8-9动量和能量综合问题（解析版）--2024高考一轮物理复习100考点100讲

2024年高考一轮复习100考点100讲

第8章   动量守恒定律

第8.9 讲  动量和能量综合问题

【知识点精讲】

解决动力学问题的三把金钥匙

【方法归纳】

力学规律的优选策略。

(1)牛顿第二运动定律揭示了力的瞬时效应，在研究某一物体受力的瞬时作用与物体运动的关系时，或者物体受到恒力作用，且又直接涉及到问题运动过程中的加速度问题，应该利用牛顿第二定律和运动学规律解决。.

(2)动量定理反映了力对时间的累积效应。研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时,如果涉及时间的问题，或作用时间极短的冲击作用，一般用动量定理分析解答。.

（3）动能定理反映了力对空间的累积效应。研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时,如果涉及位移且不涉及加速度的问题，一般运或动能定理去解决问题.

(4)如果系统中物体只有重力做功和弹簧弹力做功，而又不涉及加速度和时间，此类问题优先考虑采用机械能守恒定律求解。

 (5)若研究的对象为一物体系统,且它们之间有相互作用,一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问题,但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件.

（6）在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律,则系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量,即转变为系统内能的量.

（7）在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时,必须注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转换.这类问题由于作用时间都极短,因此用动量守恒定律去解决.

【最新高考题精练】

1．（11分）（2023年1月浙江选考· 18）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角的直轨道、螺旋圆形轨道，倾角的直轨道、水平直轨道组成，除段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接．螺旋圆形轨道与轨道、相切于处．凹槽底面水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁处，摆渡车:上表面与直轨道下、平台位于同一水平面．已知螺旋圆形轨道半径，B点高度为，长度，长度，摆渡车长度、质量．将一质量也为m的滑块从倾斜轨道上高度处静止释放，滑块在段运动时的阻力为其重力的0.2倍．（摆渡车碰到竖直侧壁立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力，，）

（1）求滑块过C点的速度大小和轨道对滑块的作用力大小；

（2）摆渡车碰到前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数；

（3）在（2）的条件下，求滑块从G到J所用的时间t．

【参考答案】（1），；（2）；（3）

【名师解析】

（1）滑块从静止释放到C点过程，根据动能定理可得

解得

滑块过C点时，根据牛顿第二定律可得

解得

（2）设滑块刚滑上摆渡车时的速度大小为，从静止释放到G点过程，根据动能定理可得

解得

摆渡车碰到前，滑块恰好不脱离摆渡车，说明滑块到达摆渡车右端时刚好与摆渡车共速，以滑块和摆渡车为系统，根据系统动量守恒可得

解得

根据能量守恒可得

解得

（3）滑块从滑上摆渡车到与摆渡车共速过程，滑块的加速度大小为

所用时间为

此过程滑块通过的位移为

滑块与摆渡车共速后，滑块与摆渡车一起做匀速直线运动，该过程所用时间为

则滑块从G到J所用的时间为

2. （2022·全国理综乙卷·25） 如图（a），一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上：物块B向A运动，时与弹簧接触，到时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的图像如图（b）所示。已知从到时间内，物块A运动的距离为。A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为，与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求

（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；

（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；

（3）物块A与斜面间的动摩擦因数。

【参考答案】（1）；（2）；（3）

【名师解析】

（1）当弹簧被压缩最短时，弹簧弹性势能最大，此时、速度相等，即时刻，根据动量守恒定律

根据能量守恒定律

联立解得，

（2）同一时刻弹簧对、的弹力大小相等，根据牛顿第二定律

可知同一时刻

则同一时刻、的的瞬时速度分别为

根据位移等于速度在时间上的累积可得

又

解得

第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值

（3）物块A第二次到达斜面的最高点与第一次相同，说明物块A第二次与B分离后速度大小仍为，方向水平向右，设物块A第一次滑下斜面的速度大小为，设向左为正方向，根据动量守恒定律可得

根据能量守恒定律可得

联立解得

设在斜面上滑行的长度为，上滑过程，根据动能定理可得

下滑过程，根据动能定理可得

联立解得

3．（2022新高考海南卷）有一个角度可变的轨道，当倾角为30度时，滑块A恰好匀速下滑，现将倾角调为60度，从高为h的地方从静止下滑，过一段时间无碰撞地进入光滑水平面，与系在轻绳下端的小球B发生弹性正碰，B被一根绳子悬挂，与水平面接触但不挤压，碰后B恰好能做完整的圆周运动，已知滑块A和小球B质量相等，求：

①A与轨道间的动摩擦因数

②A与B刚碰完B的速度

③绳子的长度L

【名师解析】①根据题述，当倾角为30度时，A恰好匀速下滑，可得mgsin30°=μmgcos30°，解得μ=

②A沿倾角60°的轨道下滑，由牛顿第二定律，mgsin60°-μmgcos60°=ma，解得a=g

A滑到水平面时的速度v0==

A、B弹性碰撞，由动量守恒定律，mv0= mvA + mvB

由碰撞前后相同动能不变，，mv02= mvA2 + mvB2

联立解得：vB=

③根据题述，碰后B恰好能做完整的圆周运动，在圆周最高点，mg=m

B从最低点到运动到圆周最高点，由机械能守恒定律，mvB2=mv2+2mgL，解得L=。

4. （2021新高考湖南卷）如图（a），质量分别为、的、两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力作用在上，系统静止在光滑水平面上（靠墙面），此时弹簧形变量为。撤去外力并开始计时，、两物体运动的图像如图（b）所示，表示0到时间内的图线与坐标轴所围面积大小，、分别表示到时间内、的图线与坐标轴所围面积大小。在时刻的速度为。下列说法正确的是（    ）

A. 0到时间内，墙对的冲量等于

B.

C. 运动后，弹簧的最大形变量等于

D.

【参考答案】BC

【命题意图】本题考查动量守恒定律、牛顿运动定律及其相关知识点。

【解题思路】.根据加速度图像面积表示速度变化可知，0到t1时间内，A的速度变化等于S1，由动量定理可知，弹簧对A的冲量大小等于mAS1，根据牛顿第三定律可知弹簧对B的冲量也等于mAS1，墙对B的冲量也等于mAS1，选项A错误；从t1到t2时间内AB组成的系统动量守恒，由动量守恒定律，mAS2= mBS3，由于S2＜S3，所以mA＞mB，选项B正确；B运动后，弹簧最大形变量等于x，选项C正确；对整个过程，动量守恒定律，由于二者质量不等，A、B的速度变化不等，选项D错误。

【名师点评】理解掌握加速度图像面积表示速度变化是解题关键。

【最新模拟题精练】

1. (2023湖南怀化名校联考)如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接，并静止在光滑的水平面上。现使A瞬时获得水平向右的速度3m/s，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，已知m1=1kg，下列说法正确的是（　　）

A. 物块B的质量为2kg

B. 弹簧的最大弹性势能为1.5J

C. 弹簧第一次恢复原长时物块B的速度大小为2m/s

D. 从开始到弹簧第一次恢复原长过程中弹簧对物块A的冲量大小为

【参考答案】ACD

【名师解析】

由图像可知A物块的初速度v0=3m/s，t1时刻两物块达到共速v=1m/s，由动量守恒得

解得，故A正确；

由图像可知t1时刻弹簧的压缩量最大，此时弹性势能最大，由能量守恒得

解得，故B错误；

B速度最大时，弹簧恢复原长，由动量守恒得

由能量守恒得

解得此时A和B的速度分别为

故从开始到弹簧第一次恢复原长过程中弹簧对物块A的冲量为

大小为，故CD正确。

2. （2023河北唐山三模）在生产生活中，经常采用轨道约束的方式改变物体的运动方向。如图所示，光滑水平地面上停放着一辆小车，小车上固定着两端开口的光滑细管，细管由水平、弯曲和竖直三部分组成，各部分之间平滑连接，竖直管的上端到小车上表面的高度为。一小球以初速度水平向右射入细管，小球的质量与小车的质量（包含细管）相等，小球可视为质点，忽略一切阻力作用。下列说法正确的是（　　）

A. 小球在细管中运动时，小球和小车（包含细管）组成的系统动量守恒

B. 小球在细管的竖直部分运动时只受重力作用

C. 当小球初速度时，将会从细管的竖直部分冲出

D. 若小球从细管的竖直部分冲出，冲出后一定会落回到细管中

【参考答案】BCD

【名师解析】

小球在细管中运动时，小球和小车（包含细管）组成的系统在水平方向受到合外力为零，在弯曲处，小球和小车组成的系统，在竖直方向合外力不为零，则小球和小车（包含细管）组成的系统水平方向动量守恒，小球在细管中运动时，小球和小车（包含细管）组成的系统动量不守恒，故A错误；

B．由于小球和小车（包含细管）组成的系统水平方向动量守恒，小球在细管的竖直部分运动时，水平方向的速度相同，则小球在细管的竖直部分运动时只受重力作用，故B正确；

C．由于水平方向动量守恒，在最高点，由动量守恒定律和能量定律有

解得

从细管的竖直部分冲出，则有

解得，故C正确；

小球从细管的竖直部分冲出后，水平方向的速度始终相同，则冲出后一定会落回到细管中，故D正确。

3．（2023湖南名校质检）如图所示，在光滑水平面上，质量为m的小球A和质量为m的小球B通过轻弹簧拴接并处于静止状态，弹簧处于原长；质量为m的小球C以初速度v0沿A、B连线向右匀速运动，并与小球A发生弹性碰撞。在小球B的右侧某位置固定一块弹性挡板（图中未画出），当小球B与挡板发生正碰后立刻将挡板撤走。不计所有碰撞过程中的机械能损失，弹簧始终处于弹性限度内，小球B与挡板的碰撞时间极短，碰后小球B的速度大小不变，但方向相反。则B与挡板碰后弹簧弹性势能的最大值Em可能是（    ）

A． B． C． D．

【参考答案】．BC

【名师解析】由题，系统的初动能为，而系统的机械能守恒，则弹簧的弹性势能不可能等于，故A错误；由于小球C与小球A质量相等，发生弹性正碰，则碰撞后交换速度，若在A与B动量相等时，B与挡板碰撞，B碰撞后速度大小不变、方向相反，当两者速度同时减至零时，弹簧的弹性最大，最大值为，故B正确；当B的速度很小（约为零）时，B与挡板碰撞时，当两球速度相等弹簧的弹性势能最大，设共同速度为v，则由动量守恒得，，得，最大的弹性势能为，则最大的弹性势能的范围为，故C正确，D错误。故选BC。

4. （2023江苏南京市中华中学一模） 如图甲所示，物块A、B的质量分别为2kg、3kg，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙壁接触但不黏连。物块C从t＝0时以一定速度向右运动，在t＝4s时与物块A相碰，并立即与物块A粘在一起不再分开，物块C的v－t图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　）

A. 物块C的质量为2kg

B. 物块B离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能为40.5J

C. 4s到12s的时间内，弹簧对物块A的冲量大小为

D. 物块B离开墙壁后的最大速度为3m/s

【参考答案】D

【名师解析】

AC碰撞过程中动量守恒，有

其中、，解得    ，故A错误；

物块B离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能等于AC碰撞结束瞬间系统动能，所以

，B错误；

4s到12s的时间内，弹簧对物块A的冲量大小等于弹簧对AC整体的冲量大小，则

即大小为。故C错误；

物块B离开墙壁后达到最大速度时弹簧处于原长，由动量守恒和机械能守恒可得

，

其中，解得，，D正确。

5. （2022安徽淮安模拟） 图甲所示，质量分别为和的两物体用轻弹簧连接置于光滑水平面，初始时两物体被锁定，弹簧处于压缩状态。时刻将B物体解除锁定，时刻解除A物体的锁定，此时B物体的速度为，AB两物体运动的图像如图乙所示，其中和分别表示时间和时间内B物体的图像与坐标轴所围面积的大小，则下列说法正确的是（　　）

A.

B.

C. 时刻，弹簧伸长量最大

D. 时间内，弹簧对A物体的冲量大小为

【参考答案】ABD

【名师解析】

题意可知，在后AB水平方向上只受弹簧的弹力，弹簧对AB的弹力大小始终相等，通过乙图可知，后的任意时刻，A的加速度大小都比乙大，根据牛顿第二定律可知，A正确。

B．在时，弹簧处于原长状态弹性势能为零，时间弹簧的弹性势能全部转化为B的动能，此时B的速度最大，为时间内速度的变化量，即B此时的速度大小；，弹簧弹力作用使得A加速，B减速，弹性势能转化为AB的动能，在时刻加速的为零，弹力为零，弹性势能为零。时刻AB动能之和等于时刻B的动能，时刻B的速度不为零，表示时间内B物体的速度变化量小于时间内速度的变化量，故，B正确；时刻，弹簧的状态与0时刻弹簧的状态相同，应该是弹簧压缩量最大，C错误；根据的图像信息可知，时刻，A的速度减为零，B的速度为，则弹簧对B的动量定理，弹簧对AB的作用力时刻大小相等方向相反，因此弹簧弹力对A的冲量大小等于弹簧弹力对B的冲量大小即为，D正确

6.  （2023天津12区重点中学第二次联考）（本小题14分）在一水平的长直轨道上，放着两块完全相同的质量为的长方形木块，依次编号为木块和木块，如图所示。在木块左边放一质量为的大木块，大木块与木块之间的距离与、两木块间的距离相同，均为。现在所有木块都静止的情况下，将一沿轨道方向的恒力一直作用在大木块上，使其先与木块发生碰撞，碰后与木块结合为一体再与木块发生碰撞，碰后又结合为一体且恰能一起匀速运动，设每次碰撞时间极短，三个木块均可视为质点，且与轨道间的动摩擦因数相同。已知重力加速度为。

求木块与水平轨道间的动摩擦因数。

求三个木块一起匀速运动时的速度大小和在两次碰撞中损失的总机械能。

若改变恒力的大小，使大木块与木块发生碰撞后结合为一体，但、两木块间不发生碰撞，则沿轨道方向的恒力要满足什么条件？

【名师解析】：根据平衡条件可得
解得----------2’
设大木块与木块碰撞前的速度为，根据动能定理得
---------------4’
解得
设大木块与木块碰撞后的速度为，根据动量守恒定律可得
-------------6’
解得
设木块与木块碰撞前的速度为，根据动能定理得
------------8’
解得
设三个木块一起匀速运动的速度为，根据动量守恒定律可得
解得
根据能量守恒得在两次碰撞中损失的总机械能为
-------------10’
解得
大木块与木块发生碰撞，，即
设大木块与木块碰撞前的速度为，根据动能定理得
--------11’
解得
设大木块与木块碰撞后的速度为，根据动量守恒定律可得
解得
若要、两木块间不发生碰撞，则------------13’
解得
若要求大木块与木块发生碰撞，但、两木块间不发生碰撞，则沿轨道方向的恒力就要满足
 ---------14’

7. （2023浙江萧山名校联考）如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为m，B、C的质量都为2m，三者都处于静止状态，现使B以某一速度向右运动，B与A发生弹性碰撞，之后A与C发生完全非弹性碰撞，求：

（1）物体A、B、C最终速度大小各是多少：

（2）整个碰撞过程损失的机械能。

【参考答案】（1），A、C速度相同为v0；（2）

【名师解析】

（1）B与A相碰，动量守恒定律

弹性碰撞

解得

A与C相碰

解得

所以最终A、C速度相同为v0

（2）整个碰撞过程损失的机械能

8．（2023四川遂宁三诊）研究表明，两块足够大的、正对的平行板电容器之间的静电力只与两板带电量有关，与两板间距无关。如图1所示，A板固定在绝缘的地面上，与之正对的B板通过两根完全相同的轻质绝缘弹簧相连，两弹簧对称且竖直。已知B板质量为m，两弹簧原长为L，A、B板不带电时两弹簧长度为，A、B板带等量异种电荷时两弹簧长度变为。如图2所示，在B板正中上方高为h(h=L)处静止释放一绝缘物块C，C的质量也为m，C下落后与B碰撞时间极短，且碰后粘连在一起。已知当地的重力加速度为g；B与C碰前处于静止状态；A、B板面积足够大，厚度不计；A、B板带电量保持不变。求：

（1）图1中两板之间的静电力大小。

（2）图2中C与B板碰撞后，C的最大速度。已知弹簧的弹力做功可以用初、末位置的平均力做功来计算。

（3）如果C的质量变为m1，从距离B板高为2h处静止开始下落，与B板碰撞后运动到最高点时距地面高。求m1的大小。

【名师解析】：（1）设弹簧的劲度系数为k，则A、B不带电时：.................1分

A、B带电时：.................2分

解得：.................1分

（2）C自由落体： .................1分

B、C相碰：.................1分

C速度最大的位置为平衡位置：................1分

此过程静电力与重力做功为：.................2分

弹簧弹力做功：.................2分

对B、C列动能定理得：................2分

由以上公式解得;.................1分

（3）与B碰前C的速度为................1分

B、C相碰：.................1分

因为开始弹簧压缩，结束弹簧伸长，故整个过程弹簧的弹性势能没变，弹簧做的

功为0

对B、C列动能定理：.................2分

得：

解得：.................2分