2024届高考一轮复习学案重难点08 七种数列数学思想方法(核心考点讲与练)
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重难点08 七种数列数学思想方法(核心考点讲与练)
题型一:函数与方程思想
一、单选题
1.(2022·全国·高三专题练习)数列满足:,则( )
A. B.
C. D.
2.(2022·全国·高三专题练习)若数列满足,,记数列的前项和为,则( )
A.时,是递减数列 B.时,是递增数列
C.时, D.时,
3.(2022·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和为,若是公差为d()的等差数列,则( )
A. B. C. D.
4.(2021·浙江·高三阶段练习)已知各项都为正数的数列满足,,给出下列三个结论:①若,则数列仅有有限项;②若,则数列单调递增;③若,则对任意的,陼存在,使得成立.则上述结论中正确的为( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
二、多选题
5.(2022·全国·高三专题练习)设是公差为的无穷等差数列的前项和,则下列命题正确的是( )
A.若,则数列有最大项
B.若数列有最大项,则
C.若数列对任意的,恒成立,则
D.若对任意的,均有,则恒成立
6.(2020·全国·高三专题练习)等差数列{an}的前n项的和为Sn,公差,和是函数的极值点,则下列说法正确的是( )
A.-38 B. C. D.
三、填空题
7.(2022·全国·高三专题练习)已知:为整数且,则n的最小值为_____________.
8.(2022·浙江·龙港中学高三阶段练习)等差数列满足,则的取值范围是______.
9.(2022·全国·高三专题练习)在数列中,,.若不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围是______.
10.(2022·全国·高三专题练习)某新学校高一、高二、高三共有学生1900名,为了了解同学们对学校关于对手机管理的意见,计划采用分层抽样的方法,从这1900名学生中抽取一个样本容量为38的样本,若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列,则此学校高一年级的学生人数为______人.
四、解答题
11.(2022·河北·模拟预测)已知数列的前n项和为,且.
(1)求数列的通项公式:
(2)设,求数列的最大项.
12.(2022·全国·高三专题练习)等比数列的前项和为,已知对任意的,点,均在函数且,,均为常数)的图象上.
(1)求的值;
(2)当时,记,求数列的前项和;
(3)由(2),是否存在最小的整数,使得对于任意的,均有,若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
题型二:数形结合思想
一、单选题
1.(2022·全国·高三专题练习)记为数列的前项和,已知点在直线上,若有且只有两个正整数n满足,则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.(2020·黑龙江·牡丹江一中高三阶段练习(理))定义.若函数,数列满足(),若是等差数列,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
3.(2020·全国·高三专题练习)已知,(为自然对数的底数),若在上恒成立,则实数的取值范围为______.
4.(2020·山西长治·高三阶段练习(理))定义R在上的函数为奇函数,并且其图象关于x=1对称;当x∈(0,1]时,f(x)=9x﹣3.若数列{an}满足an=f(log2(64+n))(n∈N+);若n≤50时,当Sn=a1+a2+…+an取的最大值时,n=_____.
题型三:分类与整合思想
一、单选题
1.(2022·北京·北大附中高三开学考试)在等比数列中,,记(,2,…).则数列( )
A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项
2.(2022·全国·高三专题练习)数列的通项,其前项和为,则S18为( )
A.173 B.174 C.175 D.176
3.(2022·全国·高三专题练习)已知数列满足,且,则该数列的前9项之和为( )
A.32 B.43 C.34 D.35
4.(2022·全国·高三专题练习)在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取它的项:第一次取1;第二次取2个连续偶数2,4;第三次取3个连续奇数5,7,9;第四次取4个连续偶数10,12,14,16;第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25,按此规律取下去,得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…,则在这个子数列中第2 020个数是( )
A.3976 B.3974
C.3978 D.3973
二、多选题
5.(2021·江苏常州·高三阶段练习)数列满足,,其前项和为,下列选项中正确的是( )
A.数列是公差为的等差数列 B.除以的余数只能为或
C.满足的的最大值是 D.
三、填空题
6.(2022·全国·高三专题练习)已知,且对任意都有或中有且仅有一个成立,,,则的最小值为___________.
四、解答题
7.(2022·北京·二模)已知数列:,,…,,其中是给定的正整数,且.令,,,,,.这里,表示括号中各数的最大值,表示括号中各数的最小值.
(1)若数列:2,0,2,1,-4,2,求,的值;
(2)若数列是首项为1,公比为的等比数列,且,求的值;
(3)若数列是公差的等差数列,数列是数列中所有项的一个排列,求的所有可能值(用表示).
8.(2022·福建宁德·模拟预测)设数列{}的前n项和为,.数列为等比数列,且成等差数列.
(1)求数列{}的通项公式;
(2)若,求的最小值.
题型四:转化与划归思想
一、单选题
1.(2022·河南·模拟预测(文))设等比数列的公比为,其前项和为,前项积为,并满足条件,,,下列结论正确的是( )
A. B.
C.数列存在最大值 D.是数列中的最大值
2.(2022·云南·高三阶段练习(理))为了更好地解决就业问题,国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召,有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元,用于进货.因质优价廉,供不应求,据测算:每月获得的利润是该月初投入资金的20%,每月底扣除生活费1000元,余款作为资金全部用于下月再进货,如此继续,预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为( )(取,)
A.32500元 B.40000元 C.42500元 D.50000元
3.(2022·全国·高三专题练习)设数列的前项的和为,已知,若,则( )
A. B.
C. D.
4.(2022·全国·高三专题练习)已知是各项均为正整数的数列,且,,对,与有且仅有一个成立,则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题
5.(2022·全国·高三专题练习)已知数列满足,,对于任意,,,不等式恒成立,则的取值可以是( )
A.1 B.2 C. D.4
6.(2022·全国·高三专题练习)记数列的前项和为,若存在实数,使得对任意的,都有,则称数列为“和有界数列”.下列说法正确的是( )
A.若数列是等差数列,且公差,则数列是“和有界数列”
B.若数列是等差数列,且数列是“和有界数列”,则公差
C.若数列是等比数列,且公比满足,则数列是“和有界数列”
D.若数列是等比数列,且数列是“和有界数列”,则公比满足
三、填空题
7.(2021·河南新乡·高三阶段练习(文))设是无穷数列,若存在正整数,使得对任意的,均有,则称是间隔递减数列,是的间隔数.已知,若是间隔递减数列,且最小间隔数是,则的取值范围是________.
8.(2020·江苏省板浦高级中学高三期末)记为数列的前项和,若,,则______.
9.(2022·全国·高三专题练习)设,记最接近的整数为,则__________;__________.(用表示)
四、解答题
10.(2022·浙江温州·三模)数列满足,.
(1)证明:;
(2)若数列满足,设数列的前n项和为,证明:.
11.(2022·全国·高三专题练习)已知数列中,,且对任意,,有.
(1)求的通项公式;
(2)已知,,且满足,求,;
(3)若(其中对任意恒成立,求的最大值.
题型五:特殊与一般思想
一、单选题
1.(2021·贵州贵阳·高三开学考试(文))已知数列中,前项和满足,则( )
A. B. C. D.
2.(2022·全国·高三专题练习)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,….该数列的特点是前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”,记是数列的前项和,则( )
A.1 B.98 C. D.198
二、多选题
3.(2022·全国·高三专题练习)已知数列中,,,使的可以是( )
A.2019 B.2021 C.2022 D.2023
三、填空题
4.(2022·四川成都·三模(理))已知数列满足,,则的值为______.
5.(2022·陕西咸阳·三模(文))观察下列等式
照此规律,第n个等式为______.
四、解答题
6.(2022·北京·人大附中高三阶段练习)已知为无穷数列,给出以下二个定义:
I.若对任意的,总存在i,且,使成立,则称为“H数列”;
II.若为“H数列”,且对任意的,总存在唯一的有序数对使成立,则称为“强H数列”;
(1)若,判断数列是否为“H数列”,说明理由;
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知,使得数列存在且不为常数列,求同时满足所选两个条件的所有数列的通项公式
条件①:为等差数列;
条件②:为等比数列;
条件③:为“强H数列”.
7.(2022·全国·高三专题练习)设有数列,对于给定的,记满足不等式:的构成的集合为,并称数列具有性质.
(1)若,数列: 具有性质 , 求实数 的取值范围;
(2)若,数列是各项均为正整数且公比大于1的等比数列,且数列不具有性质,设,试判断数列是否具有性质,并说明理由;
(3)若数列具有性质,当 时, 都为单元素集合,求证:数列是等差数列.
8.(2021·全国·高二专题练习)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式.
①,,,,…;②-3,7,-15,31,…;③2,6,2,6,….
题型六:有限与无限思想
一、单选题
1.(2022·浙江台州·高三期末)已知在数列中,,命题对任意的正整数,都有.若对于区间中的任一实数,命题为真命题,则区间可以是( )
A. B. C. D.
2.(2021·全国·高三专题练习)《庄子·天下》篇中记述了一个著名命题:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”反映这个命题本质的式子是( )
A.1+ B.
C. D.
3.(2020·浙江·高三阶段练习)已知正项数列,满足,,,则下列说法正确的是( )
A.存在有理数a,对任意正整数m,都有
B.对于任意有理数a,存在正整数m,使得
C.存在无理数a与正整数m,使得
D.对于任意无理数a,存在正整数m,使得
二、多选题
4.(2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知数列的前n项和为,,且(,2,…),则( )
A. B. C. D.
三、填空题
5.(2021·河南商丘·高三阶段练习(理))将数列与的公共项从小到大排列得到数列,则其通项___________.
四、解答题
6.(2022·北京·高三专题练习)若无穷数列{}满足如下两个条件,则称{}为无界数列:
①(n=1,2,3......)
②对任意的正数,都存在正整数N,使得.
(1)若,(n=1,2,3......),判断数列{},{}是否是无界数列;
(2)若,是否存在正整数k,使得对于一切,都有成立?若存在,求出k的范围;若不存在说明理由;
(3)若数列{}是单调递增的无界数列,求证:存在正整数m,使得.
7.(2022·全国·高三专题练习)设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点(,2,…),使,,,…组成公差为d的等差数列,求a的取值范围.
8.(2020·全国·高三专题练习)已知数列满足:(常数),(,).数列满足:().
(1)求,的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)是否存在k,使得数列的每一项均为整数?若存在,求出k的所有可能值;若不存在,请说明理由.
题型七:或然与必然思想
一、单选题
1.(2022·浙江·模拟预测)己知数列满足:,.记数列的前项和为,则( )
A. B.
C. D.
二、解答题
2.(2021·北京丰台·二模)设数集S满足:①任意,有;②任意,有或,则称数集S具有性质P.
(1)判断数集是否具有性质P,并说明理由;
(2)若数集且具有性质P.
(i)当时,求证:是等差数列;
(ii)当不是等差数列时,写出n的最大值.(结论不需要证明)
相关学案
这是一份2024年高考数学重难点突破讲义:学案 第3讲 数列的求和,共7页。
这是一份2024年高考数学重难点突破讲义:学案 第2讲 数列的递推关系,共7页。
这是一份2024年高考数学重难点突破讲义:学案 第1讲 等差数列与等比数列的基本量,共5页。