2023年江苏省盐城市盐都区中考数学三模试卷（含解析）

2023年江苏省盐城市盐都区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  正六边形的外角和是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  年月日盐城马拉松在赛道线路上进行了全方位优化，以串场河为纽带，串联城市的特色地标和景点，展示出了盐城天蓝、地绿、基因红的生态环境和文化底蕴，赛事全程米，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，已知，，则为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在某次数学测试中，名学生的测试成绩单位：分统计如图所示，则这名学生的测试成绩的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内，若点，，三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．

10.  分解因式：______．

11.  一个不透明袋中装有个红球、个黑球、个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸出______ 球的可能性最大选填“红”、“黑”或“白”．

12.  若最简二次根式与是同类二次根式，则 ______ ．

13.  已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是，母线长为，则圆锥的底面圆的半径是______ ．

14.  在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少年上学期每天作业平均时长为，经过年下学期和年上学期两次调整后，年上学期平均每天作业时长为设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为______ ．

15.  如图，点是中优弧的中点，，为劣弧上一点，则的度数为______ ．

16.  如图，在平面直角坐标系中，线段在轴的正半轴上，过点作轴的垂线交反比例函数图象于点，连接，过点作，交轴于点，若，则四边形的面积是______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
已知，求代数式的值．

20.  本小题分
数学小组为了了解我校同学对食堂就餐的评价，抽取部分同学参加问卷评价调查，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示请根据图表信息解答下列问题：

本次问卷评价调查共抽取______ 名同学参与；
补全频数分布直方图；
小俊的评价分是所有被抽取学生评价分的中位数，据此推断他的评价得分在______ 组；
若全校共人，试估计评价得分不低于分的人数．

21.  本小题分
年月日，央视非遗里的中国江苏篇走进盐城九龙口淮剧小镇，全中国的人民都有机会感受到非遗准剧的独特魅力淮剧小镇也成了盐城的文旅新地标在小镇的休息区摆有圆形桌子，每个桌子共有个座位小明和小军在小镇游玩，想在如图所示的桌子上坐下休息，涂色座位代表已有人．
现小明随机选择一个空座位坐下，直接写出选择号空座位的概率______ ；
用画树状图或列表的方法，求小明和小军坐在相邻位置的概率．

22.  本小题分
如图，在▱中，点在上，点在上，且．
求证：四边形是平行四边形；
若为的平分线，且，，求▱的周长．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，若直线与抛物线交于点、两点，已知，．
求直线的函数表达式；
若将直线沿轴的正方向向上平移个单位长度后，与抛物线只有一个公共点，求此时的值．

24.  本小题分
小明提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为某个正数的平方．
举例验证：当，，则______ ；
推理证明：小刚同学做了如下的证明：
设，
，是连续的正整数，
．
，
______ ．
一定是正数的平方数．
请你补上小刚同学的证明过程的空格所缺内容；
注：推理论证中的两个是同一个代数式，答题卡上只需填写一个即可
类比探究：
小红同学类比小刚同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方”，请证明该结论；
深入思考：
老师在三位同学的基础上，鼓励同学们继续探究：若为两个连续正整数，，，则一定是______ 填：奇数、偶数

25.  本小题分
盐城市某初级中学数学小组想探究：大楼影长对相邻大楼的影响分成了两个实验小组，在某天下午时，同时进行了两项实验：
实验一：测量高为竹竿的影长通过测量发现影长为．
实验二：探究长方体的影子如图是该长方体在当天下午时阳光下投影，图是图中长方体的俯视图．
该长方体的高，宽．
此时的影长为______ ；
此时测得，求；
某小区预规划两栋一样的楼房甲、乙，朝向与“实验二”中长方体一致，俯视图如图，相关数据如图所示，若楼高米，请通过计算说明实验当天下午时甲楼的影子是否落在乙楼的墙上．

 

26.  本小题分
如图，扇形中，，，点在半径上，连接．
把沿翻折，点的对称点为点．
当点刚好落在弧上，求弧的长；
如图，点落在扇形外，与弧交于点，过点作，垂足为，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
如图，记扇形在直线上方的部分为图形，把图形沿着翻折，点的对称点为点，弧与交于点，若，求的长．

 

27.  本小题分
【阅读理解】
在平面直角坐标系中，把点沿纵轴或横轴方向到达点的最短路径长记为．
例如：如图，点，点，则．
已知点和点，则 ______ ．
点是平面直角坐标系中的一点，且，则所有满足条件的点组成的图形是______ ．
A.一条线段
B.一个等边三角形
C.一个正方形
D.一个圆
【新知运用】
已知点，点在线段上．
如图，已知点和点，则的最大值是______ ；
如图，已知点和点，求的最小值．
如图，已知点，点，以点为圆心，为半径作，点在上，则的取值范围是______ ．
【尺规作图】
如图，请用无刻度直尺和圆规在直线上找一点，使得．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数为．
故选：．
根据倒数的定义求解．
本题考查了倒数：的倒数为．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误；
故选：．
根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则，分别进行各项的判断即可．
此题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：正六边形的外角和是．
故选：．
根据任何多边形的外角和是即可求出答案．
本题考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是，外角和与多边形的边数无关．
 

4.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故选：．
首先根据平行线的性质，得的内错角是，再根据邻补角的定义，得的度数是．
本题考查了平行线的性质以及邻补角的定义，解答本题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图可知，分有人，分有人，分有人，分有人，
根据众数的定义，分是这名学生成绩的众数．
故选：．
根据众数的定义可以得解．
本题综合考查众数的求解和折线统计图的分析，正确分析折线统计图并根据众数的定义进行求解是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，故选项A、、不符合题意；
：对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项B符合题意．
故选：．
由正方形的判定、矩形的性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了正方形的判定、矩形的性质；熟练掌握菱形的判定和矩形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解；点，，三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，根据定理列出比例式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
解得：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件列不等式组求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件分母不能为零是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
 

11.【答案】红 

【解析】解：根据题意，一个袋中装有个红球、个黑球、个白球，共个；根据概率的计算公式有
摸到红球的可能性为；
摸到黑球的可能性为；
摸到白球的可能性为．
比较可得：从袋中任意摸出一个球，那么摸出红球的可能性最大．
故答案为：红．
根据概率公式分别计算出摸出红球、黑球、白球的可能性，再进行比较即可．
本题考查的是可能性大小的判断，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
 

12.【答案】 

【解析】解：由最简二次根式与是同类二次根式，得
．
解得，
故答案为：．
根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
 

13.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为，
则，
解得：，
即圆锥的底面圆的半径为，
故答案为：．
根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长列式计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
故答案为：．
利用年上学期平均每天作业时长年上学期平均每天作业时长这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率，列出一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：点是中优弧的中点，
即，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据圆周角定理，利用得到，再根据三角形内角和定理计算出，然后根据圆内接四边形的性质计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：设点坐标，
则，，
，
，
，
∽，
：：，即：：，
，
，
，
，
，
四边形的面积．
故答案为：．
设点坐标，证明和相似，求出，再求点坐标即可求出答案．
本题考查了反比例函数的性质的应用，相似三角形的性质及勾股定理的计算是解题关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】根据零指数幂，绝对值的性质，特殊锐角的三角函数值进行计算即可．
本题考查实数的运算，实数运算的相关法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

18.【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，．
故原不等式组的解集为． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

19.【答案】解：

，
，
，
，
原式． 

【解析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式，化简，再根据，可得，整体代入求值即可．
本题考查了完全平方公式，代数式求值，涉及单项式乘多项式，合并同类项，熟练掌握整体代入法是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：名，
故答案为：；
，
补全频数分布直方图如下：

所有被抽取学生评价分的中位数是位于第，第数据的平均数，
推断小俊的评价得分在组，
故答案为：；
人，
答：估计评价得分不低于分的人数为人．
将组频数除以频率即可求出抽取的同学人数；
先求出的值，再补全频数分布直方图即可；
根据中位数的意义确定出中位数所在的组，从而推断出小俊的评价分在哪个组；
将评价得分不低于分的频率乘以即可估计评价得分不低于分的人数．
本题考查频数分布表，频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，能从统计表中获取有用信息是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：小明随机选择一个空座位坐下，选择号空座位的概率为．
故答案为：；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中小明和小军坐在相邻位置的种，
所以小明和小军坐在相邻位置的概率为．
直接利用概率公式计算；
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出小明和小军坐在相邻位置的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
为的平分线，
，
，
，
，
▱的周长． 

【解析】由平行四边形的在得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
由平行四边形的性质得，，，再证，得，则，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：把代入，得，
，代入，，
，
把、代入得，
，
直线的函数表达式为；
直线沿轴的正方向向上平移个单位长度后的直线为，则，
，
直线与抛物线只有一个公共点，
，
． 

【解析】把代入求出抛物线，代入，求出，把、代入求直线的函数表达式；
直线沿轴的正方向向上平移个单位长度后的直线为，联立直线与抛物线，让含的方程．
本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，并与图象平移结合，难度不大．
 

24.【答案】    奇数 

【解析】解：，
故答案为：，
证明：设，
，是连续的正整数，
，
，
，
一定是正数的平方数．
故答案为：，
证明：设，
，是连续的正整数，
，
，
，
任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方．
解：，是两个连续自然数，且，
，，
，
，
，
是自然数，
，，
，
总是奇数．
故答案为：奇数．
根据猜想计算即可；
把代入即可；
设，由，是连续的正整数，可得在计算即可；
首先根据题意推出，即可求出关于的表达式，然后把，，代入到的表达式，通过为自然数及根式的性质对根式进一步化简，即可推出，由此可知总是奇数．
本题主要考查二次根式的性质，二次根式的化简，奇数的性质等知识点，关键在于通过题意推出和关于的表达式．
 

25.【答案】 

【解析】解：，测量高为竹竿的影长．通过测量发现影长为的影长是，
，
即，
解得，
故答案为：；
延长交于点，

设，则有：
在中，，
在中，，
则有：，
解得：，即，
，
．
如图所示，过点作于点，

由题意得：，
，
中，，
设，，
，
，，
，．
，，
甲楼的影子落在乙楼的墙上．
根据同一时刻，楼高与楼影长的比等于竹竿长与竹竿的影长的比求解即可；延长交于点，设，在和中，利用勾股定理求得，，进而即可求解；
过点作，根据楼高与影长的比求得，再利用三角函数即可得解．
本题主要考查了勾股定理，三角函数与投影，熟练掌握三角函数即勾股定理的内容是解题的关键．
 

26.【答案】解：如图所示，连接，

由翻折可知，，
，
，
是等边三角形，

，
理由如下，
如图所示，过点作，垂足为点，则垂径定理，

在与中，

≌，
，且，
，，即，
，
．
解：方法一：如图所示，将沿着翻折得，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，则四边形是矩形，

由折叠和可知，，
．

．
中，，
，，
，
．
∽，
，
，
．
方法二：如图所示，将沿着翻折得，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
四边形是矩形，
由折叠和可知，，
，
，
，
中，．
设，则，，
由得，，
解得：．
即． 

【解析】如图所示，连接，根据折叠的性质可得是等边三角形，可得，再根据弧长公式即可求解；
如图所示，过点作，垂足为点，则垂径定理，根据题意可得≌，由此即可求解；
方法一：如图所示，将沿着翻折得，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，则四边形是矩形，中，可求出的长度，再证∽，由此即可求解；方法二：在中，求出的值，再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查圆的几何图形的综合，掌握折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

27.【答案】      ， 

【解析】解：和点，
；
故答案为：；
设，
，
，
去绝对值符号，得，
画出函数图象如图所示，

所有满足条件的点组成的图形是正方形；
故选：．
点和点，
轴，
点在线段上，
设，，
，
当取得最大值时，取得最大值，
，
当时，的最大值为；
设直线的函数解析式为，
将点和点代入，得，
解得：，
直线的函数解析式为，
点在线段上，
设，，
，
当时，，
此时，随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为；
当，，
此时，随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值为．
综上，的最小值为．
解：过上任意一点作轴于点，过点作直线，交轴于点，使，如图，

则为等腰直角三角形，
，，
，
当最大时，最大，当最小时，最小，
即过圆上一点作的平行线，与轴交于一点，该点与点间的距离最大时，最大，该点与点间的距离最小时，最小，
作，使与相切于点，交轴于点，此时最大，
即当点运动到点时，最大，
过点作轴于点，连接，过点作于点，轴于点，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，，
，
，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
的最大值为，
过点作轴，交于、两点，过点作交轴于点，此时最小，
当点运动到点时，最小，
过点作于点，连接，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
最小值为．
综上，．
故答案为：．
如图，连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作，与的垂直平分线交于点，过点作轴的平行线与直线的交点即为所求点，
  
连接、，过点作于点，作于点，
则，
为的直径，
，
，
，
垂直平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
．
根据定义计算即可求解；设，则，再去绝对值符号，画出函数图形即可求解．
易得轴，设，则，于是，结合的取值范围，求出最大值即可；根据待定系数法求得直线的函数解析式为，设，，则，再去绝对值符号，利用一次函数的性质即可求出的最小值．
过上任意一点作轴于点，过点作直线，交轴于点，使，则为等腰直角三角形，进而可得，因此当最大时，最大，当最小时，最小，作，使与相切于点，交轴于点，此时最大，过点作轴于点，连接，过点作于点，轴于点，易得为等腰直角三角形，于是，易得，，则，进而求出，，，，于是，以此即可得出的最大值；过点作轴，交于、两点，过点作交轴于点，此时最小，过点作于点，连接，易得，，由勾股定理求出，则，以此即可得出最小值，进而得出的取值范围．
连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作，与的垂直平分线交于点，过点作轴的平行线与直先的交点即为所求点，连接、，过点作于点，作于点，由圆周角定理可得，根据同角的余角相等可得，根据线段垂直平分线的性质可得，于是根据证明≌，得到，，进而即可得到．
本题主要考查新定义、一次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、圆的切线、圆周角定理、勾股定理、矩形的判定与性质、尺规作图、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，本题难度较大，涉及知识点多，属于中考压轴题，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．