第22讲 导数的综合应用-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（原卷版）

第22讲 导数的综合应用

1. 利用导数证明不等式

(1) 构造法：证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，则F(x)在(a，b)上是减函数，则只需F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)．

(2) 最值比较法：证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)时，若构造函数F(x)＝f(x)－g(x)后，F(x)的单调性无法确定，可考虑f(x)的最大值与g(x)的最小值，如果f(x)max<g(x)min，那么可证f(x)<g(x)．

2. 利用导数解决不等式的恒成立(能成立)问题

“恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题，一般都可通过求相关函数的最值来解决，如：当f(x)在x∈D上存在最大值和最小值时，若f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≤　     ；若f(x)≤g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≥　　     ；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≤　　     ；若存在x∈D，使得f(x)≤g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≥　　     　.

3. 利用导数研究函数零点

(1) 求函数f(x)的单调区间和极值；

(2) 根据函数f(x)的性质作出图象；

(3) 判断函数零点的个数．

1、【2022年全国乙卷】已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．

2、【2022年全国甲卷】已知函数．

(1)若，求a的取值范围；

(2)证明：若有两个零点，则环．

3、【2022年新高考2卷】已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，，求a的取值范围；

(3)设，证明：．

4、【2021年甲卷理科】已知且，函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．

5、【2021年新高考1卷】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

1、若函数y＝(x＋1)ex－a有两个零点，则实数a的取值范围为(　A　)

A.     B.

C.     D.

2、当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（   ）

A．    B．    C．    D．

3、已知，若函数恰有4个不同的零点，

则实数的取值范围为           

考向一　利用导数证明不等式关系

例1、例1、（2021·山东德州市·高三二模）（多选题）已知函数，则（    ）．

A． B．若有两个不相等的实根、，则

C． D．若，，均为正数，则

变式1、(2022·江苏第一次百校联考)(本题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋(a∈R)有两个零点．

(1)证明：0＜a＜．

(2)若f(x)的两个零点为x1，x2，且x1＜x2，证明：2a＜x1＋x2＜1．

变式2、(2022·苏州期初考试)(本小题满分12分)已知函数，a∈R．

(1)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值1，其中ln2＜x0＜ln3．

证明：2－＜a＜3－；

(2)若f(x)≤x－恒成立，求实数a的取值范围．

方法总结：：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．

考向二   利用图象研究函数零点与极值点

例2、(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)(多选题)设函数，则（    ）

A. 当时，

B. 当时，有两个极值点

C. 当时，任上不单调

D. 当时，存在唯一实数m使得函数恰有两个零点

变式1、已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3(a为实数)，若方程g(x)＝2f(x)在区间上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

.

方法总结：利用图象研究函数零点个数时的注意点：

1、对于（选择题、填空题中的）零点个数问题，我们的处理思路是：将函数零点个数转化为图象交点个数。那么正确画出草图就是前提。画草图时，要注意（1）通常先要用导数研究单调性、极值。（2）渐近线（实际上是极限问题），有渐近线的常见函数例如：反比例函数、指数函数、对数函数等

2、对于（选择题、填空题中的）零点个数问题，我们的处理思路是：将函数零点个数转化为图象交点个数，那么研究哪两个函数呢？

（1）尽量转化为我们熟悉的基本函数（已经知道图象）

（2）能分参的通过分参让其中的一个函数是常数函数

（3）不方便分参的,尽量将参数放在熟悉的基本函数上

考向三  利用导数研究恒成立问题

例3、若对任意x∈(0，＋∞)，不等式2x＋lnx≤a(x2＋x)恒成立，求实数a的取值范围．

变式1、已知函数f(x)＝x－1－alnx(a∈R)，若a<0，且对任意x1，x2∈(0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．

变式2、(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)已知函数，

（1）讨论函数的导数的单调性

（2）当时，不等式对恒成立，求实数m的取值范围．

方法总结：分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路与关键

(1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路

用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．

(2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”

1、(2022·青岛期初考试)设函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cosπx|－f(x)在上所有零点之和为________．

2、(2022·沭阳如东中学期初考试)(12分)已知函数f(x)＝(x2－ax)lnx－x2＋ax．

(1)讨论函数f(x)的极值点；

(2)若f(x)极大值大于1，求a的取值范围．

3、(2022·泰州中学期初考试)(12分)已知函数．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)已知时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

4、(2022·泰州中学期初考试)(12分)已知函数

(1)求函数y＝f(x)的最大值；

(2)令，若g(x)既有极大值，又有极小值，求实数a的范围；

(3)求证：当时，.