初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数测试题

第04讲 二次函数的图象和性质

(重点题型方法与技巧)

目录

类型一：二次函数的定义

类型二：二次函数的图象与性质

类型三：二次函数的解析式

类型四：二次函数的平移问题

类型一：二次函数的定义

函数y=ax2+bx+c为二次函数的前提条件是a≠0．在解二次函数的相关问题时，一定不能忽视“二次项系数不为0”这一隐含条件，尤其是二次项系数含字母的二次函数，应特别注意．

典型例题

例题1．（2022·浙江丽水·九年级期中）下列函数中，是二次函数的是（       ）

A．y＝＋x＋1 B．y＝x2－(x＋1)2 C．y＝－x2＋3x＋1 D．y＝3x＋1

例题2．（2022·安徽宿州·九年级期末）如果是关于x的二次函数，则m的取值范围是（       ）

A． B． C．且 D．全体实数

例题3．（2022·全国·九年级课时练习）下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（       ）

A．正方体集装箱的体积，棱长xm

B．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm

C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤

D．高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm

例题4．（2021·广西南宁·九年级期中）若是关于的二次函数，则m＝_______

例题5．（2021·北京市宣武外国语实验学校九年级期中）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为______．

例题6．（2021·全国·九年级专题练习）已知函数，是常数．

若这个函数是一次函数，求的值；

若这个函数是二次函数，求的值．

同类题型演练

1．（2022·全国·九年级单元测试）下列函数中，是二次函数的是（     ）

A． B．

C． D．

2．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）若函数是二次函数，则的值为（       ）

A．－3 B．3或－3 C．3 D．2或－2

3．（2022·全国·九年级课时练习）下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（　　）

①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之间的关系为b＝0.8（220－a）；

②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝πr2h（h为定值）；

③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝gt2（g为定值）；

④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系为Q＝RI2（R为定值）.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3（m为常数）．

（1）当m_______时，该函数为二次函数；

（2）当m_______时，该函数为一次函数．

5．（2021·山东滨州·九年级期中）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为________．

6．（2022·全国·九年级课时练习）根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：

(1)如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数；

(2)一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm2）是方孔边长x（cm）的函数；

(3)有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数．

7．（2019·湖北·黄州区宝塔中学九年级阶段练习）已知函数（其中）．

当为何值时，是的二次函数？

当为何值时，是的一次函数？

类型二：二次函数的图象与性质

二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．

典型例题

例题1．（2022·浙江湖州·九年级期末）对于二次函数y＝x24x1的图象，下列叙述正确的是（   ）

A．开口向下 B．对称轴为直线x＝2

C．顶点坐标为（2，5） D．当x≥2时，y随x增大而减小

例题2．（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）抛物线的顶点坐标是（       ）

A． B． C． D．

例题3．（2022·甘肃·张掖市第一中学九年级期末）如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c＞1；（3）；（4）．你认为其中错误的有（       ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．1个

例题4．（2022·全国·九年级专题练习）若点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（4，y3）为二次函数y＝﹣x2＋4x＋5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是____（用“＞”号连接）．

例题5．（2021·福建漳州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于A，B两点．

(1)若抛物线的对称轴是直线x＝2．

①求抛物线的解析式；

②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(2)当b≥4，0≤x≤2时，函数y的最大值满足5≤y≤13，求b的取值范围．

同类题型演练

1．（2022·全国·九年级课时练习）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（       ）

A．它的图象经过点（－1，－2）

B．它的图象的对称轴是直线x＝2

C．当x＜0时，y随x的增大而增大

D．当－12时，y有最大值为8，最小值为0

2．（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）抛物线的顶点坐标是(     )

A．（1，4） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（﹣1，﹣4）

3．（2021·福建·平潭翰英中学九年级期中）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a＋c＜2b；③3b＋2c＜0；④m（am＋b）＋b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（       ）

A．①② B．①③④ C．②③④ D．①④

4．（2021·黑龙江·肇源县第五中学九年级期中）已知抛物线与经过点（m，1），则代数式m²-m+2019的值为_____．

5．（2022·全国·九年级课时练习）已知点A（-1，y1），B（2 ，y2），C（5，y3）在二次函数y＝x2﹣6x+c的图象上，则y1， y2， y3的大小关系是_____________ （按照从小到大用＜连接）．

6．（2022·福建三明·九年级期末）平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）的顶点为A．

(1)当抛物线经过点（1，2），求抛物线的函数表达式；

(2)求顶点A的坐标（用含字母a的代数式表示），判断顶点A是在x轴上方还是下方，并说明理由；

(3)当x≥0时，抛物线（a为常数）的最高点到直线y＝3a的距离为5，求a的值．

类型三：二次函数的解析式

用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法：

（1）设一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y=ax2+bx+c，将已知条件代入解析式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组求出a，b，c的值，解析式便可得出．

（2）设顶点式：y=a（x-h）2+k，若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函数为y=a（x-h）2+k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．

（3）设交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为（x1，0），（x2，0)，设所求二次函数为y=a（x-x1）（x-x2），将第三个点的坐标（m，n)（其中m，n为已知数）或其他已翻条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式．

典型例题

例题1．（2021·江苏·九年级专题练习）已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，则二次函数的解析式是（     ）．

A． B． C． D．

例题2．（2020·内蒙古·乌海市海南区教育局教研室九年级期中）若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（       ）

A．y=4（x-2）2 -3 B．y=-2（x-2）2+3 C．y=-2（x-2）2-3 D．y= -(x-2）2+3

例题3．（2020·吉林·九年级阶段练习）将二次函数的图象沿轴翻折后，所得图象的函数解析式是（       ）

A． B．

C． D．

例题4．（2022·湖北襄阳·九年级期末）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）．

例题5．（2022·河南新乡·九年级期末）小刚在用描点法画抛物线C1：时，列出了下面的表格：

请根据表格中的信息，写出抛物线C1的解析式：______．

例题6．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学九年级期末）在下图的平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴的一个交点为A（4，0）．

(1)求抛物线的表达式及顶点B的坐标；

(2)将时函数的图象记为G，点P为G上一动点，求P点纵坐标的取值范围；

(3)在（2）的条件下，若经过点C（4，-4）的直线与图象G有两个公共点，结合图象直接写出b的取值范围．

同类题型演练

1．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（   ）

A．y＝﹣2（x﹣1）2 +2021 B．y＝2（x﹣1）2 +2021

C．y＝﹣2（x+1）2+2021 D．y＝2（x+1）2+2021

2．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线关于轴对称后所得到的抛物线解析式为（     ）

A． B．

C． D．

3．（2021·江苏·九年级专题练习）已知点在抛物线上，则下列四个点中，一定也在该抛物线上的是（       ）

A． B． C． D．

4．（2021·山东·威海市实验中学九年级期末）抛物线经过点A（2，0），该抛物线顶点在直线上，则该抛物线解析式为______．

5．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：

则这条抛物线的解析式为_______．

6．（2021·黑龙江·肇源县第五中学九年级期中）如图，抛物线（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0），B（4，n）两点，且抛物线经过点C（5，0）．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，设点P的横坐标为m．

①求线段PE长的最大值，并求此时P点坐标；

②是否存在点P使为等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

类型四：二次函数的平移问题

（1）抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．

（2）涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x-h）2+k的形式．

（3）抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是（0，0），y=ax2+k的顶点是（0，k），y=a（x-h）2的顶点是（h，0），y=a（x-h）2+k的顶点是（h，k）．我们只需在坐标系中画出这几个顶点，即可轻松地看出平移的方向．

（4）抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．

典型例题

例题1．（2021·黑龙江·兰西县第三中学九年级期中）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（       ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）将抛物线向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的顶点坐标是（       ）

A．（－4，4） B．（0，4） C．（0，6） D．（－4，－6）

例题3．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）要得到抛物线，可以将抛物线（       ）

A．向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 

B．向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度

C．向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 

D．向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度

例题4．（2022·天津滨海新·九年级期末）抛物线可以由抛物线先向左平移个单位，再向下平移___________个单位得到的．

例题5．（2022·江苏·九年级专题练习）已知抛物线，经过点和．

(1)求、的值；

(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．

同类题型演练

1．（2021·福建·平潭翰英中学九年级期中）将抛物线y x2先向左平移5个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线的解析式是（       ）

A． y=-4 B． y=+4

C． y=-4 D． y=+4

2．（2022·甘肃·张掖市第一中学九年级期末）把抛物线有的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（       ）

A． B．

C． D．

3．（2022·湖南长沙·九年级期末）要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（            ）

A．向左平移2个单位，再向上平移3个单位

B．向左平移2个单位，再向下平移3个单位

C．向右平移2个单位，再向上平移3个单位

D．向右平移2个单位，再向下平移3个单位

4．（2022·全国·九年级单元测试）抛物线 向上平移 个单位长度，得到抛物线____；再向____平移____个单位长度得到抛物线 ．

5．（2022·广西河池·九年级期末）已知抛物线经过点，．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)将抛物线经过某种平移后得到，请写出这种平移的方法．

6．（2022·陕西延安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过A（0，-1），B（4，7）．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)把抛物线y=x2+bx+c向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得新抛物线．在新抛物线上是否存在一点M、新抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得以AB为边，且点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M，N的坐标，若不存在，请说明理由．