2023酒泉高一下学期期末数学试题含解析

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酒泉市普通高中2022～2023学年度第二学期期末考试高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则A  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：∴，∴z=，故选C.考点：复数运算 2. 对于非零向量，下列命题正确的是（　　）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则的夹角为锐角【答案】C【解析】【分析】选项A：两边不能同时除以，应该移项，逆用向量数量积的运算律，得出结论；选项B:根据公式可以进行判断；选项C:因为是非零向量，所以，可以依据这个进行判断；选项D：两个数量积为负，可以得到两个向量的夹角为钝角或者是夹角，依此进行判断.【详解】解：A：若，则 ，故A错误；B：若，则，故B错误；C：非零向量，，故C正确；D：若，则的夹角为锐角或0，故D错误．故选C．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．3. 求值：（    ）A. 0 B.  C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式计算即可.【详解】，故选：4. 关于数学建模的认识：①数学建模活动是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程；②数学建模过程主要包括：问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析与检验和推广应用；③数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁，建立既符合实际又能够利用现有方法求解的合理数学模型是解决实际问题的关键步骤之一；④按照数学建模的流程，模型求解之后，还需要对模型解的正确性进行检验.以上说法正确的是（    ）A. ② B. ①② C. ①②③ D. ①②③④【答案】D【解析】【分析】根据数学建模的有关知识逐个分析判断即可【详解】对于①，数学建模活动是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程，正确，对于②，数学建模过程主要包括：问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析与检验和推广应用，正确，对于③，数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁，建立既符合实际又能够利用现有方法求解的合理数学模型是解决实际问题的关键步骤之一，正确，对于④，按照数学建模的流程，模型求解之后，还需要对模型解的正确性进行检验，正确，故选：D5. 给出下列四个命题，其中正确的命题是（      ）①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一平面的两条直线平行；③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行.A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③【答案】C【解析】【分析】利用正方体模型可判断②③的正误，利用平行线的传递性可判断①的正误，利用面面平行的性质可判断④的正误.【详解】对于①，由平行线的传递性可知，平行于同一直线的两条直线平行，①对；对于②③，如下图所示：在正方体中，平面，平面，但与相交，②错，平面，平面，但平面与平面相交，③错；对于④，由面面平行的性质可知，平行于同一平面的两个平面平行，④对.故选：C.6. 在中，若，则一定是（    ）A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】由余弦定理化简计算即可.详解】由及余弦定理得：，即.故选：D7. “哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一．其内容是：“任意一一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和．”若我们将10拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率是（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求出两个加数都大于2的情况，即两个加数都为素数的情况，即可得出概率.【详解】记“两个加数都大于2”为事件A，“两个加数都为素数”为事件B，在加数都大于2的条件下则事件A有这5种情况事件B有这3种情况，故.故选：B.8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列结论正确的是（    ）A. B. 为锐角三角形C. 若，则的面积是D. 若外接圆半径是R，内切圆半径为r，则【答案】D【解析】【分析】根据条件求出三角形三边的比值，利用正弦定理和余弦定理可以判断选项错误；对于求出三边长后，可利用三角形面积公式求解；对于利用正弦定理和等面积法可求出外接圆半径R，内切圆半径，可判断正确.【详解】设则对于故错误；对于角为钝角，故错误；对于若，则所以的面积故错误；对于由正弦定理的周长所以内切圆半径故正确.故选：.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列各对事件中，为相互独立事件的是（    ）A. 掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C. 袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D. 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”【答案】ABD【解析】【分析】利用相互独立事件的定义一一验证即可.【详解】在A中，样本空间，事件，事件，事件，∴，，，即，故事件M与N相互独立，A正确.在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误；在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确.故选：ABD.【点睛】判断两个事件是否相互独立的方法：（1）直接法：利用生活常识进行判断；（2）定义法：利用判断.10. 若过作的垂线，垂足为，则称向量在上的投影向量为．如图，已知四边形均为正方形，则下列结论正确的是（    ）  A. 在上的投影向量为B. 在上的投影向量为C. 在上的投影向量为D. 在上的投影向量为【答案】AC【解析】【分析】过作于，连接，设，由可得，求出可得，可得在上的投影向量； 根据向量加法的平行四边形法则得，可得在上的投影向量．【详解】过作于，连接，因为，，所以四边形为平行四边形，设，则，，由可得，所以，则，所以在上的投影向量为， 根据向量加法的平行四边形法则，得，所以在上的投影向量为．故选： AC.  11. 下列选项中，与的值相等的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据诱导公式和三角恒等变换一一计算即可.【详解】，对于A，，故A符合题意；对于B，，故B符合题意；对于C，，故C符合题意：对于D，，故D不符合题意．故选：ABC．12. 如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为棱 、的中点，则下列结论正确的是 （    ）  A. 直线与是异面直线B. 直线与是平行直线C. 三棱柱的外接球的表面积为D. 平面截正方体所得的截面面积为【答案】AD【解析】【分析】利用异面直线的定义可判断A选项；利用反证法结合面面平行的性质可判断B选项；求出的外接球的表面积，可判断C选项；分析出平面截正方体所得截面图形为梯形，并计算出的面积，可判断D选项.【详解】对于A选项，因为平面，平面，平面，由异面直线的定义可知，直线与是异面直线，A对；对于B选项，假设直线与是平行直线，则、、、四点共面，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，，又因为，所以，，这与矛盾，假设不成立，故与不平行，B错；对于C选项，正方体的外接球半径为，即三棱柱的外接球的半径为，该球的表面积为，C错；对于D选项，连接，  在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，因为、分别为、的中点，所以，且，故且，故、、、四点共面，所以，平面截正方体所得截面图形为梯形，由勾股定理可得，同理可得，故梯形为等腰梯形，过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、，在和中，，，，所以，，所以，，在梯形内，因为，，，所以，四边形为矩形，故，所以，，故，所以，梯形的面积为，故平面截正方体所得的截面面积为，D对.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设，则方程的解为_________.【答案】【解析】【分析】先设（为虚数单位），代入方程，得到，根据复数相等，列出方程组求解，即可得出结果.【详解】设（为虚数单位），则可化为，即，则，解得：，因此.故答案为：.【点睛】本题主要考查求方程解，熟记复数的运算法则，以及复数相等的充要条件即可，属于常考题型.14. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则此圆锥的高为______.【答案】4【解析】【分析】设圆锥的高和底面圆的半径，利用体积和线面角建立方程求解即可.【详解】设圆锥的高为，底面圆的半径为，因为圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，所以，解得.故答案为：415. 如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点均在平面的同侧.正方体上与顶点A相邻的三个顶点B，D，到平面的距离分别为1，2，4，则这个正方体其余顶点到平面的距离的最大值为______.  【答案】【解析】【分析】根据B，D，到平面的距离分别为1，2，4，可求出任两个点连线中点到平面的距离，通过中点距离转化，可求出相关顶点到平面的距离，进一步判断大小即可.【详解】因为B，D，到平面的距离分别为1，2，4，所以的中点到平面的距离为所以到平面的距离为的中点到平面的距离为所以到平面的距离为的中点到平面的距离为所以到平面的距离为的中点到平面的距离为则到平面的距离为则这个正方体其余顶点到平面的距离的最大值为故答案为：16. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）.类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点M为的中点，点P是内（含边界）一点，且，则的最大值为__________.【答案】2【解析】【分析】由题设，易得，过A作的平行线交于点Q，即可判断P与Q重合时的值最大，进而求最大值.【详解】由得：，又M为的中点，所以，所以，过A作的平行线交于点Q，当P与Q重合时，的值最大.因为M为的中点，且，所以D为的中点，此时，所以的最大值为2.故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知向量，，，（）（1）若向量与垂直，求实数的值（2）当为何值时，向量与平行.【答案】（1）2    （2）1【解析】【分析】根据向量垂直的坐标公式可得；根据向量平行的坐标公式可得.【小问1详解】由已知可得，因为向量与垂直，所以，解得；【小问2详解】，因为与平行，所以，解得，所以当时，向量与平行18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别为，.  （1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)根据给定条件求出点A，B的纵坐标，再借助三角函数定义计算两个角的正弦与余弦，结合差角的余弦公式，代入计算作答.(2)利用(1)求出，再利用二倍角公式化简计算作答.【小问1详解】因锐角和钝角的终边分别与单位圆交于点A，B，且点A，B的横坐标分别为，，显然，点A在第一象限，点B在第二象限，则点A，B的纵坐标分别为，，由已知及三角函数定义得，，而，，所以；【小问2详解】由(1)得，，所以的值是.19. 在复平面内，正方形的两个顶点、对应的复数分别为、，求另外两个顶点、对应的复数.【答案】答案见解析【解析】【分析】设点对应的复数为，点对应的复数为，分析可得，，求出点的坐标，根据求出点的坐标，由此可得出顶点、对应的复数.【详解】解：由复数的几何意义可得，设点对应的复数为，点对应的复数为，因为四边形为正方形，则，，且，易知点、、、，，，则，，所以，，解得或，又因为，即，所以，，可得，当时，；当时，.所以，①顶点对应的复数为，顶点对应的复数为；②顶点对应的复数为，顶点对应的复数为.20. 如图，已知点是正方形所在平面外一点，平面，，、、分别是、、的中点.  （1）求证：平面；（2）求证：直线平面；（3）求直线与平面所成的角.【答案】（1）证明见解析    （2）证明见解析    （3）【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面，可得出，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；（3）推导出平面，可知与平面所成角为，分析的形状，即可得出结果.【小问1详解】取的中点，连接、，如下图所示：  因为、分别为、的中点，则且，因为四边形为正方形，则且，因为为的中点，则且，所以，且，故四边形为平行四边形，所以，，因为平面，平面平面，所以，平面.【小问2详解】因为平面，平面，则，因为四边形为正方形，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，则，因为，为的中点，则，因为，、平面，因此，平面.【小问3详解】因为四边形为正方形，则，因为平面，平面，所以，，因为，、平面，所以，平面，所以，与平面所成角为，因，，则为等腰直角三角形，且，因此，直线与平面所成的角为.21. 为了促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设，2020年该市某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”，已知该同学过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立.根据报名情况和他本人的才艺能力，该同学分别进入“电影社”的概率和“心理社”的概率和，假设至少进入一个社团的概率为.（1）求该同学进入心理社的概率；（2）学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分，求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式即可求解；（2）利用独立事件的概率乘法公式分别求得分数为1和1.5时的概率，再利用互斥事件概率计算公式即可求解．【小问1详解】由题意可知，，解得.【小问2详解】令该同学在社团方面获得校本选修课加分分数为，则，，所以该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率为.22. 已知函数.（1）若，求函数的值域；（2）设三角形中，内角、、所对边分别为、、，已知，且锐角满足，求的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，由可求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的值域；（2）由已知条件可得出，结合角的取值范围可得出角的值，利用余弦定理结合基本不等式可得出的最大值，再结合三角形三边关系即可得出的取值范围.【小问1详解】解：，当时，，则，故，当时，函数值域为.【小问2详解】解：因为，可得，因为，则，所以，，解得，因为，由余弦定理可得，可得，当且仅当时，等号成立，