第31讲 正弦定理、余弦定理-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（原卷版）

第31讲 正弦定理、余弦定理

1、正弦定理

     ＝     ＝     ＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．     

2、余弦定理

1)                           ；

2)                           ；

3)                           .

3、三角形的面积公式　

(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；

(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2、（2023年高考数学新高考I卷）．已知在中，．

(1)求；

(2)设，求边上的高．

3、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷））记内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，求面积．

1、 在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于(　　)

A．1           B．2          C．3           D．4

2、 已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)

A．2   B.

C．2或   D．均不正确

3、 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)

A.   B.

C．2   D．2

4、（2022年湖北省宜昌市高三模拟试卷）若在中，角的对边分别为，则（    ）

A. 或 B.  C.  D. 以上都不对

考向一　运用正余弦定理解三角形

例1、（2021·全国高三专题练习（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，成等差数列.

（1）求角B的大小；

（2）若，求的值.

变式1、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）（多选题）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）

A.  B.

C.  D.

变式2、（2022年福建省南安国光中学高三模拟试卷）记的内角 的对边分别为 ，．

（1）证明：；

（2）若，求．

方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．

考向二  利用正、余弦定理判定三角形形状

例2、（河北张家口市·高三月考）（多选题）在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（    ）

A．，，则的外接圆半径是4

B．若，则

C．若，则一定是钝角三角形

D．若，则

变式1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)

A. 直角三角形    B. 等腰非等边三角形

C. 等边三角形    D. 钝角三角形

变式2、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　　)

A. 等腰三角形

B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形

D. 等腰或直角三角形

方法总结：　判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．

考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积

考向三  运用正余弦定理解决三角形的面积、周长

例3、（2022年江苏省徐州市高三模拟试卷）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

（1）证明：；

（2）若，，求的面积.

变式1、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为.

(1) 求sin B sin C的值；

(2) 若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．

变式2、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.

(1) 求c的值；

(2) 设D为边BC上的一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

变式3、（2022年广州番禺中学高三模拟试卷） 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，.

（1）求角B；

（2）求的面积.

方法总结：1．求三角形面积的方法

(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．

(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

2．已知三角形面积求边、角的方法

(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．

(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．

1、.（2022·山东泰安·高三期末）在中，“”是“为钝角三角形”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2、（2022年河北省张家口高三模拟试卷） 在中，若，则的形状为（    ）

A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

3、（2022·山东莱西·高三期末）在中，，，，，，若的外接圆的半径为，则角___________.

4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷）在中，内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

5、（2022年重庆市高三模拟试卷）在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求的值；

（2）若，的面积是，求的值．