2023大理白族自治州高一下学期期末数学试题含解析

【考试时间：7月6日   08：00～10：00】

2022～2023学年下学期大理州普通高中质量监测

高一数学试卷

（全卷四个大题，共22个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

3．非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合，，若，则的范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合数轴分析即可.

【详解】

由数轴可得，若，则.

故选：B.

2. 下列哪个量刻画了数据的离散程度（    ）

A. 众数 B. 平均数 C. 方差 D. 中位数

【答案】C

【解析】

【分析】根据方差的定义判断即可.

【详解】方差（标准差）刻画了一组数据的离散程度.
故选：C

3. 若为奇函数，则（    ）

A. 1或 B. 1 C. 0 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据奇偶性定义得出参数值.

【详解】为奇函数，，

.

故选：D

4. 若复数满足，则关于复数的说法正确的是（    ）

A. 复数的实部为 B. 复数的虚部为

C. 复数的模长为 D. 复数对应的复平面上的点在第一象限

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念、几何意义及模的计算公式计算可得.

【详解】因为，所以，

所以复数实部为，虚部为，故A正确，B错误；

，故C错误；

复数对应的复平面上的点为，位于第四象限，故D错误；

故选：A

5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有85%的学生喜欢足球或游泳，70%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ）

A. 15% B. 63% C. 67% D. 70%

【答案】C

【解析】

【分析】根据韦恩图中集合的关系运算即可．

【详解】由题意可得如下所示韦恩图：

所求比例为：，

故选：C

6. 某校高一年级900名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，则该校高一年级学生数学成绩的平均值为（    ）

A. 121.2 B. 120.4 C. 119 D. 115

【答案】B

【解析】

【分析】根据平均数计算公式即可求解.

【详解】由频率分布直方图可得平均数为,

故选：B

7. 将函数向右平移（）个单位长度后得到一个关于对称的函数，则实数的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用两角和的正弦公式化简，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，根据正弦函数的对称性求出的取值，即可得解.

【详解】因为，

将函数向右平移个单位长度得到函数，

由函数关于对称，

所以，所以，

又，．

故选：A.

8. 如图，已知正方形的边长为2，，分别是，的中点，平面，且，则与平面所成角的正弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】连接、，且、分别交于、，证明平面，再利用面面垂直的判定得平面平面，再作出，利用面面垂直的性质有平面，最后根据线面角的定义计算相关长度即可.

【详解】如图，连接、，且、分别交于、.

因为四边形是正方形，、分别为和的中点，

故为的中点，因为平面，平面，

所以平面，所以到平面的距离就是点到平面的距离.

，即，平面，

平面，，平面，

平面平面平面平面，

作交于点，因为平面，平面平面，

平面，所以线段的长就是点到平面的距离.

正方形的边长为.

平面，平面，所以，

在中，，根据，

有，得，

因为，平面，所以的长即为点到平面的距离，

，即与平面成角的正弦值为.

故选：D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9. 已知向量，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】利用线性运算的坐标表示，求出的坐标，再逐项分析判断作答.

【详解】因为向量，，则，，

因此，A错误，B正确；

由，知C错误；，D正确.

故选：BD

10. 若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据对立事件的概率公式判断A，由于无法确定、是否相互独立及，即可判断B、C、D.

【详解】因为，，所以，故A正确；

由于无法确定、是否相互独立，故无法确定的值，但是，故B错误；

又，故C正确，D错误；

故选：AC

11. 下列说法错误的是（    ）

A. 若角，则角为第二象限角

B. 将表的分针拨快15分钟，则分针转过的角度是

C. 若角为第一象限角，则角也是第一象限角

D. 在区间内，函数与的图象有1个交点

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据象限角的概念判断A，根据任意角的定义判断B，利用特例判断C，根据正弦、正切函数的性质判断D.

【详解】对于A：因为，所以角为第一象限角，故A错误；

对于B: 将表的分针拨快15分钟，则分针转过的角度是，故B错误；

对于C：若为第一象限角，则位于第三象限，故C错误；

对于D：在内，令，即，显然，

所以，则，，即无解，

又与均为奇函数，函数图象关于原点对称，

所以在内，方程也无解，

又，所以在区间内，函数与的图象有1个交点，故D正确；

故选：ABC

12. 下列选项中，正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据对数函数的性质判断A，根据对数的运算性质判断B，利用基本不等式及对数的运算性质判断C，根据对数的运算性质得到，再令，根据对勾函数的性质判断D.

【详解】对于A：，故A正确；

对于B：由于，，

所以，则，故B正确；

对于C：因为，又，

所以，故C错误；

对于D：，

令，由对勾函数的性质可知在上单调递减，

因为，所以，

即，即，故D正确；

故选：ABD

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知，则_______.

【答案】

【解析】

【分析】直接利用二倍角的余弦公式求得cos2a的值．

【详解】∵.

故答案为：．

14. 某校为了解高一年级学生的每周平均运动时间（单位：小时），采用样本量比例分配的分层随机抽样调查，所得样本数据如下：

则总样本平均数是______．

【答案】10.8

【解析】

【分析】根据给定条件，利用平均数公式计算作答.

【详解】依题意，总样本平均数是.

故答案为：10.8

15. 已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，平面，,则其外接球的半径为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据平面，底面为等边三角形，可知球心的位置，利用勾股定理即可求解.

【详解】设H为底面正的中心，取中点，过点H作,且，连接,

由于平面，所以平面,故,

由于,所以四边形为正方形，

故，因此,

因此为外接球的球心，

如图，设外接球的半径为R，由题可知，

则,

故答案为：

16. 在中，为其外心，，若，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据向量的模长公式，结合外心的性质即可求解.

【详解】由可得，平方可得,

由于为外心，所以，

所以,

故答案为：

四、解答题．（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 如图，角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若点的坐标为（其中）．

（1）求的值；

（2）若将绕原点按逆时针方向旋转45°，得到角，求的值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由三角函数定义求得，再由平方关系求得作答.

（2）根据给定条件得，利用两角和正切公式求解作答．

【小问1详解】

依题意，由三角函数定义得，且为第二象限的角，则，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，，而，

所以.

18. 如图，多面体中，四边形为矩形，，．求证：

（1）平面平面；

（2）平面平面．

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）首先由矩形的性质得到，从而证明平面，再证平面即可；

（2）依题意可得，即可得到平面，从而得证.

【小问1详解】

因为四边形为矩形，所以，平面，平面，所以平面，

又，平面，平面，所以平面，

因为，平面，

所以平面平面.

【小问2详解】

因为四边形为矩形，所以，又，

，平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面.

19. 一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有3个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．求：

（1）这名学生在上学途中只遇到1次红灯的概率；

（2）这名学生在上学途中至少遇到了2个红灯的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，由相互独立事件的概率计算公式，代入计算，即可得到结果；

（2）根据题意，这名学生在上学途中至少遇到了2个红灯包括两种情况，分别计算其概率，然后相加，即可得到结果.

【小问1详解】

设事件为这名学生在上学途中只遇到1次红灯，

则，

故这名学生在上学途中只遇到1次红灯的概率为.

【小问2详解】

设事件为这名学生在上学途中至少遇到了2个红灯，

则这名学生在上学途中只遇到了2个红灯的概率为，

这名学生在上学途中遇到了3个红灯的概率为

，所以.

故这名学生在上学途中至少遇到了2个红灯的概率为.

20. 已知锐角的内角,,所对的边分别为,,,且，.若.

（1）求；

（2）若点满足，求的长．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用二倍角正弦化简作答.

（2）由（1）的结论，结合余弦定理求出c，再利用数量积的运算律求解作答.

【小问1详解】

在锐角中，由及正弦定理，得，

而，即，则，

所以.

【小问2详解】

由（1）及余弦定理，得，即，

而，解得，又，

所以

.

21. 如图，长方体中，，，，点是棱上一点．

（1）当点在上移动时，三棱锥体积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求这个三棱锥的体积；

（2）当点移动到中点时，求直线与成角余弦值．

【答案】（1）体积不变，   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据计算可得；

（2）设，取的中点，连接、，即可得到，从而得到直线与成角即为（或其补角），再由余弦定理计算可得.

【小问1详解】

三棱锥的体积不变，

，．

．

【小问2详解】

当点移动到中点时，设，取的中点，连接、，

显然为的中点，所以，

所以直线与成角即为（或其补角），

因为，，，

所以，

所以直线与成角的余弦值为.

22. 已知函数（为正常数），且．

（1）求的解析式；

（2）若函数的值域为，求实数的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用给定的函数值，求出参数作答.

（2）由（1）求出函数在上的取值集合，再利用二次函数性质分段讨论在上取值集合作答.

【小问1详解】

依题意，，由于函数在上单调递增，而，因此，

所以的解析式是.

【小问2详解】

由（1）知，函数，

当时，函数单调递增，，而的值域为，

则当时，时，，函数在上的取值集合为，又恒成立，

此时函数的值域为，因此，

当时，函数在上单调递增，取值集合为，

当且仅当，即时，函数的值域为，因此，

所以的取值范围是.

【点睛】思路点睛：涉及分段函数值域问题，先求出每一段在各自对应区间上的函数值集合，再求出这些集合的并集即可.