2022-2023学年山东省威海市经开区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省威海市经开区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式不成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  若关于的方程有实数根，则的取值范围是(    )

A. 且 B.  C.  且 D.

4.  在反比例函数为常数上有三点，，，若，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  小明对“保温杯的保温性能”进行实验，分别取和两种带有液晶显示的保温杯用于实验，两保温杯中分别倒入质量和初始温度相同的热水，然后置于冷藏箱中，根据实验数据作出水温随时间变化的图象如图所示下面说法错误的是(    )

 

A. 两图象均不是反比例函数图象
B. 时，号保温杯中水的温度较高
C. 时，号保温杯中水温度约
D. 号保温杯比号保温杯的保温性能好

6.  关于的方程的两个根，满足，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在平行四边形中，为上一点，且：：，与相交于点，，则为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，且的面积是面积的倍，则点对应点的坐标为(    )

A.
B. 或
C.
D. 或

9.  古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例说明，方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  代数式有意义的条件是______ ．

12.  若，则______．

13.  若非零实数，满足，，则的值为______ ．

14.  已知，则的化简结果是______ ．

15.  如图，一次函数与反比例函数，相交于点，点，轴于点，轴于点是线段上的一点，连接，，若∽，则点的坐标为______ ．

16.  如图，在中，，，，为边的中点，连接，将沿折叠得到，交于点，连接则的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
按要求解下列一元二次方程：
用因式分解法解；
用配方法解．

19.  本小题分
如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，交于点求，及的值．

20.  本小题分
如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图：
以坐标原点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出：并写出点的对应点的坐标；
以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为：并写出点的对应点的坐标．
内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标．

21.  本小题分
某商场将进价为元的台灯以元出售月份销售个，、月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，月份的销售量达到个．
求、这两个月销售量的月平均增长率；
该商场决定从月份进行降价促销，经调查发现，台灯价格在月份的基础上，每个降价元，销售量可增加个，若商场要想使月份销售这种台灯获利元，则台灯售价应定为多少元？

22.  本小题分
如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，．
求反比例函数和一次函数的解析式；
根据图象直接写出不等式的解集；
在轴上存在一点，使为直角三角形的点的坐标；

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，四边形是菱形，点在轴正半轴上，点的坐标是．
求反比例函数的解析式；
点在边上，且，过点作轴，交反比例函数的图象于点，求点的坐标．

24.  本小题分
如图，在四边形中，，点在边上，且，，作交线段于点，连接．
求证：≌；
若，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
则原式，
故选：．
根据二次根式有意义的条件求出的范围，根据二次根式的性质计算即可．
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质、二次根式有意义的条件是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项符合题意；
D.，所以选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的减法运算对选项进行判断；根据二次根式的除法法则对选项进行判断；根据二次根式的加法运算对选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：当时，原方程为，
解得：，
符合题意；
当时，
方程有实数根，
，
解得：且．
综上可知：的取值范围是．
故选：．
分和两种情况考虑，当时可以找出方程有一个实数根；当时，根据方程有实数根结合根的判别式可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围．结合上面两者情况即可得出结论．
本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
．
反比例函数为常数的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内，随着的增大而减小；在第三象限内，随着的增大而增大．
，
，，即．
故选：．
根据偶次方的非负性，得，再根据反比例函数的图象的特点解决此题．
本题主要考查反比例函数图象的特点，熟练掌握反比例函数的图象的特点是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：观察图象，两图象都与轴有交点，都不是反比例函数图象，故A正确，不符合题意；
B.观察图象可知：在时号保温杯的水温比号保温杯的水温高，故B正确，不符合题意；
C.观察图象可知：时，号保温杯中水温度约，故C正确，不符合题意；
D.观察图象可知号保温杯温度下降较慢，所以号保温杯保温性能较好，故D错误，符合题意．
故选D．
由反比例函数图象的特征即可判断；根据图象即可判断、、；
本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是能够仔细观察图象并从图象中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
，
，，
，
，
解得．
故选：．
因式分解法可求，，再根据，可得关于的方程，解方程可求的值．
本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得，．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，．
：：，
：：，
：：．
，
∽，
，
．
∽，
，
：：：，
，
，
故选：．
利用平行四边形的对边平行且相等的性质，相似三角形的判定与性质求得的面积，再利用等高的三角形的面积比等于底的比求得的面积，则．
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积比等于底的比，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：等边三角形的顶点，，
，
过作轴于，
是等边三角形，
，，
，
与位似，位似中心是原点，且的面积是面积的倍，
与位似为：，
点的对应点的坐标是或，即或，
故选：．
根据位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了黄金分割，也考查了等腰三角形的性质．
作于，如图，根据等腰三角形的性质得到，则根据勾股定理可计算出，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到，则计算出，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】
解：作于，如图，
，
，
在中，，
，是边的两个“黄金分割”点，
，
，

．
故选A．  

10.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：，，
，，
故选：．
画出方程的拼图过程，由面积之间的关系得，，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了二次根式的意义和性质，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，分式的分母不等于．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，
设，，，
则，
故答案为：．
根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．
已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，为方程的解，
，，
则原式．
故答案为：．
根据题意得到，为方程的解，利用根与系数的关系求出，的值，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，
所以原式
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件，确定，的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可．
本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是正确解答的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：联立方程组得，解得，；
，；
∽，
，
此时，≌，
点是线段的中点．
，
，

故答案为：
联立函数解析式，解出点、的坐标，利用相似三角形对应边成比例，可得相似比为，则是的中点，可得点坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用相似三角形对应边成比例是本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：作于，
，，，
，
为边的中点，
，
，
沿折叠得到，
，，
，
，
，
，
，
，，
∽，
：：，
：：，
，
，
，
∽，
．
故答案为：．
作于，由勾股定理求出、的长，由三角形外角的性质推出，由∽，求出的长，得到的长，由∽，即可求出的值．
本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是证明，∽，求出的长．
 

17.【答案】解：原式


；
原式

． 

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并，然后根据二次根式的除法法则和零指数幂的意义计算，最后进行有理数的减法运算；
先根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，
，即，
，
，． 

【解析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：根据题意知，，，
，
，∽，
，，
，
，
，
，
故，，． 

【解析】先证明，根据平行线分线段成比例定理求得：，证明∽，由相似三角形的性质求得两三角形的面积比，及的长度，进而求得：．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质运用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，即为所求，其中点的对应点的坐标为．

如图所示，即为所求，点的对应点的坐标为；
在中的对应点的坐标． 

【解析】将三个顶点分别顺时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
分别作出三个顶点位似变换的对应点，再首尾顺次连接即可；
根据位似变换的定义可得答案．
本题考查了作图位似变换、旋转变换，解题的关键是掌握所学的性质正确的做出图形．
 

21.【答案】解：设、这两个月销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：、这两个月销售量的月平均增长率为；
设台灯售价应定为元，则每个台灯的销售利润为元，月份的销售量为个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：台灯售价应定为元． 

【解析】设、这两个月销售量的月平均增长率为，利用月份的销售量月份的销售量、这两个月销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
设台灯售价应定为元，则每个台灯的销售利润为元，月份的销售量为个，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：把代入，
，
反比例函数的解析式是；
把代入得．
把、分别代入中，
得
，
解得，
一次函数的解析式为；
由图得：当一次函数图象在反比例函数图象下方时，或，
，即的解集为：或；
为直角三角形，
或，
当时，即轴，
，
当时，设，
，，，，
，
解得，
，
综上所述，使为直角三角形的点的坐标为或． 

【解析】先把点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数的解析，再把点坐标代入所求得的反比例函数的解析式，求得点坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
根据图象得出一次函数图象在反比例函数图象下方时的取值范围即可；
当时，即轴，当时，设，根据勾股定理即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理，不等式的解集，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
 

23.【答案】解：根据题意，过点作轴，垂足为，如图：
四边形是菱形，
设点为，
，
点为，
，，
，
在直角中，由勾股定理得，即，
解得：，
，
，
点的坐标为，
把点代入，得，
反比例函数的解析式为；
作轴，轴，垂足分别为、，如图，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
∽，，，
，
点的坐标为，
，
，
，
，
点的纵坐标为，
轴，
点的纵坐标为，
点在双曲线上，
，
解得，
点的坐标为． 

【解析】过点作轴，垂足为，设点为，根据菱形的性质和勾股定理求出，然后求出点的坐标，即可求出解析式；
作轴，轴，垂足分别为、，先证明∽，求出，然后得到点的纵坐标，再求出点的坐标即可．
本题考查了菱形的性质，反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练理解题意，正确的作出辅助线，从而进行解题．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌；

解：，
，
，
∽，
，
由知：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
，
，即，
，
，
∽，
，
即，
． 

【解析】先根据题意得出，，再证四边形是平行四边形，得出，进而得出，再由平行线性质得，进而证得结论；
先证明∽，得，根据四边形是平行四边形，得，，进而可求得，，再利用∽，求得答案．
本题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形判定和性质和相似三角形的判定和性质等相关知识，正确添加辅助线构造相似三角形是解题关键．