第2.5练函数性质的综合应用（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

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第二章 函数第2.5练函数性质的综合应用一、单选题1．函数的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得，即的定义域是故选：B2．已知函数，则的值是（    ）A． B．0 C．1 D．e【答案】C【详解】由条件可得.故选：C3．函数有（    ）A．最小值2 B．最小值C．最大值2 D．最大值【答案】B【详解】由题意可知，，因为，所以.当时，函数取得最小值为.故选: B.4．下列函数为增函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】对于A选项，函数为上的增函数；对于B选项，函数在上不单调；对于C选项，函数为上的减函数；对于D选项，函数为上的减函数.故选：A.5．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ）A．2 B．0 C．1 D．【答案】D【详解】因为，所以，且，则，又可得，，故，所以函数是周期的周期函数，．故选：D．6．函数的图象大致是（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】D【详解】易知的定义域为，且,所以函数为奇函数，故排除AB.令，可得,解得,所以在上只有一个零点，故排除C,故D正确.故选:D.7．已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且，则关于的不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为当时，，所以在单调递减；当时，，所以在单调递增，因为定义域为的奇函数，则过点，且，则过点，由奇函数的图象关于原点对称，画出示意图如下：    或，故选：D.8．已知函数若函数有五个零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，则，此时，则或，当时，则，此时，则，故问题转为， 共有四个零点，画出函数图象如下可知：则，故选：D  9．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，由题设条件，得，故函数在上单调递减.由为奇函数，得，得，所以，不等式等价于，即，又函数在上单调递减，所以，故不等式的解集是．故选：D．10．已知，函数，若对，恒有，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】令，因为，则，由的图像可知或（舍），则等价于在恒成立，由题意在时，，因为，当且仅当时，取等号，所以；因为，所以的最大值为，的最小值为，所以可得，得.故选：D.     二、多选题11．下列函数为奇函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【详解】对于A，定义域为，因为，所以为偶函数，所以A不符合题意，对于B，定义域为，因为，所以为奇函数，所以B正确，对于C，定义域为，因为，所以为奇函数，所以C正确，对于D，定义域为，因为，所以为偶函数，所以D不符合题意，故选：BC12．下列函数在区间上是减函数的是（　　）A． B．C． D．【答案】AD【详解】对于选项A，为开口向下的二次函数且在区间上是减函数；对于选项B，在区间上是增函数；对于选项C，在上是增函数；对于选项D，在区间上是减函数．故选：AD.13．已知函数 (a≠0)，下列说法正确的是（    ）A．当时，在定义域上单调递增B．当时，的单调递增区间为C．当时，的值域为D．当时，的值域为R【答案】BCD【详解】当时，，定义域为．∵在上单调递增，故A错误；又当时，，当时，，∴的值域为R，故D正确；当时，，其图象如图所示：  由图象知：的单调递增区间为,值域为，故 B，C正确．故选：BCD14．已知函数是定义在R上的奇函数，，成立，当且时，有，则下列命题中正确的是（    ）A．B．在上有5个零点C．直线是函数图象的一条对称轴D．点是函数图象的一个对称中心【答案】ABD【详解】A选项，令中得，，又函数是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以，故A正确；B选项，由，得，所以是周期为2的周期函数，所以，又且时，有，所以函数在区间上单调递减，可作函数的示意图如下：  由图知B，D也正确，C不正确．故选：ABD.15．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）A．B．当时，C．是图像的一条对称轴D．在上单调递增【答案】BD【详解】当时，，而函数是上的奇函数，则，A错误；当时，，B正确；因为，不是图像的对称轴，C错误；因为当时，，因此函数在上单调递增，D正确.故选：BD 三、填空题16．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则__________.【答案】【详解】因为，，或，，，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，所以，故.故答案为：17．已知函数，则________.【答案】【详解】由题意可知的最小正周期.因为，，，，所以.又，所以.故答案为：18．函数在上的最大值为________．【答案】【详解】在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，.故答案为：19．已知函数是奇函数，当时，，则______．【答案】【详解】由函数是上的奇函数，得，而当时，，所以有，综上所述，，故答案为：20．已知函数的图象是连续不间断的，函数的图象关于点对称，在区间上单调递增．若对任意恒成立，则的取值范围_____【答案】【详解】解：因为连续函数的图象关于点对称且在区间上单调递增，所以函数的图象关于对称，函数在上单调递增，由，可得，也即，则有恒成立，即，因为，所以，当时，得到恒成立；当时，则有，令，则，因为函数在上单调递增，且，所以，则故答案为：. 四、解答题21．已知函数，其中且.(1)判断的奇偶性；(2)若，解关于x的不等式.【详解】（1）因为的定义域关于原点对称，因为，所以为奇函数；（2）当时，由可得，所以，故，故不等式的解集为．22．已知函数是定义在上的偶函数，其中．(1)求a的值；(2)若关于x的不等式对都成立，求实数m的取值范围．【详解】（1）因为是偶函数，所以，则，所以对任意实数x都成立，所以，解得．（2）由（1）知，，因为关于x的不等式，即对恒成立，因为，所以，原问题转化为对恒成立，设，则对任意的恒成立，因为，其中，而，当且仅当时，即时等号成立，所以时，取最小值．所以．因此实数m的取值范围是．23．已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1）当时，，当时，，故；当时，，故无解；当时，，故因此，不等式的解集为或.（2）因为，当且仅当时取等号，故当，即时，，解得或.所以的取值范围是.24．已知定义在R上的偶函数和奇函数满足.(1)和；(2)判断的单调性，并用单调性的定义加以证明；(3)若不等式对一切实数x都成立，求实数m的取值范围.【详解】（1）由题意可知：，则，且定义在R上的偶函数和奇函数，可得，解得，（2）在R上单调递增，证明如下：对，且，因为在定义域内单调递增，则，可得，则，可得，则，即，所以在R上单调递增.（3）因为，则，令，当且仅当，即时，等号成立，则，因为，则，整理得，故原题意等价于对一切实数都成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即实数m的取值范围.25．已知函数，．(1)当时，求不等式的解集；(2)若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围．【详解】（1）当时，，原不等式为.①当时，原不等式可化为，解得，所以有；②当时，原不等式可化为，即，该不等式恒成立，所以有；③当时，原不等式可化为，解得，所以有.综上所述，不等式的解集为.（2）由已知对任意，存在，使得可得，.因为，当时，等号成立，所以.令，，则，设，根据对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，所以，当时，函数有最小值为，所以.则由可得，，去绝对值整理可得，，解得或.