由B、C的坐标知，直线BC在一、三象限的平分线上，
故直线BC的表达式为y＝x，
则a＝a2﹣a﹣2，﹣a＝﹣a2+a+2，
解得a＝2±2，
故点P的坐标为（2+2，﹣2﹣2）或（2﹣2，﹣2+2）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、点的对称性等，有一定的综合性，难度不大．