第二十三章 旋转培优检测卷（重点突围）-【学霸满分】2022-2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）(解析+原卷)

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《第二十三章 旋转》培优检测卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022·天津市静海区第二中学九年级阶段练习）平面直角坐标系内，与点P(﹣3，2)关于原点对称的点的坐标是(       )
A．(3，-2) B．(2，-3) C．(2，3) D．(﹣3，2)
【答案】A
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】解：与点P(-3，2)关于原点对称的点的坐标是(3，-2)，
故选：A．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
2．（2022·全国·九年级专题练习）在以下生活现象中，属于旋转变换的是（　　）
A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动
C．坐在火车上睡觉的旅客 D．地下水位线逐年下降
【答案】A
【分析】根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确；
B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误；
C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误；
D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题是考查图形的平移、旋转的意义．图形平移与旋转的区别在于图形是否改变方向，平移图形不改变方向，旋转图形改变方向；旋转不一定作圆周运动，象钟摆等也属于旋转现象．
3．（2022·福建·莆田擢英中学九年级期末）如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，AC=1，则BB′的长为（     ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】在直角△ABC中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得AB，而BB′=2AB，据此即可求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∴BB′=2AB=4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，直角三角形的性质：30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
5．（2022·江苏泰州·八年级期末）如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（       ）

A．（1，1） B．（4，4） C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）
【答案】A
【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，

点E即为旋转中心，E（1，1），
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
6．（2022·全国·九年级专题练习）等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（　　）

A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024
【答案】B
【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，用2023除以3，根据余数为1可知点C在数轴上，然后进行计算即可得解．
【详解】解：如图，每3次翻转为一个循环组依次循环，

∵2023÷3＝674…1，，
∴翻转2023次后点C在数轴上，
∴点C对应的数是0﹣674×3＝﹣2022．
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每3次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·浙江杭州·八年级期末）在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则______．
【答案】-2
【分析】直接利用关于原点对称点的性质，得出a，b的值，即可得出答案．
【详解】解：∵坐标系中点A（1，a）和点B（b，1）关于原点中心对称，
∴b＝−1，a＝−1，
则a＋b＝−1−1＝−2．
故答案为：−2．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，掌握关于原点对称的两个点的坐标特征是解题的关键．
8．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图, 在平面直角坐标系 中， 由 绕点 旋转得到，则点 的坐标为_________．

【答案】（1，-1）
【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：如图，点P即为所求，P（1，-1）．

故答案为：（1，-1）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
9．（2021·黑龙江·兰西县崇文实验学校九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=110°，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转到平行四边形的位置，旋转角α（0°＜α＜70°），若恰好经过点D，则α的度数为__．

【答案】40°##40度
【分析】由平行四边形的性质和旋转的性质得出=AD，∠=∠ADC=70°，由等腰三角形的性质得出∠=∠=70°，再由三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∴∠ADC=180°-110°=70°，
由旋转的性质得：=AD，∠=∠ADC=70°，
∴∠=∠=70°，
∴∠α=180°-2×70°=40°；
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和旋转的性质，由等腰三角形的性质求出∠=∠ADC=70°是解决问题的关键．
10．（2022·江苏镇江·八年级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为 _____cm2．

【答案】16
【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半，即可得出结果．
【详解】解：∵O是平行四边形两条对角线的交点，平行四边形ABCD是中心对称图形，
∴△OEF≌△OHM，四边形OFBG≌四边形OMDN，四边形OGCH≌四边形ONAE，
∴S平行四边形ABCD=2阴影部分的面积=2×8=16（cm2）．
故答案为：16．

【点睛】本题考查了中心对称，平行四边形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半是解题的关键．
11．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在等边三角形网格中，已有两个小等边三角形被涂黑，若再将图中其余小等边三角形涂黑一个，使涂色部分构成一个轴对称图形，则有_______种不同的涂法．

【答案】3
【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
【详解】如图所示：当将1，2，3涂成黑色可以构成一个轴对称图形，

故有种不同3的涂法．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
12．（2022·江西吉安·八年级期末）如图，已知是等腰直角三角形，，将线段AC绕点A逆时针旋转得到，连接，．当是等腰三角形（不含等腰直角三角形）时，______．

【答案】30°，60°或150°
【分析】分四种情况：当CC′=BC′，点C′在△ABC的内部时，如图1，过点C′作C′D⊥BC于点D，C′E⊥AC于点E，可得C′E=AC′，得出∠C′AC=30°，即α=30°；当CC′=BC时，如图2，可证得△ACC′是等边三角形，得出∠CAC′=60°，即α=60°；当BC=BC′时，如图3，可得出∠CAC′=90°，即α=90°，此时△BCC′为等腰直角三角形与题意不含等腰直角三角形不相符，舍去；当CC′=BC′，且点C′在△ABC外部时，如图4，过点C′作C′D⊥BC于点D，过点A作AE⊥C′D于点E，得出AE=AC′，∠AC′E=30°，进而求得∠CAC′=90°+60°=150°，即α=150°．
【详解】解：当CC′=BC′，点C′在△ABC的内部时，如图1，过点C′作C′D⊥BC于点D，C′E⊥AC于点E，取A C′的中点F，连接EF，


∵CC′=BC′，C′D⊥BC，
∴CD=DB=BC，
∵∠ACB=∠C′EC=∠C′DC=90°，
∴四边形CDC′E是矩形，
∴C′E=CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
由旋转得：AC′=AC，
∴C′E=AC′，EF=A C′= C′F，
∴C′E= EF= C′F，
∴三角形C′EF是等边三角形，
∴∠EC′F=60°
∵∠AEC′=90°，
∴∠C′AC=30°，
即α=30°；
当CC′=BC时，如图2，


由旋转得：AC′=AC，
∵CC′=BC，AC=BC，
∴AC=AC′=CC′，
∴△ACC′是等边三角形，
∴∠CAC′=60°，
即α=60°；
当BC=BC′时，如图3，


由旋转得：AC′=AC，
∵BC=BC′=AC，
∴AC=BC=BC′=AC′，
∴四边形ACBC′是菱形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBC′是正方形，
∴∠CAC′=90°，
即α=90°，此时△BCC′为等腰直角三角形与题意不含等腰直角三角形不相符，舍去；
当CC′=BC′，且点C′在△ABC外部时，如图4，

过点C′作C′D⊥BC于点D，过点A作AE⊥C′D于点E，取A C′的中点F，连接EF，
则∠AED=∠CDC′=∠ACB=90°，
∴四边形ACDE是矩形，
∴AE=CD，∠CEA=90°，
∵CC′=BC′，C′D⊥BC，
∴CD=BC，
由旋转得AC′=AC，
又∵AC=BC，   
∴AE=AC′，EF=A C′=AF，
∴三角形AEF是等边三角形，
∴AE= EF= AF，
∵∠AEC′=90°，
∴∠AC′E=30°，
∴∠C′AE=60°，
∴∠CAC′=90°+60°=150°，
即α=150°；
综上所述，α=30°或60°或150°．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，特殊四边形的性质等腰三角形性质，旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，掌握特殊四边形的性质．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·江西抚州·八年级期中）如图，两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=16cm．

(1)求∠BCE的度数；
(2)求CF的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质可得∠D=∠CAB，DC=AC，通过等腰三角形的性质等边对等角得∠D=∠DAC，进而求出各角的度数并进行转换可得；
（2）根据勾股定理解三角形可得．
（1）
根据旋转可得，∠D=∠CAB，DC=AC，
∴∠D=∠DAC，
∵∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，
∴∠D=∠CAB=60°，
∴∠DCA=60°，
∴∠ACF=90°-60°=30°，
∴∠BCE=60；
（2）
在RtABC中，∠B=30°，AB=16cm，
∴ AC=AB=8cm
∵∠CAB=60°，∠ACF=30°
∴∠AFC=90°，
∴AF=AC=4cm
∴CF==．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形等边对等角的性质和勾股定理的运用，掌握旋转的性质是解题的关键．
14．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，在正方形网格中，和的顶点均在格点上，并且是由旋转得到的．根据所给信息，填空：

(1)旋转中心为点____________、旋转角的度数为____________、旋转方向为____________；
(2)连结，则四边形的形状是____________．
【答案】(1)C，90，顺时针
(2)平行四边形
【分析】（1）由图形可直接求解；
（2）由旋转的性质可得，从而可得，即可求解．
（1）
解：根据题意得：旋转中心为点C，
旋转角为，即旋转角的度数为90，
旋转方向为顺时针；
故答案为：C，90，顺时针
（2）
解：根据题意得：，
∴，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：平行四边形
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定，掌握旋转的性质是解题的关键．
15．（2022·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）我们把顶点都在格点上的四边形叫做格点四边形．如图，在4×4的方格纸中，有格点线段AB，AC，BC，请按要求画出格点四边形．

(1)在图1中画格点四边形ABCD，使其为中心对称图形．
(2)在图2中画格点四边形ABCE，使得对角互补．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的性质即可在图1中画格点四边形ABCD，使其为中心对称图形．
（2）在图2中画格点四边形ABCE，使得∠BAE=∠BCE= 90°，即∠BAE+∠BCE=180°，可得对角互补．
（1）
如图1，四边形ABCD即为所求；

（2）
如图2，四边形ABCE即为所求．

【点睛】本题考查了作图-旋转变换，多边形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
16．（2022·江西鹰潭·八年级期末）如图，在中，，将沿射线BC的方向平移，得到，，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，求旋转角的度数．

【答案】旋转角为60°
【分析】由平移的性质可得出，，从而可求出．再根据旋转的性质可得出，即证明为等边三角形，得出，即旋转角为60°．
【详解】由平移的性质可知：，．
∵，
∴．
由旋转的性质可知：，
∴，
∴为等边三角形，
∴，即旋转角为60°．
【点睛】本题考查平移、旋转的性质，等边三角形的判定和性质．本题由平移和旋转的性质证明出为等边三角形是解题关键．
17．（2022·江苏·飞达路中学八年级阶段练习）如图，在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△DEF，A与点D ，点B与点E，点C与点F是对应点．

(1)请利用网格线画图找到旋转中心，将其标记为点P并写出其坐标；
(2)写出其旋转角α的度数；
(3)在△DEF的DF边上利用网格线画图找一点Q，连接EQ，使 =．
【答案】(1)见解析，旋转中心点P的坐标为（-1，2）；
(2)α=90°；
(3)见解析
【分析】（1）对应点连线段的垂直平分线的交点P，即为旋转中心；
（2）根据旋转角的定义判断即可；
（3）由旋转的性质知，取格点W，连接EW交DF于点Q，利用平行四边形的性质得到点Q是DF的中点，则点Q即为所求．
（1）
解：如图，旋转中心为点P，点P的坐标为（-1，2）；
；
（2）
解：旋转角为∠APD=90°，即α=90°；
（3）
解：如图，点Q即为所求．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·江苏·江阴市青阳初级中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为A（-2，3），B（-3，2），A（-1，1）．

(1)将绕原点O顺时针旋转90°得到，请画出旋转后的；
(2)画出绕原点O旋转180°后得到的；
(3)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)(1，0)
【分析】（1）将三顶点绕原点顺时针旋转90°得到；
（2）将三顶点绕原点顺时针旋转90°得到；
（3）与是中心对称图形连接对应点即可得到答案．
（1）
如图，即为所求．
（2）
如图，即为所求．
（3）
∵与是中心对称图形，
连接，交点为Q，
观察交点得交点Q为：(1，0) ．
故答案为：(1，0)．

【点睛】本题考查了旋转作图和中心对称得性质，解决本题的关键时正确的作图．
19．（2022·陕西西安·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F．

(1)填空：E是线段CD的 　　，点A与点F关于点 　　成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 　　三角形．
(2)四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积．
【答案】(1)中点，E，等腰
(2)12
【分析】（1）先证明△ADE≌△FCE（ASA），得到AE＝FE，AD＝CF，利用中心对称的定义回答即可，然后证得AB＝BF，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即可；
（2）由△ADE≌△FCE得到△ADE的面积等于△FCE的面积，从而得到答案．
（1）
解：∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段CD的中点，DE＝EC，
∵ADBC，
∴∠D＝∠DCF，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE，AD＝CF，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
∵AB＝AD+BC，BF＝CF＋BC＝AD＋BC，
∴AB＝BF，
则△ABF是等腰三角形．
故答案为：中点，E，等腰；
（2）
∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE与△FCE面积相等，
∴△ABF的面积等于四边形ABCD的面积，
∵四边形ABCD的面积为12，
∴△ABF的面积为12．
【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称．
20．（2022·重庆·忠县花桥镇初级中学校八年级阶段练习）如图，等腰Rt△CEF绕正方形ABCD的顶点C顺时针旋转，且AB＝CE＝EF，∠CEF＝90°．连接AF与射线BE交于点G．

(1)如图1，当点B、C、F三点共线时，则∠ABE　　∠FEM（填“＞”、“＝”或“＜”），则AG　　FG（填“＞”、“＝”或“＜”）；
(2)如图2，当点B、C、F三点不共线时，求证：AG＝GF；
(3)若等腰△CEF从图1的位置绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤90°），当直线AB与直线EF相交构成的4个角中最小角为30°时，直接写出α的值．
【答案】(1)=，=
(2)见解析
(3)15°或75°
【分析】（1）由三角形的内角和和等腰三角形的性质可求∠CBE=∠CEB=22.5°=∠BFA，可求解；
（2）过F作FHAB交直线BE于H，由“AAS”可证△AGB≌△FGH，可得AG=GF；
（3）分两种情况讨论，利用四边形的内角和定理可求旋转后的∠BCE的度数，即可求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是正方形，△CEF是等腰直角三角形，
∴AB=BC=CE=FE，∠ECF=∠EFC=45°，∠ABC=90°，
∵AB=CE=EF=BC，
∴∠CBE=∠CEB=22.5°，
∴∠ABE=67.5°，∠FEM=∠EBF+∠BFE=67.5°，
∴∠ABE=∠FEM，
连接AC，

∵四边形ABCD是正方形，△CEF是等腰直角三角形，
∴AC=AB，CF=CE，∠ACB=45°，
∴AC=CF，
∴∠CAF=∠AFC=22.5°，
∴∠BAG=∠ABG=67.5°，∠AFC=∠GBF=22.5°，
∴AG=BG=GF，
故答案为：=，=；
（2）
证明：过F作FHAB交直线BE于H，

∴∠ABG=∠FHE，
∵AB=BC，AB=CE，
∴BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，∠FEM+∠CEB=180°-90°=90°，
∴∠ABG=∠FEH，
∵∠ABG=∠FHE，
∴∠FHE=∠FEH，
∴EF=FH，
∴FH=AB，
又∠AGB=∠FGH，
∴△AGB≌△FGH（AAS），
∴AG=GF；
（3）
解：如图3，当直线EF与直线AB的交于点A上方，

∵∠P+∠PBC+∠PEC+∠BCE=360°，
∴∠BCE=150°，
∴α=150°-135°=15°；
如图4，当直线EF与直线AB交于点A下方，

∵∠P+∠PBC+∠PEC+∠BCE=360°，
∴∠BCE=150°，
∴∠DCE=360°-150°-90°=120°，
∴α=120°-45°=75°；
综上所述：α的值为15°或75°．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四边形的内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2022·吉林长春·七年级期末）如图，在长方形中，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒．

(1)当点在边上运动时，______（用含的代数式表示）；
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)当时，求的值；
(4)若点关于点的中心对称点为点，直接写出和面积相等时的值．
【答案】(1)2t-4（2≤t≤5）；
(2)
(3)t=或；
(4)满足条件的t的值为或．
【分析】（1）判断出时间t的取值范围，根据线段的和差定义求解；
（2）先判断P的位置，再根据BP+CQ=BC，构建方程求解；
（3）分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解；
（4）分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解；
（1）
解：当2≤t≤5时，PB=2t-4，
故答案为：（2t-4）（2≤t≤5）；
（2）
当时，重合，此时不重合，
当P，Q重合时，2t-4+t=6，
∴；
（3）
当BQ=2PB时，6-t=2（4-2t）或6-t=2（2t-4），
解得，或，
∴t=或；
（4）
当点P在AB上时，如图甲所示，
∴×2（4-2t）×6=×t×4，
解得，．
当点P在BC上时，如图乙所示，
×2（2t-4）×4=×t×4，解得，，
综上所述，满足条件的t的值为或．

【点睛】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
22．（2022·广东深圳·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，△ABO为直角三角形，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝3，点C为OB上一动点．

(1)点A的坐标为 ；
(2)连接AC，并延长交y轴于点D，若△OAD的面积恰好被x轴分成1∶2两部分，求点C的坐标；
(3)如图2，若∠OAC＝30°，将△OAB绕点O顺时针旋转，得到△OA'B'，如图2所示，OA'所在直线交直线AC于点P，当△OAP为直角三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)点C的坐标为或
(3)点的坐标或或 或
【分析】（1）由含30度角的直角三角形的性质以及平面直角坐标系即可求解；
（2）分两种情况讨论，S△OCD=2S△AOC时，2S△OCD=S△AOC时，由三角形的面积关系可求点D坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式，即可求解；
（3）分两种情况，当∠APO=90°时，当∠AOP=90°时，根据含30度角的直角三角形的性质可求解．
（1）解：∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=3，∴AO=2AB，∵AO2=AB2+OB2，∴BA=，∴A．
（2）根据题意分两种情况讨论：①S△OCD=2S△AOC时，∴×OC×OD=2××OC×AB，∴OD=2AB=2，∴点D（0，-2），设直线AD的解析式为y=kx-2，∴=3k-2，∴k=，∴直线AD的解析式为y=x-2，∴当y=0时，x=2，∴点C（2，0）；②2S△OCD=S△AOC时，∴2××OC×OD=×OC×AB，∴OD=AB=，∴点D（0，-），设直线AD的解析式为，∴，∴，∴直线AD的解析式为y=x-，∴当y=0时，x=1，∴点C（1，0）；综上所述：点C的坐标为（2，0）或（1，0）．
（3）如图，当∠APO=90°时，连接BB'，过点B'作B'H⊥OB于H，
∵将△OAB绕点O顺时针旋转，∴BO=B'O=3，∠AOB=∠A'OB'=30°，∵∠OAC=30°，∠APO=90°，∴∠AOP=60°，∴∠B'OB=60°，∵B'H⊥OB，∴∠OB'H=30°，∴当∠AOP=90°时，如图， ∵将△OAB绕点O顺时针旋转，∴∠BOB'=∠AOA'=90°，OB=OB'=3，∴点B'在y轴上，∴点B'（0，-3），如图，由中心对称的性质可得：点的坐标 或 ， 综上所述：点的坐标或或 或
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，一次函数的性质等知识，中心对称的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴交于点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点旋转，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结，当四边形为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)（或）
(2)①，②存在符合条件的点Q，其坐标为或或
【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为，再把代入即可得出答案；
（2）①过点作轴于点E，根据，又因为，证明出，从而得出，将，，代入即可求出m的值；
②根据上问可以得到，点M的横坐标为4，，要让以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，所以分为三种情况讨论：1）当以为边时，存在平行四边形为；2）当以为边时，存在平行四边形为；3）当以为对角线时，存在平行四边形为；即可得出答案．
（1）
∵二次函数的图象的顶点坐标为，
∴设二次函数的表达式为，
又∵，∴，
解得：，
∴（或）；
（2）
①∵点P在x轴正半轴上，
∴，
∴，
由旋转可得：，
∴，
过点作轴于点E，
∴，，
在中，，
当四边形为矩形时，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
解得；

②由题可得点与点C关于点成中心对称，
∴，
∵点M在直线上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）、当以为边时，平行四边形为，
点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴代入，
解得：，
∴，
2）、当以为边时，平行四边形为，
点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴代入，
解得：，
∴，
3）、当以为对角线时，
点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴代入，
得：，
∴，
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边形的存在性问题，矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键．