人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程练习

这是一份人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程练习，文件包含九年级数学上册第04讲一元二次方程中的易错问题归类训练原卷版-2022-2023学年九年级数学上册常考点数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升docx、九年级数学上册第04讲一元二次方程中的易错问题归类训练解析版-2022-2023学年九年级数学上册常考点数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
第04讲 一元二次方程中的易错问题归类训练（解析版）
第一部分 典例剖析+针对练习
类型一 根据一元二次方程概念或其解的定义求待定系数时，忽视“a≠0”
典例1 （2022春•琅琊区校级月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2
思路引领：根据一元二次方程的定义即可求出答案．
解：由题意可知：|m|−1=2m+3≠0，
解得：m＝3，
故选：A．
解题秘籍：本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
典例2 （2021秋•雁江区期末）若x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的解，则m的值为（　　）
A．m＝±1 B．m＝0 C．m＝1 D．m＝﹣1
思路引领：先把x＝0代入一元二次方程得m2﹣1＝0，解方程得到m＝1或m＝﹣1，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
解：把x＝0代入一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，
解得m＝1或m＝﹣1，
因为m﹣1≠0，
所以m的值为﹣1．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
针对训练1
1．（2021秋•双牌县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（　　）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣3或3
思路引领：利用一元二次方程的定义及常数项为0，确定出m的值即可．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，
∴m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3．
故选：C．
解题秘籍：此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）．
2．（2021秋•巴中期末）已知x＝﹣2是关于x的一元二次方程（m+1）x2+m2x+2＝0的解，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3或1
思路引领：将x＝﹣2代入方程即可求出m的值．
解：将x＝﹣2代入方程得：4（m+1）﹣2m2+2＝0，
解得：m＝﹣1或m＝3，
m＝﹣1时，方程为m+1＝0，不合题意，舍去，
则m＝3．
故选：B．
解题秘籍：此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
类型二　根据判别式求字母取值范围时，忽视“a≠0”及“ 中的a≥0”
典例3（2022•沈河区校级模拟）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　 ．
思路引领：根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0，
解得k＞−14且k≠0．
即实数k的取值范围是k＞−14且k≠0．
故答案为：k＞−14且k≠0．
解题秘籍：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
针对训练2
3．（2022春•连山区校级月考）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是 　　．
思路引领：根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝12﹣4（k﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝12﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤54且k≠1，
即实数k的取值范围为k≤54且k≠1．
故答案为：k≤54且k≠1，
解题秘籍：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（2022春•兰溪市校级月考）关于x的一元二次方程（m+1）x2+（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　　．
思路引领：根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m+1≠0且Δ＝（2m+1）2﹣4（m+1）（m﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得m+1≠0且Δ＝（2m+1）2﹣4（m+1）（m﹣1）＞0，
解得m＞−54且m≠﹣1，
即m的取值范围为m＞−54且m≠﹣1，
故答案为：m＞−54且m≠﹣1，
解题秘籍：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．
5．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知等式（m+2）x2+2mx+1＝0，其中m为常数，当有且只有一个x值满足等式时，则m的值是　 　．
思路引领：分m+2＝0和m+2≠0两种情况，其中m+2≠0时，利用根的判别式求解可得．
解：当m+2＝0，即m＝﹣2时，等式为﹣4x+1＝0，解得x=14，符合题意；
当m+2≠0，即m≠﹣2时，根据题意知Δ＝（2m）2﹣4×（m+2）×1＝0，
整理，得：m2﹣m﹣2＝0，
解得m＝﹣1或m＝2；
综上，当m＝﹣2或﹣1或2时，有且只有一个x值满足等式；
故答案为：﹣2或﹣1或2．
解题秘籍：本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的定义和根的判别式．
6．（2017•新野县校级模拟）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2kx﹣1＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围为　　．
思路引领：由x的方程（1﹣2k）x2﹣2kx﹣1＝0有两个不相等实数根，可得Δ＞0，且1﹣2k≠0，k≥0，三者联立求得答案即可．
解：∵关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2kx﹣1＝0有两个不相等实数根，
∴Δ＝（2k）2﹣4×（1﹣2k）×（﹣1）
＝4k﹣8k+4＞0，
解得：k＜1，
且1﹣2k≠0，k≥0，
∴k的取值范围为0≤k＜1且k≠12．
故答案为：0≤k＜1且k≠12．
解题秘籍：此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
类型三　利用根与系数关系求值时，忽视“Δ≥0”
典例4（夏津县校级期中）已知方程x2+2（m﹣2）x+m2+4＝0有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大40，求m的值．
思路引领：设方程x2+2（m﹣2）x+m2+4＝0的两个实数根分别为x1、x2，由根与系数的关系可知x1+x2＝﹣2（m﹣2），x1•x2＝m2+4，结合两个根的平方和比两根的积大40即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，由此即可确定m的值．
解：设方程x2+2（m﹣2）x+m2+4＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣2（m﹣2），x1•x2＝m2+4，
∵x12+x22−x1•x2=(x1+x2)2−3x1•x2＝40，
∴[﹣2（m﹣2）]2﹣3（m2+4）＝40，
整理，得：m2﹣16m﹣36＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝18．
∵方程x2+2（m﹣2）x+m2+4＝0有两个实数根，
∴Δ＝[﹣2（m﹣2）]2﹣4（m2+4）＝﹣16m≥0，
∴m≤0，
∴m的值为﹣2．
解题秘籍：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据跟与系数的关系以及根的判别式找出关于m的一元二次方程以及一元一次不等式是解题的关键．
针对训练4
7．（2020秋•高新区校级月考）已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32=0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m的值　　．
思路引领：先由根与系数的关系得到2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32=（m﹣1）2+12＞0，那么α和β同号，再由|α|+|β|＝4，分α+β＝﹣4或α+β＝4进行讨论即可．
解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32=0的两个实数根为α和β，
∴α+β＝﹣（2m+1），α•β＝m2﹣2m+32，
∴2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32=（m﹣1）2+12＞0，
∴α•β＞0，即α和β同号，
∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．
当α+β＝﹣4时，2m+1＝4，解得m=32；
当α+β＝4时，2m+1＝﹣4，解得m=−52．
∵Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2m+32）
＝4m2+4m+1﹣4m2+8m﹣6
＝12m﹣5≥0，
∴m≥512；
∴m=−52不合题意，舍去，
则m=32．
解题秘籍：本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．
8．（2022•双流区模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．若x1，x2之间关系满足x12﹣x22＝0，则m的值为 　　．
思路引领：先利用根的判别式的意义得到Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤14，再根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m﹣1），当x1+x2＝0时，﹣（2m﹣1）＝0，解得m=12（舍去）；当x1﹣x2＝0时，Δ＝0，解得m=14．
解：根据题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
解得m≤14，
根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m﹣1），
∵x12﹣x22＝0，
∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，
当x1+x2＝0时，﹣（2m﹣1）＝0，解得m=12（舍去）；
当x1﹣x2＝0时，Δ＝0，解得m=14，
综上所述，m的值为14．
故答案为：14．
解题秘籍：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
类型四　与三角形结合时忘记三角形三边关系
典例4 （渭滨区校级期中）在等腰△ABC中，三边长分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
思路引领：若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．
解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（b+2）2﹣4×6＝0；
解得b＝26−2，b＝﹣26−2（舍去）；
①当a为底，b为腰时，则26−2+26−2＞5，能够构成三角形，
此时△ABC的周长为：26−2+26−2+5＝46+1；
②当b为底，a为腰时，则5+26−2＞5，能够构成三角形；
此时△ABC的周长为：5+5+26−2＝26+8；
答：△ABC的周长是46+1或26+8．
解题秘籍：此题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．
针对训练4
9．（2021•开福区校级二模）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为　 　．
思路引领：解方程得出x＝4，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故答案为：24．

解题秘籍：本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键．
10．（2019秋•荆州期中）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k−12）＝0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
思路引领：（1）先计算判别式的值得到Δ＝4k2﹣12k+9，配方得到Δ＝（2k﹣3）2，根据非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）分类讨论：当b＝c时，则Δ＝（2k﹣3）2＝0，解得k=32，然后解方程得到b＝c＝2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程可解得k=52，则方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，所以a＝b＝4，c＝2或a＝c＝4，b＝2，然后计算△ABC的周长．
（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×4（k−12）
＝4k2+4k+1﹣16k+8，
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，Δ＝（2k﹣3）2＝0，解得k=32，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得b＝c＝2，而2+2＝4，故舍去；
当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k−12）＝0，解得k=52，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，即a＝b＝4，c＝2或a＝c＝4，b＝2，
所以△ABC的周长＝4+4+2＝10．
解题秘籍：本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．
类型五　实际应用中不能注意取舍
典例5（2020秋•法库县期末）2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？
思路引领：（1）设月平均增长率为x，根据该平台1月份和3月份的销售额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，根据总利润＝每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
解：（1）设月平均增长率为x，
依题意，得：1440（1+x）2＝2250，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是25%．
（2）设售价应降低y元，则每天可售出200+100y2=（200+50y）千克，
依题意，得：（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750，
整理，得：y2﹣4y+3＝0，
解得：y1＝1，y2＝3．
∵要尽量减少库存，
∴y＝3．
答：售价应降低3元．
解题秘籍：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
针对训练5
11．（2021秋•驿城区期末）新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎．2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．2021年10月30日，张文宏教授表示，未来全国和全世界都接种疫苗后，人们还是应该尽量减少聚集，在室内拥挤的地方戴口罩，加强通风．2020年1月，武汉某小区有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，求每轮传染中平均一个人传染了多少人？
思路引领：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮有x人被传染，第二轮有（1+x）x人被传染，根据经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮有x人被传染，第二轮有（1+x）x人被传染，
依题意得：1+x+（1+x）x＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不符合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了12人．
解题秘籍：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2022•宣城模拟）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则m的取值范围为（　　）
A．m＜5且m≠1 B．m≤5且m≠1 C．m≤5 D．m＜5
思路引领：根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，
∴m﹣1≠0且42﹣4（m﹣1）≥0，
解得：m≤5且m≠1，
故选：B．
解题秘籍：本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是列出关于m的一元一次不等式组．
2．（2022•张家口一模）若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0（n为整数）有两个不相等的实数根，则n的最小值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
思路引领：根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围．
解：由题意可知Δ＝（﹣2）2﹣4n×（﹣1）＝4+4n＞0，
解得n＞﹣1，
又n≠0，
则n的最小整数为1，
故选：B．
解题秘籍：本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
3．（2022•新野县一模）若关于x的一元二次方程ax2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a＜1 C．a＜2且a≠0 D．a＜1且a≠0
思路引领：根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝（﹣6）2﹣4×a×9＝36﹣36a＞0，
解得：a＜1且a≠0．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
4．（2022•南沙区一模）若16m+2＜0，则关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
思路引领：16m+2＜0可得出8m+1＜0，根据方程的系数及根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝8m+1，进而可得出关于x的一元二次方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0没有实数根．
解：∵16m+2＜0，
∴8m+1＜0．
由题意得Δ＝（2m+1）2﹣4×m×（m﹣1）＝8m+1．
∵8m+1＜0，
∴Δ＜0，
∴关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0没有实数根．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
5．（2022•花都区一模）已知a，b，4是等腰三角形的三边长，且a，b是关于x的方程x2﹣6x+m+6＝0的两个实数根，则m的值是（　　）
A．m＝2 B．m＝9 C．m＝3或m＝9 D．m＝2或m＝3
思路引领：①当腰长为4时，直接把x＝4代入原方程即可求出m的值；
②当底边为4时，那么x的方程x2﹣20x+m＝0的两根是相等的，利用判别式为0即可求出m的值．
解：①当腰长为4时，把x＝4代入原方程得16﹣24+m+6＝0，
∴m＝2，
∴原方程变为：x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝4，x2＝2，
∵4+2＞4
∴能构成三角形；

②当底边为4时，那么x的方程x2﹣6x+m+6＝0的两根是相等的，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（m+6）＝0，
∴m＝3，
∴方程变为x2﹣6x+9＝0，
∴方程的两根相等为x1＝x2＝3，
∵3+3＞4
∴能构成三角形；
综上，m的值是2或3，
故选：D．
解题秘籍：此题主要考查了一元二次方程的解的定义、等腰三角形的性质，根的判别式，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到方程的解，把方程的解代入原方程即可求出待定字母的取值即可解决问题．
6．（2021秋•毕节市期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1x1+1x2=1，则m的值为（　　）
A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3
思路引领：根据根与系数关系得出：x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，代入1x1+1x2=1中，求出m的值，再进行检验即可．
解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，
∴x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=2m+3m2=1，
解得：m＝3或m＝﹣1，
把m＝3代入方程得：x2﹣9x+9＝0，Δ＝（﹣9）2﹣4×1×9＞0，此时方程有解；
把m＝﹣1代入方程得：x2﹣x+1＝0，Δ＝1﹣4×1×1＜0，此时方程无解，即m＝﹣1舍去．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
二．填空题（共5小题）
7．（2022春•重庆期中）关于x的方程（k﹣1）x|k|+1﹣x+5＝0是一元二次方程，则k＝　　．
思路引领：根据一元二次方程的定义得出k﹣1≠0且|k|+1＝2，再求出k即可．
解：∵关于x的方程（k﹣1）x|k|+1﹣x+5＝0是一元二次方程，
∴k﹣1≠0且|k|+1＝2，
解得：k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
解题秘籍：本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
8．（2022•越秀区一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1的一个根为0，则a＝　　．
思路引领：根据题意把x＝0代入方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1中，可得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义可得a≠1，即可解答．
解：把x＝0代入（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1中，
a2＝1，
∴a＝±1，
由题意得：
a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
解题秘籍：本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
9．（2022•崂山区校级一模）一元二次方程的根完全由它的系数确定，并且可以由判别式Δ＝b2﹣4ac来判断根的情况，已知关于的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+4＝0有实数根，则a的取值范围为 　　．
思路引领：根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到a﹣3≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣3）×4≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：由题意得a﹣3≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣3）×4≥0，
解得a≤4且a≠3，
所以a的取值范围为a≤4且a≠3．
故答案为：a≤4且a≠3．
解题秘籍：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
10．（2022•邵阳模拟）已知关于x的一元二次方程(74m−3)xm2−7+mx+1＝0有两个相同的实数根，则m的值为 　 ．
思路引领：先根据一元二次方程的定义得到m2﹣7＝2，解得m＝3或m＝﹣3，再利用根的判别式的意义得到Δ＝m2﹣4（74m﹣3＝0，解得m1＝3，m2＝4，从而得到满足条件的m的值．
解：根据题意得m2﹣7＝2，解得m＝3或m＝﹣3，
∵Δ＝m2﹣4（74m﹣3）＝m2﹣7m+12＝0，
解得m1＝3，m2＝4，
而74m﹣3≠0，
∴m的值为3．
故答案为：3．
解题秘籍：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
11．（2022•旬阳县模拟）如果关于x的一元二次方程2x2﹣5x+m+1＝0有两个实数根，且这两根互为倒数，那么m的值是 　　．
思路引领：根据方程有两个实数根得到根的判别式大于等于0，再由两根互为倒数得到两根之积为1，求出m的值即可．
解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣5x+m+1＝0有两个实数根，且这两根互为倒数，设两根分别为a，b，
∴（﹣5）2﹣8（m+1）≥0，ab=m+12=1，
解得：m≤178，m＝1，
则m的值为1．
故答案为：1．
解题秘籍：此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的意义是解本题的关键．
三．解答题（共7小题）
12．（2022春•蜀山区校级期中）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的三边a，b，c中a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．
思路引领：（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到Δ＝（k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到x1＝k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到k﹣1＝2或k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．
（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4×（2k﹣2）＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，
∴无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）解：解方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0，
得x=k+1±(k−3)2，
∴x1＝k﹣1，x2＝2，
∵a、b、c为等腰三角形的三边，
∴k﹣1＝2或k﹣1＝3，
∴k＝3或4．
解题秘籍：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．
13．（2022•顺义区一模）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根是0，求方程的另一个根．
思路引领：（1）利用根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣2）＞0，然后解不等式组即可；
（2）先把x＝0代入方程得m＝2，此时方程变形为2x2﹣3x＝0，再设方程另一个根为t，利用根与系数的关系得0+t=32，然后求出t即可．
解：（1）根据题意得m≠0且Δ＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣2）＞0，
解得m＞−14且m≠0，
所以m的取值范围为m＞−14且m≠0；
（2）把x＝0代入方程得m﹣2＝0，解得m＝2，
此时方程变形为2x2﹣3x＝0，
设方程另一个根为t，
根据根与系数的关系得0+t=32，
解得t=32，
即方程的另一个根为32．
解题秘籍：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了根的判别式．
14．（2022•汝阳县一模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=−32成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
思路引领：存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=−32成立，理由为：利用根与系数的关系表示出x1+x2与x1x2，已知等式变形后代入计算即可求出k的值．
解：存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=−32成立，理由为：
∵x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1x2=k+14k，
已知等式整理得：2x12﹣5x1x2+2x22=−32，即2（x1+x2）2﹣9x1x2=−32，
代入得：2−9(k+1)4k=−32，即72=9(k+1)4k，
去分母得：14k＝9k+9，
解得：k=95．
解题秘籍：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
15．（2022春•余杭区月考）已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．
（1）试判断方程根的情况．
（2）若m＜0时方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，且n＝1，求m的取值范围．
思路引领：（1）通过一元二次方程根的判别式求解．
（2）由一元二次方程根与系数的关系求出x1•x2=−m+1m＞1，进而求解．
解：（1）∵一元二次方程mx2+nx−（m+n）＝0，
∴Δ＝n2−4m×[−（m+n）]＝（n+2m）2≥0，
∴该方程有两个实数根．
（2）将n＝1代入方程mx2+nx−（m+n）＝0，得mx2+x−（m+1）＝0，
∵方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，
∴x1•x2=−m+1m＞1，
当m＜0时，可得−12＜m＜0，
即m的取值范围是−12＜m＜0．
解题秘籍：本题考查一元二次方程根的情况，解题关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
16．（2022•乌鲁木齐模拟）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每周可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨1元，每周少卖出10件，每周销量不少于240件．
（1）每件售价最高为多少元？
（2）实际销售时，为尽快减少库存，每件在最高售价的基础上降价销售，每降1元，每周销量比最低销量240件多卖20件，要使利润达到6500元，则每件应降价多少元？
思路引领：（1）设每件的售价为x元，利用每周的销售量＝300﹣10×上涨的价格，结合每周销量不少于240件，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）设每件应降价y元，则每件的销售利润为（66﹣y﹣40）元，每周的销售量为（240+20y）件，利用每周销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×每周的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要尽快减少库存，即可得出每件应降价13元．
解：（1）设每件的售价为x元，
依题意得：300﹣10（x﹣60）≥240，
解得：x≤66．
答：每件售价最高为66元．
（2）设每件应降价y元，则每件的销售利润为（66﹣y﹣40）元，每周的销售量为（240+20y）件，
依题意得：（66﹣y﹣40）（240+20y）＝6500，
整理得：y2﹣14y+13＝0，
解得：y1＝1，y2＝13．
又∵要尽快减少库存，
∴y＝13．
答：每件应降价13元．
解题秘籍：本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
17．（2022春•蜀山区校级期中）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB为x米．
（1）若围成的花圃面积为36平方米，求此时宽AB；
（2）能围成面积为52平方米的花圃吗？若能，请说明围法；若不能，请说明理由．

思路引领：（1）由篱笆的总长度可得出花圃的长AD为（24﹣3x）米，根据花圃面积为36平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的最大可用长度a为10米，即可得出结论；
（2）不能围成面积为52平方米的花圃，根据花圃面积为52平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣48＜0，可得出该方程无实数根，即不能围成面积为52平方米的花圃．
解：（1）∵花圃的宽AB为x米，
∴花圃的长AD为（24﹣3x）米．
依题意得：x（24﹣3x）＝36，
整理得：x2﹣8x+12＝0，
解得：x1＝2，x2＝6．
当x＝2时，24﹣3x＝24﹣3×2＝18＞10，不合题意，舍去；
当x＝6时，24﹣3x＝24﹣3×6＝6＜10，符合题意．
答：此时宽AB为6米．
（2）不能围成面积为52平方米的花圃，理由如下：
依题意得：x（24﹣3x）＝52，
整理得：3x2﹣24x+52＝0，
∵Δ＝（﹣24）2﹣4×3×52＝﹣48＜0，
∴该方程无实数根，
即不能围成面积为52平方米的花圃．
解题秘籍：本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
18．（2022春•九龙坡区校级期中）2022年某地桑葚节于4月5日到4月20举行，热情的当地居民为游客准备了桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚膏等等，在当地举行的“桑葚会”上，游客不仅可以品尝纯正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚膏，而且还能体验制作它们的过程．各类桑葚产品均对外销售，游客们可以买一些送给亲朋好友．已知桑葚酒是桑葚酱单价的45，预计桑葚节期间全镇销售桑葚酒和桑葚酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000元，桑葚酱销售额为125000元．
（1）求本次桑葚节预计销售桑葚酒和桑葚酱的单价；
（2）今年因受“新冠”疫情的影响，前来参加桑葚节的游客量比预计有所减少，当地镇府为了刺激经济，减少库存，将桑葚酒和桑葚酱降价促销．桑葚酱在预计单价的基础上降低25a%（a＞0）销售，桑葚酒比预计单价降低14a元销售，这样桑葚酱的销量跟预计一样，桑葚酒的销量比预计减少了a%，桑葚酒和桑葚酱的销售总额比预计减少了3500a元．求a的值．
思路引领：（1）设本次桑葚节预计销售桑葚酱的单价为x元，则桑葚酒的单价为45x元，利用销售数量＝销售总价÷销售单价，结合预计桑葚节期间全镇销售桑葚酒和桑葚酱共7500千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出本次桑葚节预计销售桑葚酱的单价，再将其代入45x中即可求出销售桑葚酒的单价；
（2）利用销售数量＝销售总价÷销售单价，可分别求出本次桑葚节预计销售桑葚酒和桑葚酱的数量，再利用销售总价＝销售单价×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）设本次桑葚节预计销售桑葚酱的单价为x元，则桑葚酒的单价为45x元，
依题意得：20000045x+125000x=7500，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴45x=45×50＝40．
答：本次桑葚节预计销售桑葚酒的单价为40元，桑葚酱的单价为50元．
（2）本次桑葚节预计销售桑葚酒的数量为200000÷40＝5000（千克），
本次桑葚节预计销售桑葚酱的数量为125000÷50＝2500（千克）．
依题意得：50（1−25a%）×2500+（40−14a）×5000（1﹣a%）＝200000+125000﹣3500a，
整理得：252a2﹣250a＝0，
解得：a1＝20，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为20．
解题秘籍：本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．