【开学摸底考】人教版数学九年级上学期--秋季开学摸底考试卷（原卷版+解析版）

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人教版新九年级数学开学摸底考试卷
测试范围：二次根式、平行四边形、一次函数、数据的分析、一元二次方程、二次函数
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列函数中，自变量x不能为1的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据分母不能为零，解答即可．
【解答】解：A．x≠0，不符合题意；
B．x+1≠0，解得x≠﹣1，不符合题意；
C．x≠0，不符合题意；
D．x﹣1≠0，解得x≠1，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，掌握当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0是解题的关键．
2．（3分）某销售部门有7名员工，所有员工的月工资情况如下表所示（单位：元）．
人员
经理
会计
职工（1）
职工（2）
职工（3）
职工（4）
职工（5）
工资
5000
2000
1000
800
800
800
780
则比较合理反映该部门员工工资的一般水平的数据是（　　）
A．平均数 B．平均数和众数
C．中位数和众数 D．平均数和中位数
【分析】根据平均数、众数、中位数的意义判断．
【解答】解：平均数：（5000+2000+1000+800+800+800+780）÷7≈1597（元），
中位数：800（元），
众数：800（元），员工的月工资能到平均工资的只有两人，不能反映一般水平，而员工的月工资能到800（元）的有6人，
所以能比较合理反映该部门员工工资的一般水平的数据是中位数和众数．
故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．
3．（3分）下列句子中，不是命题的是（　　）
A．三角形的内角和等于180°
B．对顶角相等
C．过一点作已知直线的平行线
D．两点确定一条直线
【分析】分析是否是命题，需要分别分析各选项事是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．
【解答】解：C不是可以判断真假的陈述句，不是命题；
A、B、D均是用语言表达的、可以判断真假的陈述句，都是命题．
故选：C．
【点评】本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
4．（3分）若一次函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第三象限，则一次函数y＝x+kb的图象（　　）
A．不经过第二象限 B．不经过第四象限
C．经过一、二、三象限 D．经过一、三、四象限
【分析】根据一次函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第三象限，可以得到k＜0，b≥0，然后即可得到kb≤0，然后分类讨论一次函数y＝x+kb的图象经过的象限，即可解答本题．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第三象限，
∴k＜0，b≥0，
∴kb≤0，
∴当kb＝0时，一次函数y＝x+kb的图象经过第一、三象限，
当kb＜0时，一次函数y＝x+kb的图象经过第一、三、四象限，
由上可得，一次函数y＝x+kb的图象一定不经过第二象限，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是判断出k、b的正负情况，要注意不要忘记b＝0．
5．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①a＞0；②b＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数图象与系数的关系逐项判断即可．
【解答】解：由抛物线开口向上知a＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴x＝﹣＞0，a＞0，
∴b＜0，故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故③正确；
∵（1，a+b+c）在x轴下方，
∴a+b+c＜0，故④正确；
∴正确的有4个，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系：抛物线开口向上，a＞0；对称轴在y轴右侧，a，b异号；b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．
6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（4﹣m）x+m＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＝5，则x1x2的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．0
【分析】由方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2＝4﹣m，x1•x2＝m，代入x1+x2＝5可以得到关于m的方程，然后解方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（4﹣m）x+m＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝4﹣m，x1•x2＝m，
又x1+x2＝5，
∴4﹣m＝5，
∴m＝﹣1，则x1•x2＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
7．（3分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4min内只进水不出水，在随后的若干分内既进水又出水，之后只出水不进水．每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图．则水量为15L的时间为（　　）

A．3min或15min B．2min或16min
C．3min或16min D．2min或15min
【分析】首先求出进水管以及出水管的进出水速度，然后分只进水不出水和只出水不进水两种情况讨论即可．
【解答】解：由图象可得出：
进水速度为：20÷4＝5（升/分钟），
出水速度为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）＝3.75（升/分钟），
①前4分钟内，只进水不出水时，则水量为15L时所用时间为：
15÷5＝3（分钟），
②只出水不进水时，水量由30升降为15升所需时间：
（30﹣15）÷3.75＝4（分钟），
∴水量为15L时所用时间为：12+4＝16（分钟），
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，利用图象得出进出水管的速度是解题关键．
8．（3分）如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF．设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝6．则AC的值为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】先作辅助线，截取CH＝BA，点H在AC上，然后根据全等三角形的判定与性质，可以求得CH的长和OH的长，再根据勾股定理可以求得AH的长，从而可以计算出AC的长．
【解答】解：截取CH＝BA，点H在AC上，如图所示，
∵∠BAC＝90°，∠BOC＝90°，
∴点B、A、O、C共圆，以BC为直径，
∴∠ABO＝∠HCO，
在△ABO和△HCO中，
，
∴△ABO≌△HCO（SAS），
∴OA＝OH，∠BOA＝∠COH，
∵∠BOH+∠COH＝90°，
∴∠BOH+∠BOA＝90°，
∵AO＝6，AB＝4，
∴OH＝6，CH＝4，
∴AH＝＝＝12，
∴AC＝AH+CH＝12+4＝16，
故选：D．

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
9．（3分）关于一次函数y＝2mx﹣4m﹣2的图象与性质，下列说法中正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．当m＝3时，该图象与函数y＝﹣6x的图象是两条平行线
C．不论m取何值，图象都经过点（2，2）
D．不论m取何值，图象都经过第四象限
【分析】A．由于m的值不确定，因此无法确定函数中y与x的变化情况；
B．由题意可知y＝6x﹣14，再由两直线平行时k值相等，由此可进行判断；
C．由y＝2m（x﹣2）﹣2，可得图象都经过点（2，﹣2）；
D．由于不论m取何值，函数经过点（2，﹣2），此点在第四象限，所以图象都经过第四象限．
【解答】解：A．∵k＝2m，
当m＞0时，y随x的增大而增大，
当m＜0时，y随x的增大而减小，
故A不正确；
B．当m＝3时，k＝2m＝6，
∴y＝6x﹣14，
∴y＝﹣6x与y＝6x﹣14不平行，
故B不正确；
C．∵y＝2mx﹣4m﹣2＝2m（x﹣2）﹣2，
∴当x＝2时，y＝﹣2，
∴图象都经过点（2，﹣2），
故C不正确；
D．∵y＝2mx﹣4m﹣2＝2m（x﹣2）﹣2，
∴当x＝2时，y＝﹣2，
∴图象都经过点（2，﹣2），
∴图象都经过第四象限，
故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，
∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴函数的最大值为4a﹣2b+c，
∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；
∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．
∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，
∴16a+c＞4b，故③正确；
∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），
∵抛物线开口向下，
∴若﹣4＜x0＜0，则y0＞c，故④错误；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
11．（3分）从等腰三角形底边上任一点分别作两腰的平行线所成的平行四边形的周长等于（　　）
A．周长 B．周长的一半 C．腰长 D．腰长的二倍
【分析】平行于等腰三角形两腰的平行线把等腰三角形分成一个平行四边形和一大一小两个等腰三角形，该平行四边形的宽为小等腰三角形的腰长，长为最大等腰三角形的腰长而大小等腰三角形的腰长之和为原等腰三角形腰长，故该平行四边形的周长为原等腰三角形腰长的二倍．
【解答】解：如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，
∵DE∥AB，DF∥AC，
则四边形AFDE是平行四边形，
∴∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC
∴BF＝FD，DE＝EC，
所以：▱AFDE的周长等于AB+AC，即等于腰长的两倍．
故选：D．

【点评】此题根据图形，利用平行四边的性质，将平行四边形的周长转化为等腰三角形的腰长是解题的关键．
12．（3分）抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，那么它的顶点坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【分析】首先根据对称轴是直线x＝3，从而求得m的值，然后根据顶点式直接写出顶点坐标；
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，
∴m＝3，
∴解析式y＝（x﹣3）2+1，
∴顶点坐标为：（3，1），
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键，难度适中．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）某校开展“快乐阅读”活动，倡导利用课余时间阅读纸质书籍．该学校共有300名学生，随机调查了其中30名学生在活动开展的一年里阅读纸质书籍的数量，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表如下：
阅读纸质书籍的数量（本）
3
7
11
15
人数
4
8
10
8
请你估计该学校这一年里平均每名学生阅读纸质书籍的数量是　10　本（结果保留整数）．
【分析】根据加权平均数的计算公式，列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：根据题意得：
（3×4+7×8+11×10+15×8）÷30≈10（本），
答：该学校这一年里平均每名学生阅读纸质书籍的数量是10本；
故答案为：10．
【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键，是一道基础题．
14．（3分）已知方程（x2+y2﹣1）2＝16，则x2+y2的值为 　5　．
【分析】设x2+y2＝t（t＞0），则原方程化为（t﹣1）2＝16，利用直接开平方法求出t即可．
【解答】解：设x2+y2＝t（t＞0），则原方程化为：（t﹣1）2＝16，
解得：t1＝5，t2＝﹣3（舍去），
所以x2+y2的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查换元法解一元二次方程，能正确进行换元是解此题的关键．
15．（3分）给定一个边长为3的正方形，存在一个矩形，使它的周长和面积分别是这个正方形周长和面积的2倍，则这个矩形较长边的边长为　6+3　．
【分析】设矩形较长边的边长为x（x＞6），则较短边的边长为（3×4﹣x），由矩形的面积公式结合矩形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：设矩形较长边的边长为x（x＞6），则较短边的边长为（3×4﹣x），
由题意得：x（3×4﹣x）＝2×3×3，
整理得：x2﹣12x+18＝0，
解得：x1＝6+3，x2＝6﹣3（不合题意，舍去）．
故答案为：6+3．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（3分）在四边形ABCD中，AD∥BC，再从下列四个条件中：①AB∥CD；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠C任选一个，能使四边形ABCD为平行四边形的条件的序号是 　①或③　．
【分析】由平行四边形的判定分别对各个条件进行判断即可．
【解答】解：①∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①符合题意；
②由AD∥BC，AB＝CD，不能得出四边形ABCD是平行四边形，故②不符合题意；
③∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠B＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故③符合题意；
④由AD∥BC，∠B＝∠C，不能得出四边形ABCD是平行四边形，故④不符合题意；
故答案为：①或③．
【点评】本题考查平行四边形的判定以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
17．（3分）已知在正比例函数y＝（k﹣1）x的图象中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 　k＜1　．
【分析】直接根据正比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵在正比例函数y＝（k﹣1）x的图象中，y随x的增大而减小，
∴k﹣1＜0，即k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而减小．
18．（3分）二次函数y＝﹣x2+x+1000的图象经过第一象限的格点（即纵、横坐标都是整数的点）共有　1999　个．
【分析】求得抛物线与坐标轴的交点即可求得图象经过第一象限的整格点（即纵、横坐标是正整数的点）的个数．
【解答】解：由二次函数可知：抛物线与坐标轴的交点有（2000，0）和（0，1000），
∴图象经过第一象限时，0≤x≤2000，
故一共有1999个，
故答案为1999．
【点评】本题考查了二次函数图象上的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）3x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】（1）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，然后解方程；
（2）方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
所以x﹣5＝0或x+1＝0．
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（2）3x2﹣2x﹣1＝0，
（3x+1）（x﹣1）＝0，
可得3x+1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
20．（10分）我校举行八年级汉字听写大赛，每班各派五名同学参加（满分为100分）．其中八（1）班和八（2）班五位参赛同学的成绩如图所示：
（1）根据条形统计图完成表格

平均数
中位数
众数
八（1）班
83
　85　
90
八（2）班
　85　
85
　85　
（2）已知八（1）班参赛选手成绩的方差为56分2，请计算八（2）班参赛选手成绩的方差，并分析哪一个班级的成绩比较稳定．

【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的意义分别求出，填入表格即可，
（2）计算八（2）班的方差，通过比较得出答案．
【解答】解：（1）八（1）班的成绩从大到小排列为70，80，85，90，90，处于第三位的是85，因此中位数为85，
八（2）班平均数为（70+85+85+90+95）÷5＝85，出现次数最多的数是85，
所以表格中依次填写85，85，85．

（2）八（2）班的方差：S2＝[（95﹣85）2+（70﹣85）2+（90﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2]＝70，
∵56＜70，
∴八（1）班成绩比较稳定，
答：八（1）班成绩比较稳定．
【点评】考查平均数、中位数、众数、方差的意义及计算方法，熟练掌握这些统计量的意义和计算方法是解决问题的关键．
21．（8分）如图，已知长方形OABC的顶点O在坐标原点，A、C分别在y、x轴的正半轴上，点B的坐标为（5，4），直线l：y＝2x﹣3分别边AB、y轴交于E、D两点．连接AC，与直线l交于点F．
（1）求AC所在的直线的解析式；
（2）在直线l上找一点N，使△AEN的面积等于△ADF的面积，请求出点N的坐标；
（3）已知点M在第一象限，且是直线l上的点，点P是边BC上一点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标．

【分析】（1）根据长方形的性质可以得到点C的坐标为（5，0），点A的坐标为（0，4），再用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）先求出点F和D的坐标，得到△ADF的面积＝，设点N的坐标为（m，2m﹣3），分点N在AE上方和下方两种情况，列出关于m的方程即可求解；
（3）分三种情况：①若点A为直角顶点时，点M在第一象限；若点P为直角顶点时，点M在第一象限；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限；进行讨论可求点M的坐标．
【解答】解：（1）∵长方形OABC，点B的坐标为（5，4），
∴OC＝5，OA＝4，
∴点C的坐标为（5，0），点A的坐标为（0，4）．
设直线AC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将A、B代入得：，
解得：，
∴y＝﹣．
（2）将直线AC和l联立成方程组得：，
解得：，
∴点F的坐标是：．
将x＝0代入直线y＝2x﹣3得：y＝﹣3．
∴点D的坐标为（0，﹣3）．
∴AD＝4﹣（﹣3）＝7，
∴，
∴，
将y＝4代入直线y＝2x﹣3得：2x﹣3＝4，
解得：x＝，
∴点E的坐标为（，
∵点N在直线l上，
∴设点N的坐标为（m，2m﹣3），
当点N在AE上方时，
，
解得：m＝6，
∴2m﹣3＝9，
∴点N的坐标为（6，9），
当点N在AE下方时，
，
解得：m＝1，
∴2m﹣3＝﹣1，
∴点N的坐标为（1，﹣1），
综上所述点N的坐标为（6，9）或（1﹣1）．
（3）①当∠MAP＝90°，AM＝AP时，如图①，
过点M、P作y轴的垂线，垂足为N、Q，
∴∠MNA＝∠PQA＝90°，
∴∠NAM+∠NMA＝90°，
∵∠MAP＝90°，
∴∠NAM+∠PAQ＝90°，
∴∠PAQ＝∠NMA，
在△MAN和△QPA中，
，
∴△MAN≌△QPA，
∴PQ＝AN＝5，AQ＝NM，
设AQ＝NM＝m，
∴Q点坐标为（m，9），
∴2m﹣3＝9，
解得：m＝6，
∵点P在边BC上，
∴AQ＜5，
∴m＝6，不会题意，舍去．
②当∠MPA＝90°，PA＝PM时，如图②，设PC＝m，
过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，
则∠PNM＝90°，
∴∠PMN+∠NPM＝90°，
∵∠APM＝90°，
∴∠APB+∠NPM＝90°，
∴∠PMN＝∠APB，
在△PAB和△MPN中，
，
∴△PAB≌△MPN，
∴AB＝PN＝5，PB＝MN＝4﹣m，
∴NC＝m+5，P到y轴的距离为5+4﹣m＝9﹣m，
∴点M的坐标为（9﹣m，m+5），
∵点M在直线l上，
∴2（9﹣m）﹣3＝m+5，
解得：m＝，
∴点M的坐标为．
③当∠AMP＝90°，MA＝MP时，如图③，
过点M作NM⊥y轴，垂足为点N，延长NM交直线CB于点Q，
则∠MNA＝∠MQP＝90°，
∴∠QMP+∠QPM＝90°，
∵∠AMP＝90°，
∴∠AMN+∠QMP＝90°，
∴∠QPM＝∠NMA，
在△AMN和△MPQ中，
，
∴△AMN≌△MPQ，
∴NM＝PQ，MQ＝AN，
设NM＝PQ＝m，
当点M在AP上方时，
QM＝AN＝5﹣m，
∴ON＝5﹣m+4＝9﹣m，
∴点M的坐标为（m，9﹣m），
∴2m﹣3＝9﹣m，
解得：m＝4，
∴点M的坐标为（4，5）．经验证点P在边BC上．
当点M在AP下方时，
QM＝AN＝5﹣m，
∴ON＝4﹣（5﹣m）＝m﹣1，
∴点M的坐标为（m，m﹣1），
∴2m﹣3＝m﹣1，
解得：m＝2，
∴点M的坐标为（2，1）．经验证点P在边BC上．
综上所述点M的坐标为、（4，5）或（2，1）．



【点评】本题考查一次函数的应用；熟练掌握点的坐标特点、等腰三角形的性质，利用三角形全等的知识，建立方程是解题的关键．
22．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD、CE．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）若DA＝DB＝4，cosA＝，求点B到点E的距离．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，等量代换得到DE＝BC，DE∥BC，于是得到四边形BCED是平行四边形；
（2）连接BE，根据已知条件得到AD＝BD＝DE＝4，根据直角三角形的判定定理得到∠ABE＝90°，AE＝8，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴四边形BCED是平行四边形；
（2）解：连接BE，
∵DA＝DB＝4，DE＝AD，
∴AD＝BD＝DE＝4，
∴∠ABE＝90°，AE＝8，
∵cosA＝，
∴AB＝2，
∴BE＝．

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角函数的定义，证得∠ABE＝90°是解题的关键．
23．（10分）求解一元一次方程，根据等式的性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来求解：类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，因为“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．
用转化的数学思想我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣6x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣6＝0，从而可得方程x3+x2﹣6x＝0的解．
（1）问题：方程x3+x2﹣6x＝0的解是x1＝0，x2＝　﹣3　，x3＝　2　；
（2）拓展：用“转化”的思想求方程的解．
【分析】（1）利用一元二次方程的因式分解法求解即可；
（2）方程的两边平方，把无理方程转化为一元二次方程，求解并检验．
【解答】解：（1）∵x3+x2﹣6x＝0，
∴x（x2+x﹣2）＝0．
∴x＝0或x2+x﹣6＝0．
∵x2+x﹣6＝0，
∴（x+3）（x﹣2）＝0．
∴x+3＝0或x﹣2＝0．
解得x＝﹣3或x＝2．
∴x3+x2﹣6x＝0的解为：x1＝0，x2＝﹣3，x3＝2．
故答案为：x2＝﹣3，x3＝2．
（2）∵，
∴2x+3＝x2．
即x2﹣2x﹣3＝0．
∴（x﹣3）（x+1）＝0．
∴x﹣3＝0或x+1＝0．
∴x＝3或x＝﹣1．
经检验，x＝3是原方程的解，x＝﹣1不是原方程的解．
∴原方程的解为x＝3．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程和转化的思想，看懂题例并能运用是解决本题的关键．
24．（10分）小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为10元/千克，在第x天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）：
销售量m（千克）
m＝40﹣x
销售单价n（元/千克）
当1≤x≤15时，n＝20+x
当16≤x≤30时，n＝10+
设第x天的利润w元．
（1）请计算第几天该品种草莓的销售单价为25元/千克？
（2）这30天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？注：利润＝（售价﹣成本）×销售量
（3）在实际销售的前15天中，草莓生产基地为刺激销售，鼓励销售商批发草莓，每多批发1千克就发给a（a≥2）元奖励．通过销售记录发现，前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，试求a的取值范围．
【分析】（1）分别在当1≤x≤15时，把n＝25代入和当16≤x≤30时，把n＝25代入可得到所求；
（2）分别根据二次函数性质和反比例函数性质计算当1≤x≤15时和当16≤x≤30时的最值即可；
（3）设实际销售中前15天的销售利润为G，根据：“日销售利润＝每千克利润×日销售量”列出函数关系式，由前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大可得抛物线对称轴范围，进而可得a的取值范围．
【解答】解：（1）当1≤x≤15时，把n＝25代入得，
20+x＝25，
解得x＝10；
当16≤x≤30时，把n＝25代入得，
10+＝25，
解得x＝20；
答：第10、20天该品种草莓的销售单价为25元/千克；
（2）当1≤x≤15时，w＝（20+x﹣10）（40﹣x）＝﹣（x﹣10）2+450；
∵﹣＜0，当x＝10时，w有最大值为450，
当16≤x≤30时，w＝（10+﹣10）（40﹣x）＝﹣300，
∵12000＞0，当16≤x≤30时，w随x的增大而减小，
∴当x＝16时，w有最大值为450．
∴第10天或16天时获得的利润最大，最大利润为450元
（3）设实际销售中前15天的销售利润为G
G＝（20+x+a﹣10）（40﹣x）＝﹣x2﹣（a﹣10）x+400+20a
由题意可知，该函数的对称轴x＝﹣＝10﹣a＞7.5，
解得：a＜5，
又∵a≥2，
则a的取值范围为：2≤a＜5．
【点评】此题考查了二次函数的性质，最值和实际应用，同时也考查了反比例函数的性质，难度一般．
25．（12分）某保健品厂每天生产A，B两种品牌的保健品共600瓶，A、B两种产品每瓶的成本和售价如表，设每天生产A产品x瓶，生产这两种产品每天共获利y元．

A
B
成本
50
35
售价
70
50
（1）请求出y关于x的函数关系式；
（2）该厂每天生产的A，B两种产品被某经销商全部订购，厂家对B产品不变，对A产品进行让利，每瓶利润降低元，厂家如何生产可使每天获利最大？最大利润是多少？
【分析】（1）每天生产A产品x瓶，由于每天生产A，B两种品牌的保健品共600瓶，故每天生产B产品（600﹣x）瓶，根据（售价﹣成本）乘以瓶数，把A，B产品的利润相加即得总利润；
（2）根据（售价﹣成本﹣每瓶降低的利润）乘以瓶数，分别算出产品A和产品B的利润并相加，再根据二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（70﹣50）x+（50﹣35）（600﹣x）
＝5x+9000，
∴y关于x的函数关系为：y＝5x+9000；
（2）由题意得：
y＝（70﹣50﹣）x+（50﹣35）（600﹣x）
＝﹣（x﹣250）2+9625，
∵﹣＜0，
∴当x＝250时，y有最大值9625，
∴每天生产A产品250件，B产品350件获利最大，最大利润为9625元．
【点评】本题综合考查了一次函数和二次函数在经济问题中的应用，具有较强的综合性．