第37讲 平面向量的应用-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版）

第37讲 平面向量的应用

1、 向量在平面几何中的应用

(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义．

(2)证明线段平行，三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件，a∥b⇔＝⇔x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)．

(3)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．

(4)求夹角问题：利用夹角公式cosθ＝＝

.

(5)用向量方法解决几何问题的步骤：

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

③把运算结果“翻译”成几何关系．

2、向量在解析几何中的应用

(1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系．

设直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(a1，a2)平行于l，则k＝tanα＝；如果已知直线的斜率为k＝，则向量(a1，a2)与向量(1，k)一定都与l平行．

(2)与a＝(a1，a2)平行且过P(x0，y0)的直线方程为y－y0＝(x－x0)，过点P(x0，y0)且与向量a＝(a1，a2)垂直的直线方程为y－y0＝－(x－x0)．

1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷））设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

方法一：因为，所以，

从而，所以．

故选：B.

方法二：

因为，所以，由椭圆方程可知，，

所以，又，平方得：

，所以．

故选：B.

2、（2023年高考数学真题完全解读（新高考I卷））已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．

【答案】/

【解析】

方法一：

依题意，设，则，

在中，，则，故或（舍去），

所以，，则，

故，

所以在中，，整理得，

故.

1、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A．内心  B．外心

C．重心  D．垂心

【答案】C　

【解析】由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋＝2(D为BC的中点)，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．故选C.

2、在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是________三角形．(       )

A. 等边　  B. 等腰　  C. 直角　  D. 等腰直角

【答案】C.

【解析】　由(＋)·＝|AC|2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到||＝||，故△ABC一定是直角三角形．

3、 若O为△ABC所在平面内的任意一点，且满足（－）·（＋－2）＝0，则△ABC的形状为(　　)

A. 等腰三角形    B. 直角三角形

C. 等边三角形    D. 等腰直角三角形

【答案】 A

【解析】 由（－）·（＋－2）＝0，得·（＋）＝0，即（－）·（＋）＝0，所以||＝||，所以△ABC是等腰三角形．

4、 已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，且BC＝2BE，CD＝λCF.若·＝－9，则λ的值为(　　)

A. 2    B. 3

C. 4    D. 5

【答案】 B

【解析】 依题意，得＝＋＝－，＝＋＝＋，所以·＝·＝||2－||2＋·＝（－）×62＋×62×cos 60°＝－9，解得λ＝3.

考向一　平面向量在平面几何中的应用

例1、（1）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的______心．

（2）等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，那么（      ）

A． B． C．2 D．4

（3）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AD，DC上，＝(＋)，＝，则·＝________.

【答案】：1．重心  2．D　3．  

【解析】1．由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，

根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，

所以点P的轨迹必过△ABC的重心．

2．由题意得：

.

3．法一　如图，＝＋＝＋，

＝＋＝＋＝＋，

所以·＝

＝·＋2＋2

＝×2×2×cos 120°＋＋＝1

解得λ＝2．

变式1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）如图，正六边形的边长为2，动点从顶点出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点，若的最大值和最小值分别是，，则（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】D

【解析】解：连接，在正六边形中，，

∴，

∵正六边形的边长为2，∴，

因为当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，

所以当在上运动时，取得最大值，为，

当移动到点时，取得最小值，为0．

∴，，∴．

故选：D.

变式2、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.

【解析】 如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则点A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，

所以＝(2，1)，＝(1，－2)，

所以·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，

所以⊥，即AF⊥DE.

方法总结：利用坐标运算证明两个向量的垂直问题

1、若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．

2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值

根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数

考向二  平面向量与三角综合

例2、已知a＝(cos x，2cos x)，b＝(2cos x，sin x)，f(x)＝a·b.

(1) 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调增区间；

(2) 当a≠0，a与b共线时，求f(x)的值．

【解析】 (1) 因为f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sinx cos x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin （2x＋）＋1，

所以g(x)＝sin ＋1＝sin （2x－）＋1.

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以函数g(x)的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.

(2) 因为a≠0，a与b共线，所以cos x≠0，

所以sin x cos x－4cos2x＝0，所以tanx＝4，

所以f(x)＝2 cos2x＋2sinx cos x

＝＝＝.

变式1、本题中，求|a－b|的最大值．

【解析】|a－b|＝

＝＝

＝，

所以|a－b|max＝＋1.

变式2、（2022·河北深州市中学高三期末）的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，且.

（1）求；

（2）若，且，求的周长.

【解析】解：（1）根据题意，可得，

化简整理得，

即.

因为，所以，又，

则.

（2）由（1）知，

则.

又因为，所以，故，因此.

因为，所以，

故的周长为.

方法总结：(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．

(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解．

(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误．

考向三  平面向量与解析几何

例3　(1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．

(2)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．

【答案】（1）2x＋y－3＝0.（2）6.

【解析】(1)∵＝－＝(4－k，－7)，

＝－＝(6，k－5)，且∥，

∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，

解得k＝－2或k＝11.

由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.

(2)由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，

则有＋＝1，解得y＝3，

因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，

所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2，

因为－2≤x0≤2，

故当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.

变式1、（2022·江苏通州·高三期末）（多选题）已知点A(4，3)在以原点O为圆心的圆上，B，C为该圆上的两点，满足，则（    ）

A．直线BC的斜率为 B．∠AOC＝60°

C．△ABC的面积为 D．B、C两点在同一象限

【答案】ABD

【解析】，则平行且相等，，A正确；

而，所以是菱形，且都是正三角形，即，B正确，

，

，C错误，

设的倾斜角为，由且，

若直线在直线上方，则，，均在第二象限，

若直线在直线下方，由于，，因此点在第四象限，

则（取较小角），在第四象限，

综上，在同一象限，D正确．

故选：ABD．

方法总结：向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用， 对于解析几何中出现的垂直可转化为向量数量积等于0，对于共线的线段长度乘积可转化为向量的数量积等．

1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，，为的重心，若，则外接圆的半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，可得，则有

又在中，，为的重心，则为等边三角形.

则

解之得，则外接圆的半径为

故选：C

2、（2022·江苏扬州·高三期末）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为，则＝（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【解析】解：由题意可知，，

故选：B．

3、（2022·江苏无锡·高三期末）已知点在圆上，点的坐标为，为坐标原点，则的最小值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，则，，

所以

（其中），

故选：B.

4、（2022·广东罗湖·高三期末）（多选题）已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】通过向量加法的平行四边形法则可知，，选项A正确；

，选项B错误；

与方向不同，选项C错误；

延长到,使,通过向量减法的三角形法则可知,在中，，，选项D正确.

故选：AD.

5、（2022·江苏苏州·高三期末）（多选题）折纸发源于中国．世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车（如图）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】
，则与不平行，A错．

设，

，B对．

，C对

，D对，

故选:BCD．