2023成都石室中学高三下学期周练十一（理科）数学试题含答案

这是一份2023成都石室中学高三下学期周练十一（理科）数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了已知集合，，则中元素的个数为，函数的图象可能是，已知圆C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
石室中学高2023届高三下数学周练十一（理科）1．已知集合，，则中元素的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．32．已知复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（    ）A． B． C． D．3．记数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（    ）A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充要条件     D．既不充分也不必要条件4．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（    ）A． B． C．8 D．5．函数的图象可能是（    ）A． B．C． D．6．木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（    ）A．          B．      C．       D．7．已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当最大时，（    ）A．1 B． C． D．28．已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为（    ）A．（） B．（）C．（） D．（）9．已知椭圆C：（），过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．10．已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（    ）A．       B．      C．       D．11．32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（    ）A．24 B．25 C．26 D．2712．如图所示，在菱形中，，分别是线段的中点，将沿直线折起得到三棱锥，则在该三棱锥中，下列说法不正确的是（    ）A．直线平面            B．直线与是异面直线C．直线与可能垂直          D．若，则二面角的大小为13．已知向量，，写出一个与垂直的非零向量______．14．已知函数，则的单调增区间为_______.15．已知曲线过曲线上两点A，B分别作曲线的切线交于点P，．记A，B两点的横坐标分别为,则______．16．某种平面铰链四杆机构的示意图如图1所示，AC与BD的交点在四边形ABCD的内部．固定杆BC的长度为，旋转杆AB的长度为1，AB可绕着连接点B转动，在转动过程中，伸缩杆AD和CD同时进行伸缩，使得AD和CD的夹角为45°，AD的长度是CD的长度的倍．如图2，若在连接点B，D之间加装一根伸缩杆BD，则伸缩杆BD的长度的最大值为______．17．2023年3月5日，国务院总理李克强在政府工作报告中指出“着力扩大消费和有效投资．面对需求不足甚至出现收缩，推动消费尽快恢复．帮扶旅游业发展．围绕补短板、调结构、增后劲扩大有效投资．”某旅游公司为确定接下来五年的发展规划，对2013~2022这十年的国内旅客人数作了初步处理，用和分别表示第年的年份代号和国内游客人数（单位：百万人次），得到下面的表格与散点图．年份2013201420152016201720182019202020212022年份代码x12345678910国内游客数y3262361139904432500055426006287932462530(1)2020年~2022年疫情特殊时期，旅游业受到重挫，现剔除这三年的数据，再根据剩余样本数据（，2，3，…，7）建立国内游客人数关于年份代号的一元线性回归模型；(2)2023年春节期间旅游市场繁荣火爆，预计2023年国内旅游人数约4550百万人次，假若2024年~2027年能延续2013年~2019年的增长势头，请结合以上信息预测2027年国内游客人数．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，参考数据：，                18．已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，(1)求数列的通项公式；(2)记为数列在区间中最大的项，求数列的前项和．             19．中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，是正方形，平面，，点，是，的中点．(1)若要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；(2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．                20.已知A,B是抛物线E:上不同的两点，点P在轴下方，PA交抛物线E于点C，PB交抛物线E于点D，且满足，其中是常数，且（1）设AB,CD的中点分别为点M，N，证明MN垂直于轴；（2）设点P为半圆上的动点，且，求四边形ABCD面积的最大值.                 21．已知函数，其中．(1)若有两个零点，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．                     22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求，的直角坐标方程；(2)若直线l与交于A，B两点，与交于C，D两点，，且，求．23．已知a，b均不为零，且满足．证明：(1)；(2)．
参考答案：1．C【分析】分别作出集合所表示的图象，只需判断两图象的交点的个数即可得答案.【详解】解：因为，表示直线上的点，又因为，所以集合表示如图所示的正方形边上的点，所以中元素的个数即为直线与正方形的边的交点个数，由图可知直线与正方形的边有2个交点，即中元素的个数为2.故选：C.2．D【分析】转化为动点到两定点距离相等的几何意义即可得到答案.【详解】设复数在复平面内对应的点分别为,则的几何意义是到的距离和到的距离相等,则在复平面内对应的点满足.故选：D.3．B【分析】利用等差数列前项和及性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答.【详解】等差数列的前项和为，则，数列的前项和为，取，显然有，而，即数列不是等差数列，所以“”是“为等差数列”的必要不充分条件.故选：B4．B【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.【详解】依题意这组数据一共有个数，中位数为，则从小到大排列的前面有个数，后面也有个数，又唯一的众数为，则有两个，其余数字均只出现一次，则最大数字为，又极差为，所以最小数字为，所以这组数据为、、、、，所以平均数为.故选：B5. 【答案】D【分析】利用函数的奇偶性，的值及在区间，上函数值的正负情况，排除错误选项即可得解．【详解】，则，，故是非奇非偶函数，故排除A、B，；当时，，；当时，，，结合图象可排除C．故选：D．6．A【分析】根据正四棱台的外接球的性质可得两底面的边长，进而根据直角三角形的边角关系，结合二面角的定义即可求解.【详解】如图：正四棱台，由题意可知：是底面正方形的中心也是球O的球心，且,所以 ,进而可得取的中点为，过的中点作，连接,所以 ,,故,在直角三角形中， 故，由于,所以即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为，故选：A6．D【分析】代入得，设浓度为7mg/dL时，摄入天数为，则有，通过作差解出即可.【详解】由函数模型，当时,,可得,即①.设血液尿酸浓度达到正常值7mg/dL时，摄入天数为,则，即②, ②①得，即，则.故选：D.7．D【分析】根据给定条件，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解作答.【详解】依题意，在中，，如图，显然，是锐角，，又函数在上递增，因此当且仅当公共弦最大时，最大，此时弦为圆的直径，在中，，所以.故选：D8．D【分析】根据恒成立，可得，再结合，求得，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.【详解】因为恒成立，所以，即，所以或，所以或，当时，，则，与题意矛盾，当时，，符合题意，所以，所以，令，得，所以的单调递增区间为（）.故选：D. 9．A【分析】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C，根据方向向量的直线斜率为，结合反射的性质可得，再结合等腰直角三角形的性质列式求解即可.【详解】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C.因为方向向量的直线斜率为，则，，又由反射光的性质可得，故，所以为等腰直角三角形，且到的距离为，又，故，，则，故，离心率.故选：A10．B【分析】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为增函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①因为函数为偶函数，则，②联立①②可得，令，则，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，即函数在上为增函数，故当时，，所以，函数在上为增函数，由可得，所以，，整理可得，解得.故选：B.11．A【分析】由二项分布及其期望计算即可.【详解】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y；设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-n．X所有可能的取值为0，1，2，，n，则，；Y所有可能的取值为0，1，2，，32-n，则，，所以获胜的业余棋手总人数的期望，解得．故选：A． 12．C【分析】根据三角形中位线性质和线面平行的判定可知A正确；由异面直线的判断方法可知B正确；由向量线性运算和向量数量积运算律可得，由此可知垂直关系无法成立，知C错误；由，可利用构造方程求得二面角的余弦值，由此可知D正确.【详解】对于A，分别为中点，，平面，平面，平面，A正确；对于B，平面，平面，，与为异面直线，B正确；对于C，设菱形的边长为，又，则，，，，，，即与不可能垂直，C错误；对于D，取中点，连接，为等边三角形，，，即为二面角的平面角，设菱形的边长为，则，，，又，，解得：，二面角的大小为，D正确.故选：C.13．（答案不唯一）【分析】首先计算，设，利用垂直则数量积为0有，赋值即可.【详解】由题意可知,设,则,取,则,则与垂直的非零向量可以为，故答案为：.14．【分析】根据对数复合函数的单调性，注意函数的定义域，进而确定单调增区间即可.【详解】令，即，由，则在上递增，在上递减，综上，在上递增，在上递减，而在定义域上递增，所以的单调增区间为.故答案为：15．【分析】根据导数的几何意义，结合图象及垂直的斜率关系计算即可.【详解】当x>0时，；当x<0时，，根据导数的几何意义结合图象，不妨设，．因为曲线在点A，B处的两条切线互相垂直，所以，整理得，所以是．故答案为：-116．【分析】设，在中，由余弦定理得到，再由正弦定理求得，在中，由余弦定理化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】设，且，在中，由余弦定理得，又由正弦定理得，则，在中，，，则，且，在中，由余弦定理得，所以当时，取最大值1，可得的最大值为9，所以长度的最大值为．故答案为：.17．(1)；(2)6422百万人次. 【分析】（1）利用最小二乘法结合条件可得回归方程；（2）根据线性回归方程，结合条件即得.【详解】（1）由题可得，，，所以，，所以根据样本数据（，2，3，…，7）建立一元线性回归模型为；（2）由可知，年份每增加1年国内旅游人数将增加468百万人次，所以预测2027年国内游客人数为百万人次.18．(1)；(2). 【分析】（1）由题可得，然后利用等比数列的基本量运算即得；（2）根据条件可得，进而可得，然后利用分组求和法即得.【详解】（1）设的公比为，则，又，当时，，当时，，两式相减可得，，所以，所以或(舍去)，所以，即，所以等比数列的通项公式为；（2）由，，可得，所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以.即.19．(1)详见解析；(2)详见解析. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可得平面，设的中点为，根据线面平行的性质可得就是应画的线，然后根据线面垂直的判定定理结合条件可得截面周长；（2）建立空间直角坐标系，可得平面的法向量，设平面，根据线面垂直的性质可得的位置，进而即得.【详解】（1）因为平面，平面，所以平面，又平面，设平面平面，则，设的中点为，连接，则，又，所以，即为，就是应画的线，因为平面，平面， 所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，即截面为直角梯形，又，所以，，所以，截面周长为；（2）以点为坐标原点，，，分别为，，轴的正向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，设平面的法向量为，则，令，可得，设平面，设，又，∴，，由，可得，即，即为的三等分点，连接，即就是应画的线.20.（1）因为且P,A,C共线，P,B,D共线，故；所以，设，故由得，所以，即，所以MN垂直于x轴（2）设，则当=2时，C为PA中点，则因为C在抛物线上，所以，即同理，所以，是方程的两个根，则有所以则PM垂直于x轴，故所以当时，21．(1)；(2)． 【分析】（1）由题可得方程有两个解，然后构造函数利用导数研究函数的性质进而即得；（2）由题知恒成立，进而转化为证明当时，然后利用二次函数的性质结合条件可得只需证明即可，再构造函数利用导数证明不等式即得.【详解】（1）由有两个零点，得方程有两个解，设，则，由，可得，单调递增，由，可得，单调递减，所以的最大值为，当时，当时，，所以可得函数的大致图象，所以，解得，所以，有两个零点时，的取值范围是；（2）设，即，则恒成立，由，，可得，下面证明当时，，即证，令，则证，，令为开口向上的二次函数，对称轴为，由（1）可知，故在时单调递增，则，下面只需证明即可，即证，令，则，令，则，所以函数单调递减，且，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，即，从而不等式得证，综上，的取值范围是．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．(1):，:；(2). 【分析】（1）消去参数化曲线的参数方程为普通方程，利用极坐标与直角坐标互化得的直角坐标方程.（2）把直线l的参数方程分别与曲线，的直角坐标方程联立，利用韦达定理结合参数的几何意义求解作答.【详解】（1）消去曲线参数方程中的参数，得的普通方程：，由得，又，则有，所以，的直角坐标方程分别为，.（2）把代人，得，整理得，设点,所对应的参数分别为，则，把代人，得，整理得，设点,所对应的参数分别为，则，，，且，即与的中点重合，因此，于是，而，解得，，所以.23．(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）根据完全平方式有，再利用基本不等式即可证明；（2）根据条件将原式化简为，再利用基本不等式即可证明.【详解】（1），，.根据基本不等式得,当且仅当时,等号成立.整理得,（2），由基本不等式和不等式的性质,得，，故，当且仅当时,等号成立,