第二十五章 概率初步单元培优训练（题型专攻）-2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）（解析+原卷）

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2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版版）
第二十五章 概率初步单元培优训练
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第25章 概率初步，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2021·全国·九年级专题练习）小明在一天晚上帮妈妈洗三个只有颜色不同的有盖茶杯，这时突然停电了，小明只好将茶杯和杯盖随机搭配在一起，那么三个茶杯颜色全部搭配正确的概率是(    )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意, 分析可得三个只有颜色不同的有盖茶杯,将茶杯和杯盖随机搭配在一起, 共321=6种情况,结合概率的计算公式可得答案.
【详解】解: 根据题意, 三个只有颜色不同的有盖茶杯, 将茶杯和杯盖随机搭配在一起, 共321=6种情况,而三个茶杯颜色全部搭配正确的只是其中一种;
故三个茶杯颜色全部搭配正确的概率为.
故选B.
【点睛】本题主要考查概率的计算，用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比.
2．（2022·山东省济南汇文实验学校七年级期中）分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字外其他均相同，将它们背面朝上，从中任抽一张，抽到负数的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出负数的个数由概率公式计算即可；
【详解】解：∵五张卡片分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3，数字为负数的卡片有2张，
∴从中随机抽取一张卡片数字为负数的概率为．
故选： C．
【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键．
3．（2022·内蒙古包头·中考真题）2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，列出树状图，即可得出答案．
【详解】记小明为，其他2名一等奖为，
列树状图如下：

故有6种等可能性结果，其中小明被选中得有4种，故明被选到的概率为．
故选：D．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
4．（2022·全国·九年级单元测试）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有正方形、圆、平行四边形、等边三角形、菱形的卡片任意摆放(卡片大小、质地、颜色完全相同)，将有图形的一面朝下，从中任意翻开2张，如果翻开的图形都是中心对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断出哪些图形是中心对称图形，然后利用树状图画出翻开2张卡片的所有结果，找出翻开的图形都是中心对称图形的结果，再利用概率的公式，概率等于所求结果数与总结果数之比即可求解．
【详解】解： 设“正方形、圆、平行四边形、等边三角形、菱形”的卡片分别为“A、B、C、D、E”，“A、B、C、D、E”中“A、B、C、E”是中心对称图形，如图，

共有20种等可能的结果，其中，翻开的图形都是中心对称图形的结果有12种，
∴一次过关的概率是．
故选C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，利用树状图求概率．
5．（2022·全国·九年级单元测试）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回．大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出m的值为（    ）
A．25 B．20 C．15 D．10
【答案】B
【分析】用红球的数量除以红球的频率即可．
【详解】解：（个，
所以可以估算出的值为20，
故选：B．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握在大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6．（2022·广东广州·中考真题）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：画树状图得：

∴一共有12种情况，抽取到甲的有6种，
∴P（抽到甲）= ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．


二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·浙江·九年级专题练习）小明怀着激动的心情买票去看电影《长津湖》，“电影票座位号码是奇数”属于______（选填“必然事件”，“不可能事件”，或“随机事件”）．
【答案】随机事件
【分析】根据随机事件的定义（在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件）即可得．
【详解】解：小明怀着激动的心情买票去看电影《长津湖》，“电影票座位号码是奇数”属于随机事件，
故答案为：随机事件．
【点睛】本题考查了随机事件，熟记随机事件的定义是解题关键．
8．（2021·湖南长沙·九年级期末）袋子中装有除颜色外完全相同的n个黄色乒乓球和3个白色乒乓球，从中随机抽取1个，若选中白色乒乓球的概率是，则n的值是_____．
【答案】6．
【分析】根据随机事件的概率等于所求情况数与总数之比列出方程，解方程即可求出n的值．
【详解】解：根据题意得：
＝，
解得：n＝6，
经检验，n＝6是分式方程的解；
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用和随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．
9．（2022·湖南·中考真题）从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__．
【答案】##0.4

【分析】先确定无理数的个数，再除以总个数．
【详解】解：，是无理数，
（恰好是无理数）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键．
10．（2022·全国·九年级课时练习）学校食堂晚餐有四荤三素，荤菜有红烧肉、酸菜鱼、姜爆鸭和辣子鸡，素菜有干煸四季豆、青椒土豆丝和香干炒蒜苔，小南让食堂阿姨任打一道荤菜一道素菜，则刚好选到她爱吃的红烧肉和青椒土豆丝的概率为 __．
【答案】
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】红烧肉、酸菜鱼、姜爆鸭、辣子鸡分别用A、B、C、D表示，干煸四季豆、青椒土豆丝、香干炒蒜苔用a、b、c表示，
根据题意画树状图如下：

共有12种等可能的情况数，其中她选到红烧肉和青椒土豆丝的有1种，
则刚好选到她爱吃的红烧肉和青椒土豆丝的概率为 ．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（2022·全国·九年级单元测试）小兰和小华两人做游戏，她们准备了一个质地均匀的正六面体骰子，骰子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6，若掷出的骰子的点数为偶数，则小兰赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则小华赢，游戏规则对______（填“小兰”或“小华”）有利．
【答案】小兰
【分析】根据所出现的情况，分别计算两人能赢的概率，即可解答．
【详解】解：骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为，
骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为，
而，
∴游戏规则对小兰有利，
故答案为：小兰．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．（2022·四川成都·中考真题）如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．

【答案】
【分析】如图，设OA=a，则OB=OC=a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和圆的面积，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：如图，设OA=a，则OB=OC=a，
由正方形的性质可知∠AOB=90°，
，
由正方形的性质可得CD=CE=OC=a，
∴DE=2a，
S阴影=S圆-S小正方形=，
S大正方形=，
∴这个点取在阴影部分的概率是，

故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2023·江西·九年级专题练习）防疫期间，全市所有学校都严格落实测温进校的防控要求．我校开设了A、B、C三个测温通道，每名师生进入每个通道的机会均等．某天早晨，小颖和小明将随机通过测温通道进入校园．
(1)小颖通过A通道进入校园的概率是 　 　；
(2)利用画树状图或列表的方法，求小颖和小明通过不同通道进入校园的概率．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
（1）
解：∵开设了A、B、C三个测温通道，每名师生进入每个通道的机会均等．
∴小颖从A测温通道通过的概率为，
故答案为：；
（2）
列表格如下：

A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C

由表可知，共有9种等可能的结果，其中小颖和小明通过不同测温通道通过的有6种可能，
所以小颖和小明从同一个测温通道通过的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（2022·全国·九年级单元测试）某校计划在下个月第三周的星期一至星期四开展社团活动．
(1)若甲同学随机选择其中的一天参加活动，则甲同学选择在星期三的概率为______；
(2)若乙同学随机选择其中的两天参加活动，请用画树状图（或列表）的方法求其中一天是星期二的概率．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）采用列表法列举即可求解．
（1）
总的可选日期为4个，则甲随机选择其中某一天的概率为1÷4=，
故答案为：；
（2）
用A、B、C、D分别表示星期一、星期二、星期三、星期四，
根据题意列表如下：

总的可能情况数为12种，含星期二（B）的情况有6种，
则乙同学选的两天中含星期二的概率为：6÷12=，
即所求概率为．
【点睛】本题考查了基本的概率公式和用树状图或列表法求解概率的知识．明确题意准确的作出列表是解答本题的关键．
15．（2022·全国·九年级课时练习）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被分成若干扇形区域）进行抽奖促销活动，并规定：凡在商场消费的顾客，均可获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针所指区域为“一等奖”、“二等奖”、“三等奖”、“四等奖”、“五等奖”，则可获得对应的奖品；指针所指区域为“谢谢”则没有奖品；指针指向两区域的边界线，顾客可以再转动一次，直到指针不指向边界线时停止．根据以上规则，回答下列问题：

(1)若“三等奖”所在扇形的圆心角为50°，则顾客获得三等奖的概率为______；
(2)若商场计划让顾客通过转动一次转盘获得“五等奖”的概率为，请你求出转盘中“五等奖”所在扇形的圆心角度数．
【答案】(1)
(2)72°

【分析】（1）已知圆心角的度数，求概率直接用圆心角度数除以360°即可．
（2）已知概率，求圆心角的度数，用360°乘以概率即可．
（1）
（2）360°×=72°∴转盘中“五等奖”所在扇形的圆心角度数72°
【点睛】本题主要考查了圆心角和概率的相互转化，掌握已知圆心角求概率用圆心角除以360°，已知概率求圆心角，用360°乘以概率是解题的关键．
16．（2022·山东淄博·七年级期末）任意掷一枚质地均匀的骰子．
（1）掷出的点数小于4的概率是多少？
（2）掷出的点数是奇数的概率是多少？
（3）掷出的点数是7的概率是多少？
（4）掷出的点数小于7的概率是多少？
【答案】（1）；（2）；（3）0；（4）1．
【分析】（1）小于4的有1、2、3这3种情况，再除以总结果数即可得；
（2）是奇数的有1、3、5这3种情况，再除以总结果数即可得；
（3）此事件是不可能事件，概率为0；
（4）此事件是必然事件，概率为1．
【详解】解：（1）小于4的有1、2、3这3种情况，掷出的点数小于4的概率是；
（2）是奇数的有1、3、5这3种情况，掷出的点数是奇数的概率是；
（3）掷出的点数是7的概率是0；
（4）掷出的点数小于7的概率是1．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
17．（2022·全国·九年级单元测试）一个箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
(1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是______；
(2)从箱子中任意摸出一个球后，放回箱子，搅匀后再摸出一个球，请画树状图或列表求2次摸出的球都是白球的概率．
(3)小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)5

【分析】（1）用白球个数除以球的总个数即可；
（2）用列表法列举即可求解；
（3）用白球个数除以摸出白球的概率进而求出总的求个数，再减去原有的球个数3即可求解．
（1）
2÷3=，
即摸出白球的概率为，
故答案为：；
（2）
列表如下：

根据表格可知：总的可能情况有6种，两次都是白球的情况有2种，
即两次都是摸出白球的概率为：2÷6=；
（3）
加入红球后球的总个数：，
则加入红球的个数为：n=8-3=5，
即n值为5．
【点睛】本题考查了用概率公式求解概率、采用树状图法或列表法列举求解概率以及根据概率求数量的知识，掌握用树状图法或列表法列举求解概率是解答本题的关键．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·全国·九年级单元测试）依次将甲、乙、丙三个完全相同的小球，随机任意放入A、B、C三个盒子里，每个小球的去向互不影响．
(1)最终甲球被放入B盒子里的概率为______；
(2)求甲、乙、丙三个球在同一个盒子里的概率（请用“画树状图”等方法写出分析过程）．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图，然后根据概率公式计算．
（1）
解：甲球被放入B盒子里的概率为；
故答案为：；
（2）
解：画树状图为：

共有10种等可能的结果，其中甲、乙、丙三个球在同一个盒子里的结果数为3，
所以甲、乙、丙三个球在同一个盒子里的概率=．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
19．（2022·全国·九年级专题练习）两人做“锤子、剪刀、布”的游戏．游戏规则是：若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“锤子”，另一人出“剪刀”，则出“锤子”者胜；若一人出“布”，另一人出“锤子”，则出“布”者胜．若两人出相同的手势，则认为此次游戏无效，重新开始游戏．

(1)请用画树状图或列表法写出游戏中所有可能出现的有效结果．
(2)在这个游戏的有效结果中，无论你出“锤子、剪刀、布”中的哪一个，你获胜的概率是多少？
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据题意画出树状图，从而得出所有有效结果；
（2）由树状图求得所有等可能的结果与获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案．
（1）
解：画树状图得：

∵所有可能的有效结果为：（布、剪）、（剪、锤）、（锤、布）、（剪、布）、（锤、剪）、（布、锤）；
（2）
由树状图知获胜的结果数为3，
∴获胜的概率为．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（2022·江苏扬州·中考真题）某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行摸球抽奖活动．摸球规则如下：在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．
(1)用树状图列出所有等可能出现的结果；
(2)活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的获奖率低于二等奖．现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）根据树状图找出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球的情况，即可得解．
（1）
解：画树状图如下：

由树状图知共有6种情况；
（2）
解：由（1）知抽到颜色相同的两球共有2种情况，
抽到颜色不同的两球共有4种情况，
所以抽到颜色相同的两球对应一等奖，抽到颜色不同的两球对应二等奖．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2022·全国·九年级单元测试）某校举办学生综合素质大赛，分“单人项目”和“双人项目”两种形式，比赛题目包括下列四类：A．人文艺术；B．历史社会；C．天文地理；D．体育健康．
(1)若小丽参加“单人项目”，她从中抽取一个题目，那么恰好抽中“天文地理”类题目的概率为______．
(2)小刚和小涵参加“双人项目”，比赛规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，求他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目的概率是多少？（用画树状图或列表的方法求解）
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）小丽一共有四种不同的选择，所以恰好抽中“天文地理”类题目的概率为；
（2）由同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次可知第一名同学抽取之后，第二名同学只能有三种选择，通过画树状图可知一共有12种情况，而他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目有2种情况，根据概率公式即可求解．
（1）
∵比赛题目共包括四类：A．人文艺术；B．历史社会；C．天文地理；D．体育健康
∴小丽恰好抽中“天文地理”类题目的概率为；
故答案为：；
（2）
由题意画树状图为：

由图得，共有12种等可能情况，而他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目有2种情况，
∴他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目的概率是．
【点睛】本题考查了概率公式及利用列表法或画树状图求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．（2022·全国·九年级专题练习）学校决定每班选取4名同学参加12.2全国交通安全日“细节关乎生命•安全文明出行”主题活动启动仪式，班主任决定从名同学（小明、小山、小月、小玉）中通过抽签的方式确定2名同学去参加该活动．
抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．
(1)“小刚被抽中”是_________事件，“小明被抽中”是_________事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小玉的概率是_________；
(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小月被抽中的概率．
【答案】(1)不可能；随机；
(2)

【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；
（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
（1）
解：该班同学“小刚被抽中”是不可能事件，“小明被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小玉被抽中”的概率为，
故答案为：不可能、随机、；
（2）
解：根据题意可画树状图如下：

共有12种等可能结果，其中小月被抽中的有6种结果．
所以.
【点睛】此题主要考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

六、（本大题共12分）

23．（2022·湖北荆门·中考真题）为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：
成绩/分
88
89
90
91
95
96
97
98
99
学生人数
2
1
a
3
2
1
3
2
1

数据表中有一个数因模糊不清用字母a表示．

(1)试确定a的值及测评成绩的平均数，并补全条形图；
(2)记测评成绩为x，学校规定：80≤x＜90时，成绩为合格；90≤x＜97时，成绩为良好；97≤x≤100时，成绩为优秀．求扇形统计图中m和n的值：
(3)从成绩为优秀的学生中随机抽取2人，求恰好1人得97分、1人得98分的概率．
【答案】(1)a＝5，平均值为93，补图见解析
(2)m＝15；n＝30
(3)

【分析】（1）根据题意用20减去其他学生人数求得的值，根据表格数据求平均数即可求解；
（2）根据题意分别求得80≤x＜90与97≤x≤100的人数所占的百分比，即可求得的值；
（3）先列表表示出所有可能的情况，然后再找出符合条件的情况数，最后利用概率公式进行求解即可
（1）
由题意可知，a＝20﹣（2+1+3+2+1+3+2+1）＝5，
∴a＝5，
测评成绩的平均数＝（88×2+89+90×5+91×3+95×2+96+97×3+98×2+99）＝93，
补全的条形统计图如图所示：

（2）
m%＝×100%＝15%；n%＝×100%＝30%；
所以m=15，n=30；
（3）
根据题意列表得，设97分的用A1、A2、A3表示，98分的用B1、B2，表示，99分的用C表示，如图

A1
A2
A3
B1
B2
C
A1

A1A2
A1A3
A1B1
A1B2
A1C
A2
A2A1

A2A3
A2B1
A2B2
A2C
A3
A3A1
A3A2

A3B1
A3B2
A3C
B1
B1A1
B1A2
B1A3

B1B2
B1C
B2
B2A1
B2A2
B2A3
B2B1

B2C
C
C A1
C A2
C A3
C B1
C B2


从6个人中选2个共有30个结果，一个97分，一个98分的有12种，
故概率为：＝．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求扇形统计图的百分比，根据列表法求概率，掌握以上知识是解题的关键．