2023年江苏省盐城市盐都区鹿鸣路初级中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省盐城市盐都区鹿鸣路初级中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知，则锐角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，的半径为，弦，于点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图是由个完全相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  墨迹覆盖了等式中的多项式，则覆盖的多项式为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  近日，杭州亚运会游泳选拔赛已开赛，其中参加男子米自由泳的甲、乙、丙、丁四位运动员的次比赛的平均成绩和方差如表所示：

若要选拔一名速度快且发挥稳定的运动员参加亚运会集训营，根据表中数据应选择(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

8.  如图，在中，已知，，点是线段上的动点，连接，在上有一点，始终保持，连接，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  因式分解：          ．

10.  年五一假期间，全国出游约人次，同比增长数据用科学记数法表示为______ ．

11.  如图，在中，是的中点，点是的重心，则 ______ ．

12.  设、，是方程的两个根，则 ______ ．

13.  如图，点，，，在上，，则 ______

14.  如果所示的地板由块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动，随机停在黑色方砖的概率为______．

15.  小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是分、分、分若将三项得分依次按：：的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______ 分

16.  已知，动点从点出发，以每秒钟个单位长度的速度沿方向运动到点处停止，设点运动的时间为秒，的面积关于的函数图象如图所示，则的边上的高等于______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来．

 

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
随常移动互联网的迅猛发展，人们购物支付方式更加多样、便捷，某超市想了解顾客支付方式的选择情况，设计了一份问卷进行调查，要求被调查者选择且只选择一种最喜欢的支付方式，现将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

请结合图中所给出的信息，解答下列问题：
扇形统计图中 ______ ，“其他”支付方式所对应的圆心角为______ 度；
补全条形统计图：
若该超市一天内有次支付记录，请你估计这天选择微信支付的次数．

21.  本小题分
为了切实帮助家长解决在学生教育上的困惑，学校举办了一场家庭教育沙龙并邀请了部分家长参加活动在场地安排了把椅子每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列按图示方式摆放，其中圆点表示已经有家长入座的椅子．

如图，已经有两位家长入座，又有一位家长随机入座，则这三把椅子刚好在同一直线上的概率为______ ；
如图，已经有四位家长入座四个位置，又有甲、乙两位家长随机入座，已知甲坐第一排，乙坐第二排，用树状图或列表法求甲，乙两人刚好坐在同一列上的概率．

22.  本小题分
如图，已知一次函数的图象与反比例函数，分别交于点和点，且、两点的坐标分别是和，连接、．
求一次函数与反比例函数的函数表达式；
求的面积．

23.  本小题分
如图，、两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量、间的距离，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达、的点，分别延长、至点、，使得，，再连接，则的长度即为池塘、间的距离请说明理由．

在右面的网格图中有三个点、、，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上，请找出点，使得四边形是平行四边形仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由

24.  本小题分
海岛算经是我国魏晋时期的著名数学家刘徽所撰，该书研究的对象全是有关高与距离的测量，因首题测算海岛的高、远，故而书名由此而来，它是中国最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础书中第四题为：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，从勺端望谷底，入下股九尺一寸，又设重矩于上，其矩间相去三丈尺，更从勺端望谷底，入上股八尺五寸，问谷深几何？大致译文如下：现在要测量谷的深度，拿一个高为尺的“矩尺”仰放在岸上，从处望向谷底在上，下股为尺，在的延长线上重新放置“矩尺”，其中尺，尺，从处望向谷底在上，下股为尺，求谷的深度已知、、

25.  本小题分
如图，已知在中，，以为直径的分别交，于，两点，于点，且．
求证：是的切线；
若，求的半径．

26.  本小题分
“鹿鸣博约”数学兴趣小组开展了再探矩形的折叠这一课题研究已知矩形，点、分别是、边上的动点．

若四边形是正方形，如图，将四边形沿翻折，点，的对应点分别为、点恰好是的中点．
若，求的长度；
若与的交点为，连接，试说明；
若，，如图，且，将四边形沿翻折，点、的对应点分别为、当点从点运动至点的过程中，点的运动路径长为______ ；
若四边形是正方形，，如图，连接交于点，以为直径作圆，该圆与交于点和点，将沿翻折，若点的对应点刚好落在边上，求此时的长度．

27.  本小题分
【定义】在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数图象，把该图象在直线上的点以及直线右边的部分向上平移个单位长度，再把直线左边的部分向下平移个单位长度，得到一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“分移函数”，例如：函数关于直线的“分移函数”为．
【概念理解】已知点、、，其中在函数关于直线的“分移函数”图象上的点有______ ；
已知点在函数关于直线的“分移函数”图象上，求的值；
【拓展探究】若二次函数关于直线的“分移函数”与轴有三个公共点，是否存在，使得这三个公共点的横坐标之和为，若存在请求出的值，若不存在，请说明理由；
【深度思考】已知，，，，若函数关于直线的“分移函数”图象与四边形的边恰好有个公共点，请直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据绝对值的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：图形不是中心对称图形，不符合题意；
B.图形不是中心对称图形，不符合题意；
C.图形不是中心对称图形，不符合题意；
D.图形是中心对称图形，符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
锐角．
故选D．
将特殊角的三角函数值代入求解即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
在中，，，
由勾股定理可得：．
故选：．
由于于点，所以由垂径定理可得，在中，由勾股定理即可得到答案．
本题考查了垂径定理，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：从正面看，图形的下面是个正方形，上面个正方形，即．
故选：．
主视图是从物体的正面观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握主视图的定义．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得：覆盖的多项式，
故选：．
根据被减数差减数，进行计算即可解答．
本题考查了整式的加减，熟练掌握被减数差减数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：甲和丙的平均数较小，所以在甲和丙两人中选一人参加比赛，
由于甲的方差比丙小，所以甲更稳定，故选甲参加比赛．
故选：．
此题有两个要求：平均成绩较低，状态稳定．于是应选平均数较小、方差较小的运动员参赛．
本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图：取的中点为，连接，，

，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故选：．
取的中点为，连接，，先证明，进一步求出和，再根据，求出的最小值．
本题考查黄金分割，勾股定理，正确分析出的取值范围是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
原式利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种计算方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点为的重心，
，
故答案为：．
根据三角形的重心的性质解答即可．
本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的倍．
 

12.【答案】 

【解析】解：、，是方程的两个根，
．
故答案为：．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

13.【答案】 

【解析】解：为弧所对的圆周角，
，
，
．
故答案为：．
先作出弧所对的圆周角，如图，根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质求的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：总面积为块方砖的面积，其中黑色方砖有个，
小球停在黑色方砖的概率为，
故答案为：．
根据几何概率的求法：小球落在黑色方砖的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

15.【答案】 

【解析】解：小明的最终比赛成绩为分．
故答案为：．
根据加权平均数的公式计算，即可求解．
本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：如图三角形，

由图象得当点到达点时的路程为，即，
当点到达点时的路程为，即，
作于，
，即，
，
设，，
，，
在和中，
，
解得，，，即或，
设边的高为，由，得或，
故答案为：或．
作出三角形，作于，由图象得当点到达点时的路程为，即，当点到达点时的路程为，即，设，，表示，，在和中，利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出边高即可．
本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合题意分析图形是解题关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：去分母，得：，
移项，得：，
合并，得：，
系数化为，得：；
将不等式的解集表示在数轴上如下：
． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

19.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：人，
，
，
“其他”支付方式所对应的圆心角为，
故答案为：，；
补全条形统计图如图，人，人，
补全条形统计图如图所示：

人，
答：估计选择现金支付的次数约为次．
根据使用现金的人数除以占比得出总人数，进而根据使用支付宝的人数除以总人数乘以求得的值，根据其他支付方式的人数除以总人数，再乘以，即可求解；
根据总人数减去已知的数据，得出使用微信支付的人数，补全统计图即可求解；
用乘以现金支付的人数的占比即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，还有把椅子可入座，入座后刚好在同一条直线上只有种情况，
三把椅子刚好在同一直线上．
故答案为：；
将第排，第列记为，
由图知，第排可入座的位置有：，，；
第排可入座的位置有：，．
画树状图如下：

由树状图可知，一共有种等可能情况，其中甲、乙刚好坐在同一列有种情况，
甲、乙两人刚好坐在同一列上．
直接根据概率公式求出即可；
用列表法或树状图法列举出所有等可能结果，数出甲、乙两人刚好坐在同一列的结果数，利用概率公式求出概率即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：点在反比例函数图象上，
，反比例函数解析式为：；
在反比例函数图象上，
，即，
点在一次函数的图象上，
，解得：，
一次函数解析式为：，
设直线交轴于点，当，，，．
所以． 

【解析】用待定系数法求出反比例函数解析式，用两点坐标求出直线解析式即可；
求出直线与轴的交点的坐标，利用代入数据计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，是两个函数值大小的分界点．
 

23.【答案】解：理由如下：
，，
又，
≌，
；
如图：▱即为所求．
 

【解析】根据全等三角形的性质进行证明；
根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握全等三角形的判定定理和平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：，，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
解得：，
谷的深度为尺． 

【解析】先证明字模型相似三角形∽，再利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得，然后证明字模型相似三角形，再利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后可得，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，数学常识，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
 

25.【答案】证明：连接，，

为的直径，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
即，
，
为的半径，
是的切线；
解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
在中，，
由知：，
在中，，
，
，
答：的半径为． 

【解析】连接，得，，证明≌得；由得，，进一步可得结论；
连接，可得，进一步得出，即可求出结论．
本题主要考查了切线的判定，直径所对圆周角是直角，等腰三角形的性质以及解直角三角形等知识是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
是的中点，
，
设，则，
，
，
；
证明：如图，

取的中点，连接，
四边形是正方形，
，，
是的中点，
，
由折叠得，
，
，
；
解：如图，

连接，交于，连接，，作点关于的对称点，
，
四边形是矩形，
，，
，
，，
≌，，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
点在以为圆心，为半径的上运动，
，
，
，
故答案为：；
解：如图，

连接，作于，作，交的延长线于，
设，，
四边形是的内接四边形，是的直径，
，，，，
，，
，
≌，
，，
，
由折叠得，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，舍去，
，
．
设，则，在中根据勾股定理列出方程，进而求得结果；
取的中点，连接，可推出是梯形的中位线，从而得出，在中，根据直角三角形的性质得出，从而得出；
连接，交于，连接，，作点关于的对称点，可证得≌，从而，进而证得是等边三角形，从而，从而得出点在以为圆心，为半径的上运动，根据弧长公式求得结果；
解：连接，作于，作，交的延长线于，设，，可证得≌，从而，，进而表示出，可证得≌，从而得出，，进而表示出，，，，，，在中，由勾股定理列出方程求得的值，进一步得出结果．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，圆的内接四边形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 

27.【答案】， 

【解析】解：函数关于直线的“分移函数”为，代入点、、分别验证，得到在图象上的点有，．
故答案为：，；
时“分移函数”的表达式为，把点代入得，即；
二次函数关于直线的“分移函数”为，当时，；把代入得，图象与轴有三个公共点，必须满足，
，
设函数图象与轴的三个公共点的横坐标分别为、、且，
的对称轴直线为，
与关于直线为对称，
，
三个公共点的横坐标之和为，
，
把代入得；
函数关于直线的“分移函数”为，
，
顶点为，
把代入，把代入得，
当时，，且，此时共三个交点，不满足题意；
当时，，且，此时共四个交点，满足题意；
当时，越大顶点的纵坐标越小，
设直线的表达式为，代入得，
，
与联立得，
，
，
，
或舍，
图象与四边形的边恰好有个公共点，应满足：
，
，
综上，的取值范围为或．
先求出函数关于直线的“分移函数”，代入点、、分别验证；
因为，所以把点代入；
设函数图象与轴的三个公共点的横坐标分别为、、且，与关于直线为对称，可以得到，求出，把代入得；
左侧图象与四边形的边只有一个交点时，，由此分三类分别讨论．
本题在新定义下考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，渗透了数形结合和分类讨论的思想，分类时一定要找到分类标准，本题左侧图象与四边形的边只有一个交点时，，由此分三类展开讨论．