第二十五章 概率初步 单元过关检测01-2022-2023学年九年级数学上册同步考点知识清单＋例题讲解＋课后练习（人教版）

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2022—2023学年九年级上学期第五单元（1）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）以下说法中正确的是（　　）
A．在同一年出生的400人中至少有两个人的生日相同
B．游戏的中奖率是1%，买100 张奖券，一定会中奖
C．一副扑克牌随意抽取一张是红桃K，这是必然事件
D．“实数a＜0，则2a＜0”是随机事件
【分析】根据概率的意义以及随机事件和必然事件的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、在同一年出生的400人中至少有两人的生日相同，故本选项符合题意；
B、一个游戏的中奖率是1%，只能说买100张奖券，有1%的中奖机会，故本选项不符合题意；
C、从一副完整的扑克牌中随机抽取一张牌恰好是红桃K，这是随机事件，故本选项不符合题意；
D、“实数a＜0，则2a＜0”是必然事件，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（4分）掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最小的是（　　）
A．大于3的点数 B．小于3的点数
C．大于5的点数 D．小于5的点数
【分析】根据概率公式，分别求出四个选项中各事件出现的概率，再比较即可．
【解答】解：掷一枚质地均匀的立方体骰子，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，
∴骰子停止后，在骰子向上的一面，有6种等可能的结果．
A、点数大于3的数有4，5，6，三种情况，
∴P点数大于3＝＝；
B、点数小于3的数有1，2，两种情况，
∴P点数小于3＝＝；
C、点数大于5的数有6，一种情况，
∴P点数大于5＝；
D、点数小于5的数有1，2，3，4，四种情况，
∴P点数小于5＝＝；
∵＞＞＞，
∴点数大于5的概率最小，出现可能性最小．
故选：C．
3．（4分）昆昆沉迷游戏，有个人加了他好友，哄骗他能送游戏英雄和皮肤，并要求加他为QQ好友，这位“游戏好友”告知其现在有个“扫码转账返利”活动，充值300元可返利500元，充值700元可返利1000元，如果你是昆昆你会（　　）
A．这么划算，赶紧充值后可以购买更多游戏装备和皮肤
B．天上没有掉馅饼的事，肯定是骗子，必须立马删除“好友”
C．立即和喜欢玩游戏的同学分享这么好的事情
D．对这种事情一直抱着期待
【分析】根据生活经验、事件发生的可能性大小解答．
【解答】解：天上没有掉馅饼的事，肯定是骗子，必须立马删除“好友”，
故选：B．
4．（4分）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图，将整个图形分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为a，分别表示出阴影部分的面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．
【解答】解：如图所示，设每个小三角形的面积为a，

则阴影的面积为6a，正六边形的面积为18a，
∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为＝，
故选：B．
5．（4分）一个盒子中装有a个白球和3个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%左右，则a的值约为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【解答】解：由题意可得，×100%＝20%，
解得a＝12．
经检验：a＝12是原分式方程的解，
所以a的值约为12，
故选：B．
6．（4分）22届年级组董老师为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】先求出在B盘中，S红色扇形＝2S蓝色扇形，再画树状图，共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°，
∴B盘红色扇形区域所占的圆心角是360°﹣120°＝240°，
∴在B盘中，S红色扇形＝2S蓝色扇形，
画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，
∴小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是＝，
故选：C．
7．（4分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（　　）

A．0 B． C． D．
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把开关S1，S2，S3分别记为A、B、C，
画树状图如图：

共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝，
故选：C．
8．（4分）从﹣1，1，2三个数中任取一个，作为二次函数y＝kx2+3的k值，则所得函数中，当x＜0时，y随x的增大而增大的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】从﹣1，1，2三个数中任取一个，共有三种取法，其中能使函数y＝kx2+3中y随x增大而增大的为﹣1，所以符合题意的概率为．
【解答】解：﹣1作为一次函数y＝kx2+3的k值，则所得二次函数中当x＜0时，y随x的增大而增大，
从三个数中取到﹣1的概率是，
故选：A．
9．（4分）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　）

A．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率
B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
C．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
【分析】根据统计图可知，试验结果在25%附近波动，即其概率P≈，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
【解答】解：A、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率为，故此选项符合题意；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
C、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率＝；故此选项不符合题意；
D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，故此选项不符合题意；
故选：A．
10．（4分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为3cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为（　　）

A．0.6cm2 B．1.8cm2 C．5.4cm2 D．3.6cm2
【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.6，再乘以正方形的面积即可得出答案．
【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为0.6，
∴估计黑色部分的总面积约为3×3×0.6＝5.4（cm2），
故选：C．
11．（4分）小明与小亮做猜拳游戏（各出单拳），规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为奇数时，小明获胜，那么，小明获胜的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】画出树状图，共有25种等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有12种，再由概率公式即可得出答案．
【解答】解：画树状图如图：

共有25种等可能的结果，两人出拳的手指数之和为奇数的结果有12种，
所以小明获胜的概率为，
故选：B．

12．（4分）甲乙两人玩一个游戏，他们轮流从砖墙上拿下一块或两块相邻的砖．缝隙可能会产生的新的墙，墙只有一砖高．例如，如图，一组（4，2）的墙砖可以通过一次操作变成以下中的任何一种：（3，2），（1，2，2），（2，1，2），（4），（4，1），（2，2）或（1，1，2）．若甲先开局，而拿下最后一块砖的选手获胜，对于以下开局，甲没有必胜策略的开局是（　　）
A．（6，1，1） B．（6，2，1） C．（6，3，1） D．（6，2，2）
【分析】根据游戏规则总结规律然后分析各个选项得出结论即可．
【解答】解：A选项中6个连续的砖墙无论先拿几块对方都能拿到最后一块，后面的两个1块的砖墙需要拿两次，
∴A选项是甲没有必胜策略的开局，
故A选项符合题意；
B选项中后面的一个2块连续的墙砖，一个1块的墙砖即可以分三次也能两次拿完，
∴6个连续的砖墙无论谁拿到最后一块，甲都能拿下最后一块砖，
故B选项不符合题意；
C选项先拿走6块连续墙砖边上的两个，无论对方怎么拿都让他拿到这6块连续墙砖的最后一块，然后拿3块连续墙砖边上的两个即可保证甲能拿最后一块；
故C选项不符合题意；
D选项同理B，后面的两个2块连续的墙砖，即可以分三次也能分四次拿完，
∴6个连续的砖墙无论谁拿到最后一块，甲都能拿下最后一块砖，
D选项不符合题意；
故选A．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）有五张背面完全相同的纸质卡片，其正面分别标有数：6、、、﹣2、．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则其正面的数是无理数的概率是 　 　．
【分析】用无理数的个数除以数的总数即可求得答案．
【解答】解：在6、、、﹣2、中，无理数有、，共2个，
则其正面的数是无理数的概率是．
故答案为：．
14．（4分）不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传片片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图来的概率是，则n的值是 　 ．
【分析】根据概率的意义列方程求解即可．
【解答】解：由题意得，
，
解得n＝10，
故答案为：10．
15．（4分）近年来，陕西省博物馆推出了一套青铜小分队系列盲盒，深受消费者的喜爱．商家为了估计1000件盲盒中每种款式的数量，经过抽样数据统计，其中抽到凤鸟的频率稳定在0.15，由此可以估计盲盒里是凤鸟的数量为 　 　件．
【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．
【解答】解：估计从这批盲盒中任意抽到凤鸟的概率为0.15，
∴1000×0.15＝150（件）．
故答案为：150．
16．（4分）如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从点A爬行到点B，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有 　种不同的爬行路径．

【分析】如下图，将图形分为五步，分别求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径次数，再求第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径次数的乘积，即可求出爬行路径种数．
【解答】解：如下图，将图形分为五步，求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径种数，
第一步：2；
第二步：2；
第三步：4；
第四步：2；
第五步：2；
2×2×4×2×2＝64，
∴则共有64种不同的爬行路径．
故答案为：64．


三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）从标有数字1、2、3各2张的6张卡片中，随机抽出2张，把2张卡片上的数字加起来．
（1）结果可能是整数有哪些？
（2）结果中，数字 　 　出现的可能性最大？
（3）结果中，数字2出现的可能性和数字 　 　出现的可能性一样大？
【分析】（1）列表得出所有等可能结果，据此可得答案；
（2）从表格中找到和为2、3、4、5、6的次数即可得出答案；
（3）出现次数和数字2出现次数一样即可得出答案．
【解答】解：（1）列表如下：

1
1
2
2
3
3
1

2
3
3
4
4
1
2

3
3
4
4
2
3
3

4
5
5
2
3
3
4

5
5
3
4
4
5
5

6
3
4
4
5
5
6

∴结果可能是整数有2、3、4、5、6；
（2）由表知，共有30种等可能结果，其中数字2出现2次，数字3出现8次，数字4出现10次，数字5出现8次，数字6出现2次，
∴数字4出现的可能性最大，
故答案为：4；
（3）由（2）知，数字2和数字6出现的次数一样，都是2次，
∴数字2出现的可能性和数字6出现的可能性一样大，
故答案为：6．



18．（8分）如图，转盘被分成六个相同的部分，并在上面依次写上数字：1，2，3，4，5，6．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止（若指针指向边界处则重新转动）．
（1）当转盘停止时，写出指针指向奇数区域的所有可能；
（2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于4的概率是多少？

【分析】（1）转盘上的数字是奇数的为1，3，5，由此可得答案．
（2）指针指向的数小于或等于4的所有可能为1，2，3，4，共4种，根据概率公式可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，指针指向奇数区域的所有可能为1，3，5．
（2）∵指针指向的数小于或等于4的所有可能为1，2，3，4，共4种，
∴指针指向的数小于或等于4的概率为＝．
19．（10分）在﹣1，0，1，2这4个数中任取两数m，n，试用画树状图（或列表法）表示出所有可能出现的结果，并求二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率．
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果，找出点（m，n）在坐标上的结果数，根据二次函数的性质得到二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点坐标为（m，n），然后根据概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中点（m，n）在坐标轴上的结果数为6，
所以二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点（m，n）在坐标轴上的概率＝＝．
20．（10分）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小林和小艾轮流点击，小林先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）．
（1）若小艾在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，未踩中地雷的概率是多少？
（2）现在小艾点击了右下角的一个方格，出现了数字1（包含数字1的黑框区域记为B），轮到小林点击，若小林打算在区域A和区域B中任点一个未点击的方块，从安全的角度考虑，他应该选择哪个区域？说明理由．

【分析】（1）根据概率公式计算出概率即可；
（2）根据概率公式分别计算出两个区域踩雷的概率，然后得出结论即可．
【解答】解：（1）∵区域A内8个方块中埋藏着2颗地雷，
∴有6个方块没有地雷，
∴未踩中地雷的概率是：＝；
（2）由（1）知，区域A未踩中地雷的概率是，
∵区域B的3个方块中埋着1颗地雷，有2个方块没有地雷，
∴区域B未踩中地雷的概率是：，
∵＞，
∴从安全的角度考虑，他应该选择区域A．
21．（12分）为弘扬中华传统文化，某校举办了学生“国学经典大赛”；比赛项目为：A：唐诗；B．宋词；C，论语；D三字经，比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是 　 　．
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小红和小明都没有抽到“论语”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和小红和小明都没有抽到“论语”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有4个比赛项目，
∴恰好抽中“三字经”的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小红和小明都没有抽到“论语”的结果有6种，
∴小红和小明都没有抽到“论语”的概率为＝．
22．（12分）某公司欲招聘一名部门经理，对甲、乙、丙三名候选人进行了三项素质测试．各项测试成绩如表格所示：
测试项目
测试成绩
甲
乙
丙
专业知识
74
87
90
语言能力
58
74
70
综合素质
87
43
50
（1）根据实际需要，公司将专业知识、语言能力和综合素质三项测试得分按4：3：1的比例确定每个人的测试总成绩，此时谁将被录用？
（2）请重新设计专业知识、语言能力和综合素质三项测试得分的比例来确定每个人的测试总成绩，若重新设计的比例为x：y：1，且x+y+1＝8，随机抽取满足要求的正整数x，y，求能够使得乙被录用的概率．
【分析】（1）将三人的总成绩按比例求出测试成绩，比较得分即可求出结果．
（2）求出符合条件的所有x，y值，再计算乙被录用的情况，根据概率公式可求出乙被录用的概率．
【解答】解：（1）甲的综合成绩为x甲＝74×+58×+87×＝69.625（分），
乙的综合成绩为x乙＝87×+74×+43×＝76.625（分），
丙的综合成绩为x丙＝90×+70×+50×＝77.5（分），
∵77.5＞76.625＞69.625，
∴丙将被录用；
（2）∵x+y+1＝8，x，y是正整数，
∴x＝1，y＝6或x＝2，y＝5或x＝3，y＝4或x＝4，y＝3或x＝5，y＝2或x＝6，y＝1，共有6种情况；
当x＝1，y＝6时，x甲＝74×+58×+87×＝63.625（分），x乙＝87×+74×+43×＝71.75（分），x丙＝90×+70×+50×＝70（分），
此时乙被录用；
当x＝2，y＝5时，x甲＝74×+58×+87×＝65.625（分），x乙＝87×+74×+43×＝73.375（分），x丙＝90×+70×+50×＝72.5（分），
此时乙被录用；
当x＝3，y＝4时，x甲＝74×+58×+87×＝67.625（分），x乙＝87×+74×+43×＝75（分），x丙＝90×+70×+50×＝75（分），
此时乙不一定被录用；
当x＝4，y＝3时，x甲＝74×+58×+87×＝69.625（分），x乙＝87×+74×+43×＝76.625（分），x丙＝90×+70×+50×＝77.5（分），
此时乙不被录用；
同理可知，x＝5，y＝2和x＝6，y＝1时，乙不被录用，
∴乙被录用的情况有2种，
∴P（乙被录用）＝＝．
23．（12分）在不透明口袋里有除颜色外其它都相同的4个红球和3个白球．
（1）先从袋子里取出m（m≥1）个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A．
①如果事件A是必然事件，则m的值为 　 　．
②如果事件A是随机事件，则m的值为 　 　．
（2）先从袋子中取出n个红球，再放入除颜色外其它都相同的（n+3）个黑球并摇匀，若随机摸出一个球是红球的可能性大小是，求n的值．
【分析】（1）①如果先从袋子里取出m（m≥1）个白球，不放回，从袋子里随机摸出一个球是必然事件，则袋子里面装的都是红球，即可求出取出的白球个数．
②如果先从袋子里取出m（m≥1）个白球，不放回，从袋子里随机摸出一个球是随机事件，则袋子里面装的既有红球又有白球，即可求出取出的白球个数．
（2）根据概率公式列出等式，解出n的值即可．
【解答】解：（1）先从袋子里取出m（m≥1）个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A．
①如果事件A是必然事件，则袋子中只有红球，则拿出了3个白球，则m的值为3；
②如果事件A是随机事件，则袋子中既有红球又有白球，则取出的白球个数为1个或2个，则m的值为1或2．
故答案为：①3；②1或2．
（2）由题意得，
解得n＝2．
24．（14分）某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从“科普”、“绘画”、“诗歌”、“散文”四类书籍中选择最喜欢的一类，学校的调查结果如图：

根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 　 　人，“散文”类所对应的圆心角的度数为 　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校喜欢“绘画”的学生人数；
（4）最喜爱“科普”类的4名学生中有1名女生，3名男生，现从4名学生中随机抽取两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好都是男生的概率．
【分析】（1）用喜欢“诗歌”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生人数；用喜欢“散文”的学生人数除以本次被调查的学生人数再乘以360°可得“散文”类所对应的圆心角的度数．
（2）求出喜欢“绘画”的学生人数，补全条形统计图即可．
（3）用喜欢“绘画”的学生人数除以本次被调查的学生人数再乘以2500即可．
（4）画树状图得出所有等可能的结果数和所选的两人恰好都是男生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次被调查的学生有20÷40%＝50（人），
“散文”类所对应的圆心角的度数为×360°＝72°．
故答案为：50；72°．
（2）喜欢“绘画”的学生人数为50﹣4﹣20﹣10＝16（人）．
补全条形统计图如图所示．

（3）2500＝800（人）．
∴估计该校喜欢“绘画”的学生人数有800人．
（4）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中所选的两人恰好都是男生的结果有6种，
∴所选的两人恰好都是男生的概率为＝．