第26讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版）

这是一份第26讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版），共11页。学案主要包含了2022年浙江，2021年新高考1卷等内容，欢迎下载使用。
第26讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．2．诱导公式 一二三四五六2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋αsin α－sin α－sin αsin_αcos_αcos_αcos α－cos αcos α－cos_αsin_α－sin_αtan αtan α－tan α－tan_α   3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法． 4、三角形中的三角函数关系式sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；sin＝sin＝cos；cos＝cos＝sin.1、【2022年浙江】设，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.2、【2021年新高考1卷】若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】将式子进行齐次化处理得：．故选：C． 1、（2022·山东威海·三模）已知，，则___________.【答案】【解析】由题知：，因为，所以.故答案为：2、已知，则（   ）A． B．6 C． D．【答案】B【解析】化简所以，故选B。3、在△ABC中，下列结论不正确的是(　　)A．sin(A＋B)＝sin CB．sin ＝cos C．tan(A＋B)＝－tan CD．cos(A＋B)＝cos C【答案】　D【解析】在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确．sin ＝sin＝cos ，B正确．tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，C正确．cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误．4、化简：的值为（     ） A.  B.  C.  D. 【答案】：B【解析】：原式＝＝＝＝－15、（2022·湖南益阳·一模）若，则A． B． C． D．【答案】C【解析】由可知：∴，∴，又==.故选C.6、（2022·河北唐山·三模）若，则___________．【答案】4【解析】因为，两边同时平方得，即，所以，因此，故答案为：4.考向一　三角函数的诱导公式例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝．(1)若cos＝，求f(α)的值；(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值． 【解析】：f(α)＝＝－cosα．(1) ∵ cos＝－sinα＝，∴ sinα＝－．∵ α是第三象限的角，∴ cosα＝－＝－．∴f(α)＝－cosα＝．(2) f(α)＝－cos(－1860°)＝－cos(－60°)＝－． 变式1、已知f(α)＝，则f的值为　　　　．【答案】 【解析】 因为f(α)＝＝＝cos α，所以f＝cos ＝cos ＝. 变式2、 求值：sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin (－1 050°)＝______；【答案】 1【解析】 原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin (3×360°＋120°)·cos (3×360°＋210°)－cos (2×360°＋300°)·sin (2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin (180°－60°)cos (180°＋30°)－cos (360°－60°)sin (360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.方法总结：1、熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．考向二  同角函数关系式的运用例2、已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.求：(1) sin x－cos x的值；(2) 的值．【解析】 (1) sin x＋cos x＝两边平方，得sin2x＋2sinx cos x＋cos2x＝，整理，得2sinx cos x＝－，所以(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝.由x∈(－π，0)，知sin x＜0.又sin x＋cos x＞0，所以cos x＞0，则sin x－cos x＜0，故sin x－cos x＝－.(2) ＝＝＝＝－　变式1、(1)若α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为_  __．(2)已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为__ __．【答案】（1）－.（2）.【解析】　(1)由tanα＝－，得sinα＝－cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cosα＜0，∴cosα＝－，sinα＝，故sinα＋cosα＝－.(2)∵＜α＜，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝. 变式2、（2022鄂尔多斯第一中学月考）化简：(1) cos α＋sin α（α是第二象限角）；(2) sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α. 【解析】(1) cos α＋sin α＝cos α·＋sinα·＝cosα·＋sin α·＝cos α·＋sin α·＝－1＋sin α＋1－cos α＝sin α－cos α.(2) sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α＝sin2α(sin2α＋cos2α)＋cos2α＝sin2α＋cos2α＝1.变式3、已知2cos2α＋3cosαsin α－3sin2α＝1，α∈.求：(1)tan α的值；(2) 的值．【解析】 (1) 因为2cos2α＋3cosαsin α－3sin2α＝1，且cos2α＋sin2α＝1，所以＝1，所以＝1，解得tanα＝－或tan α＝1.又α∈，所以tan α＝－.(2) ＝＝＝－. 方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．所求式是关于sinα，cosα的齐次式时，分子分母同除以cosα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想．考向三  同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3、已知cos(75°+α)=，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值．【解析】：因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)，由于α是第三象限角，所以sin(75°+α)<0，所以sin(75°+α)=．因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°- (75°+α)]= -cos(75°+α)=-，所以cos(15°-α)+sin(α-15°)= 变式1、已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝        .【答案】　0【解析】因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝.所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－＋＝0.变式2、 已知tan ＝，则tan ＝　　　　．【答案】 －【解析】 tan ＝tan [π－（－α）]＝－tan ＝－.变式3、已知sin ＝，则sin （x－）＋sin2的值为　　　　．【答案】【解析】sin ＋sin2＝sin＋sin2＝－sin＋cos2＝－sin＋1－sin2＝.方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数值符号的影响. 1、（2022·广东广州·一模）若，，则___________.【答案】【解析】解：因为，，所以，因为，所以所以故答案为：2、（2022·湖南·长郡中学一模）已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线垂直，则的值为（        ）A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】因为角的终边与直线垂直，即角的终边在直线上，所以，，故选：B．3、（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知，则______．【答案】0或1##1或0【解析】由得：，则，，所以或.故答案为：0或14、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，，所以.故选：C5、（2022·广东茂名·模拟预测）已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】故选：B.6、（2022·福建三明·模拟预测）已知，则（       ）A．－ B． C．－ D．【答案】A【解析】所以故选：A7、（2022·湖北·模拟预测）已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以.故选：D.8、（2022·辽宁葫芦岛·二模）若，则（       ）A． B． C．-3 D．3【答案】C【解析】，分子分母同除以，，解得：故选：C