第35讲 平面向量的基本定理与坐标运算-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（原卷版）

第35讲 平面向量的基本定理与坐标运算

1、平面向量的基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个       向量，那么对于这一平面内的任意向量a，       一对实数λ1，λ2，使a＝       .

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2、平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个       的向量，叫做把向量正交分解.

3、平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝       ，a－b＝       ，λa＝       ，|a|＝       .

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝       ，||＝       .

4、平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔       .

[常用结论与微点提醒]

1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.

2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

1、【2022年全国乙卷】已知向量，则（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

2、【2019年新课标2卷文科】已知向量，则

A． B．2

C．5 D．50

3、【2018年新课标1卷理科】在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

4、【2021年乙卷文科】已知向量，若，则_________．

1、（2022·广州一模）已知向量a＝(m，2)，b＝(3，－6)，若a＝λb，则实数m的值是(　　)

A. －4    B. －1    C. 1    D. 4

2、 在△ABC中，BE是边AC上的中线，O是BE的中点，若＝a，＝b，则等于(　　)

A. a＋b    B. a＋b

C. a＋b    D. a＋b

3、如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为　　　　　．

4、已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝________(用，表示)．

考向一　平面向量基本定理的应用

例1、如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．

变式1、在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，以a，b为基底表示．

变式2、（2022·山东泰安·高三期末）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则___________，的最小值为___________.

方法总结：1．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；

2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决；

3．既然能用a，b表示，那我们不妨设出＝ma＋nb；

4．利用向量共线建立方程，用方程的思想求解．

考向二  二平面向量的坐标运算

例2、已知点A(2，1)，B(3，5)，C(3，2)，＝＋t (t∈R)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是　　　　．

变式1、　在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).

(1) 若＋＋＝0，求的坐标；

(2) 若＝m＋n (m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n的值．

变式2、已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，

（1）求3a＋b－3c；

（2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

（3）求M，N的坐标及向量的坐标．

方法总结：求解向量坐标运算问题的一般思路

(1)向量问题坐标化

向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．

(2)巧借方程思想求坐标

向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．

(3)妙用待定系数法求系数

利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．

考向三  用坐标表示解决共线问题

例3、平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．

(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；

(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．

变式1、已知O为坐标原点，向量＝(3，－4)，＝(5，－3)，＝(4－m，m＋2).若点D（0，m），求证：对任意实数m，都有∥.

变式2、（1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.

(2)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝________.

方法总结：1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；

(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.

2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.

1、（2023·广东广州·统考二模）已知向量，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2、（2022·广东潮州·高三期末）在的等腰直角中，为的中点，为的中点，，则（    ）

A． B． C． D．

3、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）下列说法不正确的是（    ）

A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是

B．若，，不共线，且，则，，、四点共面

C．对同一平面内给定的三个向量，，，一定存在唯一的一对实数，，使得.

D．中，若，则一定是钝角三角形.

4、（2023春·广东江门·高三校联考开学考试）已知向量，且，则m=______.

5、（清远市高三期末试题）在平行四边形中，是线段的中点，若，则_________.