初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆一课一练

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第10讲 圆的有关性质（二）(重点题型方法与技巧) 目录类型一：利用圆周角定理及其推论求角的度数类型二：运用弧、弦、圆心角、圆周角的关系进行计算或证明类型三：圆内接四边形 类型一：利用圆周角定理及其推论求角的度数计算圆心角和圆周角时的注意事项：
1.在进行有关圆心角与圆周角的计算时，应适当添加辅助线，以方便角度之间的转化.一条弧所对的圆心角只有一个，而所对的圆周角有无数个，它们都相等；
2.一条弦所对的圆心角只有一个，但它所对的圆周角却有无数个，在同一条弦的同侧的圆周角相等，在同一条弦的异侧的两个圆周角互补.典型例题例题1．（2022·云南·昭通市昭阳区第一中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，若∠A＝30°，则∠B的度数为（　　）A．70° B．90° C．40° D．60°例题2．（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心九年级期中）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠OAB＝70°，则∠CED＝（    ）A．70° B．35° C．40° D．20°例题3．（2022·全国·九年级单元测试）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC＝75°，则∠C的度数为（　　）A．55° B．60° C．65° D．70°例题4．（2022·福建省福州第八中学九年级阶段练习）已知A，B，C三点在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠AOB＝___________°．例题5．（2022·云南·会泽县大井镇第二中学校九年级期中）如图，的弦与直径相交，若，则∠AOD=____度．例题6．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级）如图，点A、B、C、D、E在上，且为，求的度数．同类题型演练1．（2022·全国·九年级单元测试）如图，是直径，点，在半圆上，若，则（    ）A． B． C． D．2．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为（    ）A．25° B．30° C．40° D．50°3．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在⊙O中，点C是的中点，若，则∠D的度数是（　　）A． B． C． D．4．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，等边的三个顶点均在上，连接，，，则的度数为_______．5．（2022·广东顺德德胜学校三模）如图，点是的中点，点是上的一点，若，则______．6．（2021·安徽·淮南市洞山中学九年级阶段练习）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．(1)求证：∠ACO＝∠BCD．(2)若BE＝3，CD＝8，求BC的长．类型二：运用弧、弦、圆心角、圆周角的关系进行计算或证明圆中证明弧、弦、圆心角、圆周角相等或倍分关系的方法：在圆中证明弧、弦、圆心角、圆周角的相等或倍分关系时，应从同类型元素（指弧、弦、角）的相等或倍分关系入手，转化为另一种元素的相等或倍分关系，从而得到问题的结论.典型例题例题1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）在中，满足=2，则下列说法正确的是（   ）A． B． C． D．无法确定例题2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（    ）A．25° B．30° C．40° D．55°例题3．（2022·河南南阳·九年级开学考试）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个例题4．（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，其中AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠C＝110°，则∠ABC的度数=______．例题5．（2021·浙江·杭州市建兰中学九年级期中）如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD＝CD．若AC＝10，DE＝4，则BC的长为______．例题6．（2022·江苏·九年级）如图，正方形ABCD内接于⊙O， ，求证：BM＝CM．同类题型演练1．（2021·甘肃·九年级专题练习）如图，在中，，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（    ）．A． B．C． D．无法比较2．（2021·山东潍坊·二模）如图，是的直径，，是上的两点，且点为优弧的中点，连接，，，与交于点．若，则的度数为（    ）A． B． C． D．3．（2020·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）下列关于圆的说法中，错误的是（    ）A．半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧B．如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等C．圆的对称轴是任意一条直径所在的直线D．拱形不一定是弓形4．（2021·四川绵阳·九年级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（　　）A．10 B．13 C．12 D．115．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A、B、C、D均在上，若，，则∠B的度数为______．6．（2021·浙江·温州市第十二中学九年级期中）如图， 为的直径， 点是弧的中点， 过点作于点 ， 延长 交 于点 ， 若 ， 则 的半径长为__________7．（2021·陕西·商南县富水镇初级中学九年级期中）如图，的弦、相交于点，且．求证：．8．（2021·黑龙江齐齐哈尔·九年级期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，AB＝CD，AB与DC不平行，过点A作，交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接CE、OA．（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；（2）求证：AO平分∠BAE．类型三：圆内接四边形典型例题例题1．（2021·重庆十八中两江实验中学九年级阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，且，，则的度数为（    ）A． B． C． D．例题2．（2022·江苏·九年级单元测试）若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝1：2，则∠C＝（    ）A．120° B．130° C．140° D．150°例题3．（2022·浙江衢州·二模）如图，是的直径，C，D为上的点，且点D在弧上．若，则的度数为（    ）A． B． C． D．例题4．（2021·浙江·金华海亮外国语学校九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是是内接四边形，已知，则______．例题5．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________．例题6．（2022·云南昆明·九年级期末）如图，四边形内接于，，求证：．同类题型演练1．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，ABCD为圆内接四边形，若∠A＝60°，则∠C等于（  ）A．30° B．60°C．120° D．300°2．（2022·江苏宿迁·九年级期末）在圆内接四边形中，，则等于(   )A． B． C． D．3．（2022·四川自贡·九年级专题练习）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（    ）A．90° B．100° C．110° D．120°4．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E在AD的延长线上，∠CDE=82°，则∠ABC的度数是_____．5．（2022·浙江温州·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BAD=∠BCD=90°，AD=CD，且∠ADC=120°，若点E为弧BC的中点，连接DE，则∠CDE的大小是__________．6．（2022·江苏·九年级）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点D、E，过点A作AF∥BC交圆于点F，连接DE、EF．求证：(1)四边形ACEF是平行四边形；(2)EF平分∠BED．9．（2022·新疆喀什·九年级期末）如图，四边形APBC内接于圆，，连接AB，PC，．(1)是_________三角形；(2)在PC上取一点E，使，若，，求PC的长．