第36讲 平面向量的数量积-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版）

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第36讲 平面向量的数量积

1、向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作＝a，＝b，则
∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．
当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；
当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；
当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．
2、平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ，其中θ是a与b的夹角．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．
3、平面向量数量积的几何意义
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影
设θ是a，b的夹角，则|b|cos θ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在向量b的方向上的投影．
(2)a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．　　　　　　　　　
4、向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
5、平面向量数量积的性质
设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
6、平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则
(1)|a|＝；　 　(2)a·b＝x1x2＋y1y2；
(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0;_ (4)cos θ＝.
1、（2023年高考数学真题完全解读（新高考I卷））已知向量，若，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D
2、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）） 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
3、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）） 正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A. B. 3 C. D. 5
【答案】B
【解析】
方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.

4、（2023年全国新高考Ⅱ卷） 已知向量，满足，，则______．
【答案】
【解析】
法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
5、22年全国乙卷】已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a−2b|=3，则a⋅b=（       ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
解：∵|a−2b|2=|a|2−4a⋅b+4b2，
又∵|a|=1,|b|=3,|a−2b|=3,
∴9=1−4a⋅b+4×3=13−4a⋅b，
∴a⋅b=1
故选：C.
6、【2020年新课标2卷文科】已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
7、【2020年新课标3卷理科】已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，，，.
，
因此，.
故选：D.

1、已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|的值为(　　)
A. 12 B. 6 C. 3 D. 3
【答案】 B
【解析】 因为a·b＝|a|·|b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝＝6.
2、（多选）（2022·广州三模）已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是(　　)
A. a·b＝5 B. |a－b|＝
C. 〈a，b〉＝ D. a∥b
【答案】 ABC
【解析】 a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，故A正确；a－b＝(2，1)，|a－b|＝＝，故B正确；|a|＝＝，|b|＝＝，则cos 〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝，故C正确；3×(－2)≠(－1)×1，故D错误．故选ABC.
3、（2022·广州三模）已知a，b为单位向量，若 |a－2b|＝，则|a＋2b|＝　　　　．
【答案】
【解析】 由|a－2b|＝，得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝5－4a·b＝5，则a·b＝0.又|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝5，所以|a＋2b|＝.
4、已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为(　　)
A.或
B.或
C.
D.
【答案】　A
【解析】　由题意得a－2b＝(－2－2k,7)，
∵(a－2b)⊥c，
∴(a－2b)·c＝0，
即(－2－2k,7)·(1,2)＝0，－2－2k＋14＝0，
解得k＝6，
∴b＝(6，－3)，
∴e＝±＝±


考向一 平面向量的夹角及模的问题
例1、（1）（届山东省德州市高三上期末）已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，即，得，
则，，.
故选：C.
（2）（2021·山东日照市·高三二模）已知，当时，向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
，即，
，
，
所以向量与的夹角为，
故选：B.
（3）（2022·河北深州市中学高三期末）若向量，满足，且，则______．
【答案】
【分析】
由，计算即可得出答案.
【详解】
∵，∴．
故答案为：.
变式1、已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝（1，），则向量a，b的夹角为　　　　．
【答案】
【解析】 因为a＋b＝（1，），所以|a＋b|＝，两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝3.将|a|＝1，|b|＝2代入，得1＋2a·b＋4＝3，所以a·b＝－1.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝，即向量a，b的夹角为.
变式2、 若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为　　　　.
【答案】
【解析】 设向量a，b的夹角为θ.由题意，得(a－b)·(3a＋2b)＝3|a|2－a·b－2|b|2＝3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0.将|a|＝|b|代入上式，解得cos θ＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
变式3、已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，若2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是　　　　　　　　．
【答案】 ∪
【解析】 因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2，1)＜0，所以4k－6－6＜0，解得k＜3.又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b与c反向，此时不满足题意，所以k≠－.综上所述，k的取值范围为（－∞，－）∪（－，3）.
变式4、（2019春•泉州期末）（多选题）中，，，，在下列命题中，是真命题的有　　
A．若，则为锐角三角形
B．若．则为直角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为直角三角形
【答案】．
【解析】如图所示，中，，，，
①若，则是钝角，是钝角三角形，错误；
②若，则，为直角三角形，正确；
③若，，，
，取中点，则，所以，即为等腰三角形，正确，
④若，则，即，即，
由余弦定理可得：，即，即，即为直角三角形，即正确，
综合①②③④可得：
真命题的有，

方法总结：求向量的夹角，有两种方法：
(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得．
(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]．
考向二 平面向量中的垂直
例2、（2021·山东日照市·高三其他模拟）已知向量，，，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，又，所以，解得，
故选：C.
变式1、(2021·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　)
A. B. C.6 D.
【答案】　A
【解析】因为＝λ＋，且⊥，
所以有·＝(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝(λ－1)·－λ2＋2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝.
变式2、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1) 若a⊥b，求x的值；
(2) 若a∥b，求|a－b|的值．

【解析】 (1) 若a⊥b，则a·b＝2x＋3－x2＝0，
解得x＝－1或x＝3.
(2) 若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，
所以a－b＝(－2，0)，|a－b|＝2；
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，
所以a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
综上所述，|a－b|的值为2或2.

方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型：
(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。
(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。
考向三　平面向量的数量积的运算
例3、（2022·湖北襄阳·高三期末）在中，，，其中，，，，，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】AD
【解析】因为，所以与的夹角为，
当时，，
故A正确；

当时，，所以是边长为4的等边三角形，
，所以B错误；

当时，，所以
，
所以，故C错误；

当时，，
，
所以
，
，
所以，
因为，所以，故D正确.

故选：AD.
变式1、（2022·湖北·高三期末）在中，，点E满足，则（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【解析】中，，所以，

，
故选：B.
变式2、如图，在△ABC中，AD⊥AB， ＝，||＝1，则·＝　　　　．

【答案】
【解析】 方法一：因为＝＋＝＋＝＋（－）＝＋（1－），所以·＝||2＋（1－）·＝.
方法二：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，1).设点B(a，0)，C(x，y)，则＝(x－a，y)，＝(－a，1).因为＝，所以 所以·＝0·x＋1·y＝.

方法三：设∠CAD＝θ，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，所以·＝||·||·cos θ＝||·||.又△BAD∽△CED，所以＝＝，所以DE＝－1，AE＝，所以·＝||·||＝1×＝.
变式3、　在△ABC中，∠BAD＝60°，＝，||＝1，·＝1，则||＝　　　　．　
【答案】2
【解析】 ＝＋＝＋＝＋（＋）＝（1－）＋，所以·＝[（1－）＋]·＝（1－）·＋||2＝||＋＝1，解得||＝2.
方法总结：1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.
2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.


1、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知，为单位向量，且，则，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】把左右两边同时平方得：，
由于，为单位向量，.
故，的夹角为.
故选：C.
2、（2022·山东淄博·高三期末）已知向量、满足，且在上的投影的数量为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设与的夹角为，则，
所以，，可得，因此，，
因为，因此，.
故选：D.
3、（2022·山东青岛·高三期末）已知非零向量满足：，则夹角的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解:因为，
所以，
所以，
因为，
所以，由于
所以
故选：B
4、（2022·山东日照·高三期末）已知△是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，且 ，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】把△如下图放在直角坐标系中，

由于△的边长为1，故，点分别是边的中点，，设，，，，.
故选：B.
5、（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角为30° D．向量在上的投影向量为
【答案】BD
【解析】解：，则，故A错误；
，故B正确；
，又，所以向量与的夹角为60°，故C错误；
向量在上的投影向量为，故D正确.
故选：BD.
6、（2022·湖北江岸·高三期末）（多选题）若是所在的平面内的点，且下面给出的四个命题中，其中正确的是（ ）
A． B．
C．点､､…一定在一条直线上 D．､在向量方向上的投影一定相等
【答案】BCD
【解析】，则，即，
故在边的高所在的直线上，故选项B、C、D正确，
不一定为，A错误.
故选：BCD